L ÖSUNG 14I DEALE G ASE UND C HEMISCHES P OTENTIAL L – 14

(1)

9 The r m ody na m i k I

L – 14

ETHZ - Chemie II - SS 03

L14-1

L ^ÖSUNG 14 I ^{DEAL E} G ^{ASE UND} C HEM ISCHES P ^{OT ENT IAL}

1. Bei kaum einer andern Grösse sind so viele verschiedene Einheiten nebeneinander im Gebrauch wie bei den Drücken (dabei ist die amerikanische Unart, mit «pounds per square inch», psi, zu rechnen, gar nicht erwähnt), Sie müssen dieses Umrechnen können, auch wenn im Weiteren aus- schliesslich bar und Pascal verwendet werden. Unter den Bedingungen: ideales Gas, n und T = konstant, gilt das Boyle-Gesetz: p

₁V₁

= p

₂V₂

= 1 bar x 1 m

³

= 10

⁵

N·m. Aus der Gleichung wird

V2

= p

1V

1

/ p

2

und mit den unterschiedlichen Genauigkeiten der Druckangaben ergeben sich:

V₂

= a) 0.13 m

³

b) 200 m

³

c) 2·10

²

m

³

d) 4.935 m

³

e) 200 m

³

f) 49.3 m

³

g) 1·10

²

cm

³

(0.1 dm

³

, 10

^-4

m

³

) h) 0.125 m

³

i) 49.3 m

³

2. Die Gasart spielt bei idealen Gasen überhaupt keine Rolle; alle Antworten wie bei 1.

3. a) Für ideale Gase sind bei gleichen Druck- und Temperaturbedingungen die Molvolumina immer gleich, i) bis vi) V

_{m, B}

ªªªª 25·10

^-3

m

³

mol

^-1

.

b) Die Gasdichten bei gleichen Bedingungen hängen bei verschiedenen Stoffen direkt von ihren Molmassen ab, mit den Einheiten [ r ] = kg·m

^-3

, [M] = g·mol

^-1

, [V] = m

³

wird:

r

B

B B

1 B B

B m, B

1 B

m, B

kg g kg g

= =

◊ ◊ ◊

◊

=

◊ ◊

- - - -

m V

n M n V

M

10

³

10

³

V

Wenn Sie die Atommassen auf 4 signifikante Ziffern genau einsetzen, sollten die Dichten ebenfalls auf 4 signifikante Ziffern genau berechnet werden (mit R = 8.315 J K mol

^-1

, T = 298.2 K), das ergibt V

_B

=

24.80·10

^-3

m

³

mol

^-1

(resp. das Resultat im Rechner) und mit den Molmassen auf 4 signifikante Ziffern gerundet ergeben sich:

aaaa)))) i) r

^(H₂⁾

= 81.31·10

^-3

kg m

^-3

ii) r

^(N₂⁾

=1.130 kg m

^-3

iii) r

^(O₂⁾

=1.291 kg m

^-3

iv) r

^(Ar)

= 1.611 kg m

^-3

v) r

^(CO₂⁾

= 1.775 kg m

^-3

vi) r

^(CCl₃^F⁾

= 5.540 kg m

^-3

bbbb ) Die Molmassen bleiben gleich, die Molvolumina ändern sich wegen der Temperaturab-

nahme auf 223.2 K um den Faktor (223.2 K / 298.2 K) = 0.7485 und wegen der Druck- änderung von 1000 hPa auf 100.0 hPa um den Faktor 10, ergibt Faktor 7.485 ( ª 7.5); die Gasdichten in ca. 10 km Höhe bei einer Temperatur von -50 °C sind also ca. 7.5 mal geringer!

4. Wir erhalten eine Logarithmusfunktion, die des natürlichen Logarithmus, (y = y

₀

+ lnx). Charak-

teristisch für die Logarithmusfunktion ist, dass sie um eine Summe zunimmt, wenn die unabhän-

gige Variable um einen Faktor vergrössert wird. µ

_B

nimmt um die Summe +1·(RT) zu, wenn p

_B

mit dem Faktor e multipliziert wird.

(2)

L – 14

L14-2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p

/

bar

m /

J·mol-1

µ°

Figur L14.5 Der Graph des chemischen Potentials als Funktion des Druckes ist die Logarithmusfunktion zur Basis e (natürlicher Logarithmus). Für p = p° erhalten wir das chemische Standardpotential, µ°.

5. Es ist nicht ganz einfach, ein solches Diagramm zu zeichnen. Das Resultat, das Molvolumen ei- nes idealen Gases, ergibt eine gebogene (V

_m

= Konst.·1/p ) und schräg liegende (V

_m

= Konst.·T) Ebene im Raum. Eine Ebene im Raum ist ganz allgemein die Lösungsmenge einer Funktion (ev.

