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FernUNI Hagen WS 2002/03
Fernstudienzentrum Ffm Übung 5 Lösung.doc
Mathematik II für WiWi’s (Kurs 0054) Mentorin: Stephanie Schraml
Lösung Übung 5.1)
-1
2 2
y 3 y 3 y 4 4
y' dy 1
a) (i) sin x sin x dx - y cos x + c y =
cos x - c
y y
1 1
(ii) y'e x e x dx e x c y = ln x c
4 4
dy
= = = − →
= = = + → +
∫ ∫
∫ ∫
y y
y x
y y y y 2
y 2
b) (i) g' = e h' = e exakt
G = e dx = xe (xe + 2y) - (xe )dy = 2ydy = y Lsg.: xe + y c
→
=
∫ ∫ ∫
y y
y x
y y y y
1
y y y
1 2
ii) g' cos xe h' =cosxe exakt
G = cos xe dx = sinxe c(y)= (sinxe ) (sinxe )dy = dy = c 0 Lsg.: sinxe c c sinxe c e c
si
= →
− =
+ = → = → =
∫ ∫ ∫
y = ln c
n x → sin x
y x
2 2 2
1
2 2
1 2
(iii) g' 12x h' 12x exakt
G = 12xy + 3dx = 6x 3 c(y)= 6x 6x dy = dy c
Lsg.: 6x y + 3x + c c 6x y = c- 3x
y x
= = →
+ − =
=
∫ ∫ ∫
2
s 2 2
y = c-3x 6x
c-3 3-3x 1 x
y(1) = 0 : 0 c = 3 y
6 6x 2x
= → → = = −
c) i) z = y = z x y' = z' x + z y
x
2 2
Sub.: z' x + z = z + z' x =
cos z cos z
cos z dz = sin z = 2ln x 2dx
x
→ ⋅ → ⋅
⋅ ⋅
∫ ∫
2 2
l n c
Resub.: sin y l n c x y = x arc sin lnc x
x
+
= → ⋅ ⋅
y
z -z
x
- x
-z y -1
y dx
(ii) y' = e z' x + z = e z e dz =
x x
-e = ln x lnc e lncx
+ ⋅ +
+ =
∫ ∫
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d) Lösung über Trennung der Variablen auch möglich, hier aber nicht erwünscht
3 3 3
3 3
1 1 1
x x x
2 3 3 3 2 3
1 1
x x
3 3
p(x) = x P(x) = x e 1 e y' + x e y = 0
3
e y = c y = e
−c
→ → →
⋅ → ⋅
23
3 2 2
1 2 3
x -2x
1 2 3
e) (i) 2 0 ( 2) 0
1 1 8
0 1 2
2 4 4
y = c e c e c
λ + λ − λ = λ λ + λ − =
λ = λ = − ± + λ = λ = −
+ +
12
2 -x
1 2
(ii) 2 4 0 1 1 4 1 3 i
y = e c cos 3x + c sin 3x
λ + λ + = λ = − ± − = − ± ⋅
12
2
1 2
-2x -x
h 1 2
2x s
(iii) 1. homogene Lösung
3 9 8
3 2 0 2 1
2 4 4
y c e c e
Ansatz: y A + Be
λ + λ + = λ = − ± − λ = − λ = −
= +
=
2x s
2x s
2x 2x 2x 2x
12
y' = 2 Be y'' = 4 Be
einsetzen: 4Be 6Be 2A Be 1 e
2A = 1 A = 12B = 1
+ + + = +
→ →
112 1 1 2x
s 2 12
-2x -x 2x
1 2
B =
y e
1 1
y = c e c e e
2 12
→
= +
+ + +
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Lösung Übung 5.2)
12
2
1 2
n n n n
n 1 2 1 2
(i) 8 15 0 4 16 15 5 3
y c (1 5) c (1 3) c 6 c 4
λ − λ + = λ = ± − λ = λ =
= + + + = +
12
2 n n
n 1 2
n n
n 1 2
0 0
0 0 1 2 1
1
(ii) 6 9 0 3 y c (1 3) c n(1+3)
y = c 4 c n4
y 1 y c 4 c 0 4 =1 c 1
y 6
λ − λ + = → λ = → = + +
+
= = + ⋅ =
=
1 1 1 2 1 2 2 2n n
n
