I. Erstpassage in unterd¨ ampften harmonischen Oszillator

Physikalische Kinetik SS 2019

Blatt 7.

I. Erstpassage in unterd¨ ampften harmonischen Oszillator

Wir betrachten einen unterd¨ ampften harmonischen Oszillator, ein Teil- chen masse m in Potential

U(x) = kx

2 . (1)

Die Gleichung f¨ ur die Energiediffusion hat die Form

∂

∂t g(E, t) = ∂

∂E D(E)g

(E) ∂

∂E

g (E, t)

g

(E) (2)

mit der Gleichgewichtsverteilungsdichte

g

∝ exp (−E/k

T ) und dem Energie-Diffusionskoeffizienten

D(E) = 2γk

T m

R

xmin

dx[E − U (x)]

R

xmin

dx[E − U (x)]

,

wobei x

und x

die Koordinaten der klassischen Umkehrpunkte f¨ ur die Energie E sind. Da in Potential U (x) keine Energiewerte kleiner als 0 erlaubt sind, wird zu dieser Gleichung f¨ ur E = 0 eine reflektierende Randbedingung gestellt.

• Berechnen Sie explizit D(E).

• Bringen Sie die Gl.(2) zur ¨ ublichen Form der Fokker-Planck Gleichung.

Zeigen Sie, dass diese der Situation mit detallierten Bilanz entspricht.

• Benutzen Sie die Flux-¨ uber-Population-Methode, um die mittlere Zeit τ zu berechnen, die ein Teilchen braucht, um den Energiewert E

k

T zu erreichen. Die Anfangsenergie des Teilchens ist E

mit 0 < E

E

. Hinweis: Zur Absch¨ atzung der Integrale kann die Laplace-Methode von Nutzen sein.

1

II. Die Rice-Formel

Betrachten Sie einen station¨ aren, differenzierbaren Zufallsprozess x(t) und nehmen Sie an, dass daf¨ ur die Verbunddichte der Koordinate und der Ge- schwindigkeit zum gleichen Zeitpunkt, p(x, v), bekannt ist.

• Finden Sie die mittlere Rate n(x

) mit der der Prozess das Niveau x

uberquert (die Rice-Frequenz). Zeigen Sie, dass ¨ n(x

) =

Z

−∞

|v|p(x

, v)dv.

Hinweis: Betrachten Sie z.B. das ¨ Uberqueren des x

-Niveaus von unten nach oben. W¨ ahrend des kleinen Zeitintervalls zwischen t und t + dt kann der Prozess die x

-Linie von unten nach oben nur ¨ uberqueren, wenn x

≤ x(t) + v(t)dt ist.

• Betrachten Sie einen Gaußprozess und dr¨ ucken Sie n(x

) durch die Korrelationsfunktion dieses Prozesses aus. Bestimmen Sie die Rice- Frequenz f¨ ur das ¨ Ubersqueren des Niveaus x

in einem unterd¨ ampften harmonischen Oszillator mit dem Potential Gl.(1).

III. Die Pope-Ching Gleichung

Betrachten wir einen station¨ aren, ergodischen Zufallsprozess x(t). Sei p(x) seine station¨ are Wahrscheinlichkeitsdichte. Diese kann als Funktion von zwei bedingten Mittelwerte: v

(x) ≡ h x ˙

|xi und a(x) ≡ h¨ x|xi ausgedr¨ uckt werden (vorausgesetzt, dass diese Mittelwerte wohl-definiert sind, also unser Prozess zweifach differenzierbar ist):

p(x) = C v

(x) exp

Z

a(x

) v

(x

) dx

!

(3) mit der Normierungskonstanten C.

• Was bekommt man aus dieser Gleichung im Falle der Gleichverteilung mv

/2 = k

T /2 f¨ ur ∀x?

Nun beweisen Sie die Gleichung. Die unten angegebene Beweisskizze ist mathematisch nicht ganz einwandfrei, ist aber physikalisch plausibel und f¨ uhrt direkt zum Ziel.

2

Betrachten Sie ein langes Zeitintervall T und darauf eine spezifische Rea- lisierung x(t) des Prozesses. Betrachten Sie P (x|t) = δ(x−x(t)). Die gesuchte Dichte ist

p(x) = hP (x|t)i = lim

T→∞

1 T

Z

P (x|t)dt.

F¨ uhren Sie die folgende Schritte durch:

• Zeigen Sie, dass es gilt:

˙

x(t) ∂P (x|t)

∂t = − ∂

∂x [ ˙ x

(t)P (x|t)]. (4) Zeigen Sie, dass f¨ ur hinreichend große T gilt:

1 T

Z

¨

x(t)P (x|t)dt = 1 T

Z

∂

∂x [ ˙ x

(t)P (x|t)]dt (5) Hinweis: Integrieren Sie dazu die linken Seite von Gl.(4) partielle!

• Betrachten Sie P (x, t), die Verbunddichte, dass bei einer zuf¨ alligen Mes- sung ein Paar (x, t) bestimmt wird. Benutzen Sie nun Bayes-Formel P (x|t)p(t) = P (x, t) = P (t|x)p(x) mit p(t) = 1/T und Gl.(5) um zu zeigen, dass

p(x)

Z

¨

x(t)P (t|x)dt = d dx

"

p(x)

Z

[ ˙ x

(t)P (t|x)]dt

#

.

• Diskutieren Sie die Bedeutung der Integrale auf der linken und rechten Seite der Gleichung, um zu zeigen, dass diese f¨ ur hinreichend große T proportional zu a(x) und v

(x) sind. Zeigen Sie nun, dass diese Glei- chung ¨ aquivalent zu Gl.(3) ist.

3