Zustandsfunktion) von zwei unabhängigen Variablen. Beachten Sie die Begriffe: Isobare = Orte gleichen Druckes; Isochore = Orte gleichen Volumens; Isotherme = Orte gleicher Temperatur.

Vm

/ m

³

p

/

10 Pa⁵

T

/ K

0 3 5 0

1 2 5·T

R

3·T

R

4·T

R

2·T

R

1·T

R

Figur L14.4 Die angedeutete Ebene mit einer starken Biegung bei kleiner Temperatur und kleinem Druck (vorne) und geringer Biegung bei hoher Temperatur (hinten) ist die gesuchte Lösungsmenge. Die beiden gezeichneten Hyperbeln sind die Isothermen bei T_R und bei 5 T_R, die spitzwinklig verlaufenden Geraden sind die Isochore bei 5V_m (oben) und die Isobare bei 5p° (rechts)

6. a) Von beiden Zuständen lässt sich die Stoffmenge n

_H₂_O

bei konstantem V berechnen. Deren

Differenz ergibt die kondensierte Menge Wasser, und über die molare Masse und Dichte erhalten

(3)

L – 14

L14-3

wir das Volumen des flüssigen Wassers. Dieses Volumen geteilt durch die Fläche des Luftpake- tes ergibt die Regenhöhe in Metern. Das negative Vorzeichen entsteht, weil das System die Stoffmenge Wasserdampf verliert, wenn die Stoffmenge Regenwasser zunimmt.

T

₁

=

₁◊

T

₂ ₂

∞

+ =

◊

∞

+

q K q

C 273 K K

C 273 K

h f H M

R

p T

p

H2O, l

T

H2O H2O, l

=

◊ ◊

◊

Ê -

ËÁ

ˆ – ¯˜

r

2²

1 1

h

_H

2O, l

Höhe des ausgeregneten Wassers [h] = mm

f Faktor zur Anpassung der Einheiten f = 10

⁵

·Pa·bar

^-1

·mm·m

^-1

·kg·g

^-1

H Höhe des Luftpaketes [H] = m

M

_H₂_O

molare Masse von Wasser [M] = g·mol

^-1

R Gaskonstante R = 8.31 J·K

^-1

·mol

^-1

r

_H₂_{O, l}

Dichte von flüssigem Wasser bei J

2

[ r ] = kg·m

^-3

p

₂

Partialdruck von Wasser bei q

₂

[p

₂

] = bar T

₂

absolute Temperatur bei q

₂

[T

₂

] = K p

₁

Partialdruck von Wasser bei q

₁

[p

₁

] = bar T

₁

absolute Temperatur bei q

₁

[T

₁

] = K

b) Für V = V (T) gilt: V

₂

= V

₁

·(T

2

/

_T₁

). Eingesetzt in obiger Gleichung erhalten wir:

h f M V

R A

T T

p T

p

H2O, l

T

H2O H2O, l

=

◊ ◊

Ê

◊

-

ËÁ

ˆ

–

¹

¯˜

2 2 1

2 2

1

r

1

Für die Fläche A2 des Luftpaketes bei T

2

, (= Fläche des beregneten Gebietes) gilt bei gleich- mässiger Volumenkontraktion in allen 3 Dimensionen: A

₂

= A

₁

·(V

₂

/V

₁

)

^2/3

= A

₁

·(T

₂

/T

₁

)

^2/3

(die Fläche A ist das Quadrat der Seitenlänge, welche die 3. Wurzel des Volumens ist). Eingesetzt in obige Gleichung liefert mit V

₁

= H·A

₁

das Endresultat:

h f H M

R

p T

T

H2O, l

T

H2O H2O, l

=

◊ ◊

◊

Ê -

ËÁ

ˆ

¯˜

◊

Ê ËÁ

ˆ – ¯˜

/

r

1²

1 1

1 2

2 3

7. A: keine Änderung für alle Teilfragen a) bis f).

a) und c): Standardpotentiale sind nur eine Funktion der Stoffart in seinem Aggregatszustand (flüssiges, bzw. gasförmiges Wasser) und der Temperatur, sonst von nichts, insbesondere nicht von der Menge, da es eine intensive Grösse ist. b) und d): Chemische potentiale sind Energien pro Mol Stoffmenge, also nicht abhängig von der Stoffmenge. e) und f) Wir haben nur einen einzigen Stoff, also sind Partialdruck und Totaldruck identisch; ist Flüssigkeit vor- handen, ist im Gleichgewicht der Partialdruck nur eine Funktion des chemischen Potentials.

B: Wenn die Flüssigkeiten völlig unmischbar sind (was ein hypothetischer Zustand ist) wird

weder A von B noch B von A beeinflusst, ihre chemischen Potentiale bleiben unverändert die

des reinen Stoffes, damit bleiben ihre Partialdrücke unverändert und der Totaldruck ist die

Summe aller Partialdrücke, also: a) p

A

, p

B

; b) p

A

+ p

B

; c) p

A

+ p

B

.

