Polygone und Polyeder

(1)

Polygone und Polyeder

(2)

Reguläre Polygone

Dreieck

Quadrat

Pentagon Hexagon

Oktagon

(3)

120º

30º 30º

30º

(4)

(5)

108º

54º 72º

54º 54º

(6)

108º 36º

36º 36º

72º 72º

36º

(7)

108º 36º

36º 36º

72º 36º

36º 36º 1 1

y

x 1

(8)

1 1

y

x 1

A

B

C D

E

Dreieck ADF ist ähnlich Dreieck BCF.

F

Also .1 Aber .

1 x

 y y  1 x

(9)

1 1

y

x 1

A

B

C D

E

F

1 2 1 5

und 1 implizieren 1 0, oder

1 2

x y x x x y

y

       

(10)

Der Goldene Schnitt

1 x 1-x

1 1 x x  x



2

1 0

x    x

1,2

1 5

x    2

(11)

Konstruktion von

1 5 2

5 1 5

2 

1 5 2



(12)

Pentagon:

1) Konstruiere das Goldene Dreieck 2) Konstruiere das Pentagon

(13)

(14)

(15)

Welche regulären

Polygone können Zirkel und mit

Lineal

konstruiert werden?

Welche regulären

Polygone können Zirkel und mit

Lineal

konstruiert werden?

The reguläre Septagon (Heptagon) kann nicht mit Zirkel un Lineal konstruiert werden!

(16)

Platonische Körper Platonische Körper

Reguläre Polyeder, welche konvex sind und kongruente

reguläre Polygone als Seitenflächen haben, und an jedem Eckpunkt treffen gleich viele

Flächen zusammen.

Reguläre Polyeder, welche konvex sind und kongruente

reguläre Polygone als Seitenflächen haben, und an jedem Eckpunkt treffen gleich viele

Flächen zusammen.

Es gibt genau fünf:

Tetraeder, Cubus = Hexaeder, Oktaeder, Ikosaeder und Dodekaeder

Es gibt genau fünf:

Tetraeder, Cubus = Hexaeder, Oktaeder, Ikosaeder und Dodekaeder

20 12

(17)

Beispiel Beispiel

Oktaeder

Oktaeder BootBoot

konvex

konvex nicht konvexnicht konvex

(18)

Photography by Gayla Chandler

“of a Fractal Nature”

http://www.public.asu.edu/~starlite/

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Warum fünf Platonische Körper?

Schritt 1 : Peripheriewinkel der Seitenflächen

Jede Seitenfläche ist ein reguläres Polygon Jede Seitenfläche ist ein reguläres Polygon

Partition des Polygons in n Dreiecke Partition des Polygons in n Dreiecke

Summe aller Winkel:

Summe aller Winkel im Zentrum:

Summe der Peripheriewinkel:

Ein Peripheriewinkel:

180 n ^

360^

180 360 ( 2) 180 n 

^



^

 n  

^

( n 2) 180 n

 

^

(25)

Peripheriewinkel:

( n 2) 180 n

 

^

Dreieck:

Quadrat:

Pentagon:

Hexagon:

60^ 90^ 108^

128.57..^ Septagon:

120^

Warum fünf Platonische Körper?

(26)

Schritt 2:

An einem Eckpunkt muss die Summe der Peripherie- winkel kleiner als sein:

An einem Eckpunkt muss die Summe der Peripherie- winkel kleiner als sein: ³⁶⁰

^

Warum fünf Platonische Körper?

(27)

Schritt 3:

In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.

Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .

Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: . 360 / 3 120

^



^

Dreiecke:

3 60 ^ 4 60 ^ 5 60 ^

Warum fünf Platonische Körper?

(28)

Quadrat:

3 90 ^

Warum fünf Platonische Körper?

Schritt 3:

In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.

Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .

Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als

sein: . 360 / 3 120

^



^

(29)

Pentagon:

3 108 ^

Warum fünf Platonische Körper?

Schritt 3:

In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen.

Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: .

Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als

sein: . 360 / 3 120

^



^

(30)

Flächen, Kanten, Ecken, … Flächen, Kanten, Ecken, …

Flächen Kanten ^Ecken

_{pro Fläche}^Kanten Flächen an einer Ecke

4 6 4 3 3

Tetraeder

(31)

Flächen Kanten ^Ecken

_{pro Fläche}^Kanten an einer Ecke^Flächen

6 12 8 4 3

Hexaeder

Flächen, Kanten, Ecken, …

(32)

Flächen Kanten ^Ecken

8 12 6 3 4

Oktaeder

Flächen, Kanten, Ecken, …

(33)

Flächen Kanten ^Ecken

20 30 12 3 5

Ikosaeder

Flächen, Kanten, Ecken, …

(34)

Flächen Kanten ^Ecken

_{pro Fläche}^Kanten an einer Ecke^Flächen

12 30 20 5 3

Dodekaeder

Flächen, Kanten, Ecken, …

(35)

Flächen Kanten Ecken

_{pro Fläche}^Kanten ^{an einer}^Flächen

Ecke

4 6 4 3 3

6 12 8 4 3

8 12 6 3 4

20 30 12 3 5

12 30 20 5 3

(36)

Flächen Kanten Ecken

_{pro Fläche}^Kanten ^{an einer}^Flächen

Kante

4 6 4 3 3

6 12 8 4 3

8 12 6 3 4

20 30 12 3 5

12 30 20 5 3

Euler-Zahl Euler-Zahl

?

Flaechen Kanten Ecken   

(37)

Flächen Kanten Ecken

_{pro Fläche}^Kanten an einer ^Flächen Ecke

4 6 4 3 3

6 12 8 4 3

8 12 6 3 4

20 30 12 3 5

12 30 20 5 3

Duale Polyeder

(38)

Duale Polyeder Duale Polyeder

Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:

(39)

Duale Polyeder Duale Polyeder

Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:

(40)

Netze von Körpern

(41)

Netze von Körpern

(42)

Netze von Körpern

(43)

Netze von Körpern

(44)

Netze von Körpern

(45)

Netze von Körpern

(46)

Ein Netz aber verschiedene Körper:

(47)

Ein Körper aber verschiedene Netze:

(48)

Platonischer

Körper Zahl der Netze

Cubus 11

Dodekaeder 43380 Ikosaeder 43380

Oktaeder 11

Tetraeder 2

Ein Körper aber verschiedene Netze:

(49)

Welcher Körper ist das?

http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/polycuts/

(50)

Welcher Körper ist das?

(51)

Polygone und Polyeder