(4)

L – 14

L14-4

8. Für das Gas von Kohlenstoff gilt: µ°

_C,g

= 671.26 kJ mol

^-1

die reinen Stoffe sind bei T

R

a) µ°

_Diam

= 2.90 kJ mol

^-1

b) µ°

_Graphit

= 0 kJ mol

^-1

(p. Def.) a) p*

_C

über Diamant ª 10

^-116

bar !!

b) p*

C

über Graphit ª 10

^-117

bar !!

Wie absurd wenig 10

^-116

bar sind, kann eine Überschlagsrechnung zeigen: das «Volumen» nach idealem Gasgesetz von 1 Atom (n = N/N

A

) bei p = 10

^-116

bar ergäbe «V» ª 5·10

⁹⁰

m

³

. Wie gross ist das Universum maximal? – Annahmen: Alter 15 Milliarden Jahre, Ausdehnung ab Urknall mit Lichtgeschwindigkeit, c, ergibt:

V = ( ^{3 10}

◊ ⁸

^{m s}

◊ ^-¹◊ ◊

^{3 10}

⁷

^{s a}

◊ ^-¹◊ ◊

^{15 10}

⁹

^a )

³

^ª ^{2 5 10} ^.

^◊ ⁷⁸

^m

³

L ÖSUNG 14I DEALE G ASE UND C HEMISCHES P OTENTIAL L – 14

L – 14

L14-1

L ÖSUNG 14 I DEAL E G ASE UND C HEM ISCHES P OT ENT IAL

= p

= 1 bar x 1 m

= 10

N·m. Aus der Gleichung wird

= p

/ p

und mit den unterschiedlichen Genauigkeiten der Druckangaben ergeben sich:

= a) 0.13 m

b) 200 m

c) 2·10

m

d) 4.935 m

e) 200 m

f) 49.3 m

g) 1·10

cm

(0.1 dm

, 10

m

) h) 0.125 m

i) 49.3 m

2. Die Gasart spielt bei idealen Gasen überhaupt keine Rolle; alle Antworten wie bei 1.

3. a) Für ideale Gase sind bei gleichen Druck- und Temperaturbedingungen die Molvolumina immer gleich, i) bis vi) V

ªªªª 25·10

m

mol

.

b) Die Gasdichten bei gleichen Bedingungen hängen bei verschiedenen Stoffen direkt von ihren Molmassen ab, mit den Einheiten [ r ] = kg·m

, [M] = g·mol

, [V] = m

wird:

r

kg g kg g

= =

=

m V

n M n V

M

10

10

V

Wenn Sie die Atommassen auf 4 signifikante Ziffern genau einsetzen, sollten die Dichten ebenfalls auf 4 signifikante Ziffern genau berechnet werden (mit R = 8.315 J K mol

, T = 298.2 K), das ergibt V

=

24.80·10

m

mol

(resp. das Resultat im Rechner) und mit den Molmassen auf 4 signifikante Ziffern gerundet ergeben sich:

aaaa)))) i) r

= 81.31·10

kg m

ii) r

=1.130 kg m

iii) r

=1.291 kg m

iv) r

= 1.611 kg m

v) r

= 1.775 kg m

vi) r

= 5.540 kg m

bbbb ) Die Molmassen bleiben gleich, die Molvolumina ändern sich wegen der Temperaturab-

nahme auf 223.2 K um den Faktor (223.2 K / 298.2 K) = 0.7485 und wegen der Druck- änderung von 1000 hPa auf 100.0 hPa um den Faktor 10, ergibt Faktor 7.485 ( ª 7.5); die Gasdichten in ca. 10 km Höhe bei einer Temperatur von -50 °C sind also ca. 7.5 mal geringer!

4. Wir erhalten eine Logarithmusfunktion, die des natürlichen Logarithmus, (y = y

+ lnx). Charak-

teristisch für die Logarithmusfunktion ist, dass sie um eine Summe zunimmt, wenn die unabhän-

gige Variable um einen Faktor vergrössert wird. µ

nimmt um die Summe +1·(RT) zu, wenn p

mit dem Faktor e multipliziert wird.

L – 14

L14-2

/

m /

5. Es ist nicht ganz einfach, ein solches Diagramm zu zeichnen. Das Resultat, das Molvolumen ei- nes idealen Gases, ergibt eine gebogene (V

= Konst.·1/p ) und schräg liegende (V

= Konst.·T) Ebene im Raum. Eine Ebene im Raum ist ganz allgemein die Lösungsmenge einer Funktion (ev.

L ^ÖSUNG 14 I ^{DEAL E} G ^{ASE UND} C HEM ISCHES P ^{OT ENT IAL}