Geometrie
S t e r e o m e t r i e
Der griechische Philosoph Platon (* 427 v. Chr.; † 347 v. Chr. in Athen) hat die regulären Polyeder in seinem Werk Timaios ausführlich beschrieben und sie den klassischen Elementen zugeordnet. Sie galten als Repräsentationen der Elemente, denen sie wie folgt zugeordnet wurden (in der Reihenfolge der Abbildungen):
Tetraeder = Feuer, Hexaeder = Erde, Oktaeder = Luft, Dodekaeder = Quintessenz, Ikosaeder = Wasser.
1. Reguläre Polyeder (Platonische Körper)
Ein Polyeder (Vielflächner) ist ein Körper, der nur von ebenen Flächen begrenzt wird. Sind alle Begrenzungen eines Polyeders zueinander kongruente regelmässige Vielecke, so wird es regulärer Polyeder bzw. platonischer Körper genannt. Es gibt genau fünf reguläre Polyeder.
Aufgabe 1: Fülle die leeren Spalten in dieser Tabelle aus:
Name Ecken Kanten Flächen Körper Netz
Tetraeder
Hexaeder (Würfel)
Oktaeder
Dodekaeder
Ikosaeder
Geometrie: Stereometrie Seite 3 www.mathema.ch
Aufgabe 2: Drei gleichseitige Dreiecke lassen sich zu einem „Mantel“ formen, sodass sie
zusammen mit dem Boden eine regelmässige Dreierpyramide bilden. Du kennst den Körper schon unter dem Namen Tetraeder.
Für den Bau des Mantels eignet sich das folgende Netz:
a) Welcher Körper entsteht, wenn der Mantel aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht?
b) Geht es auch mit fünf oder sechs gleichseitigen Dreiecken?
Aufgabe 3: Tetraeder mit Kantenmitten
a) Verbinde jede Kantenmitte mit jeder Mitte auf den vier Nachbarkanten. Dabei entsteht ein Kantenmodell eines Körpers. Achte darauf, dass du verdeckt laufende Kanten gestrichelt zeichnest.
b) Wie viele Kanten hat der neue Körper?
Wie viele Ecken?
Wie viele Seitenflächen?
c) Wie heisst dieser Körper?
2. Dreidimensionale Anschauung
Aufgabe 4: Die sechzehn Würfelbauten zeigen nur wenige unterschiedliche Objekte. Welche Bilder zeigen das gleiche Objekt? Versuche dir die Körper im Kopf vorzustellen und sie durch drehen und verschieben im Kopf zu überlagern.
Aufgabe 5: Beschreibe, skizziere oder baue Körper, die aus maximal 6 Flächen zusammengesetzt sind. Als Bauteile sind erlaubt: gleichseitige Dreiecke, gleichschenklige Dreiecke, Quadrate und Rechtecke mit diesen Massen:
Aufgabe 8: Skizziere Körper mit 50 %, 25 % und 12.5 % des Volumens des Prismas. Die Markierungen sollen dir beim Skizzieren helfen.
Aufgabe 9: Skizziere Körper mit 50 %, 25 % und 12.5 % des Volumens des Zylinders. Die Markierungen sollen dir beim Skizzieren helfen.
Flansch Lagerblock Seiltrommel
Aufgabe 14: Stelle einen Term für das Volumen V, die Mantelfläche M und die Oberfläche S auf.
Aufgabe 16: Bei allen hier abgebildeten Körpern kann man das Volumen der Formel V = G⋅h berechnen. Die Schwierigkeit besteht jedoch manchmal darin, die Grundfläche zu sehen.
a) Färbe bei allen Körpern eine geeignete Grundfläche an. Wie heisst dieser Körper?
b) Berechne bei den Körpern das Volumen mit s = 6 cm.
c) Beschreibe das Volumen der Körper mit einem Term.
d) Welcher Anteil macht das Volumen der Körper im Vergleich zum Würfelvolumen jeweils aus?
Aufgabe 17: Stelle einen Term für das Volumen V auf.
Aufgabe 22: Ordne die Beschreibungen A bis H den Körpern I bis VIII zu. Diese sind jeweils in einen Würfel eingezeichnet.
A Prisma mit trapezförmiger, gleichschenkliger Grundfläche B schiefe Pyramide mit quadratischer Grundfläche
C gerade Pyramide mit sechseckiger Grundfläche D Prisma mit dreieckiger, gleichschenkliger Grundfläche E Prisma mit rechtwinkliger, dreieckiger Grundfläche
F schiefe Pyramide mit dreieckiger, rechtwinklig-gleichschenkliger Grundfläche G gerade, quadratische Pyramide
H schiefe Pyramide mit rechteckiger Grundfläche
Aufgabe 23: Gib bei den Körpern in der vorhergehenden Aufgabe die Volumina als Bruchteil und in Prozent des Volumens des Würfels an.
Körper I II III IV V VI VII VIII Bruchteil
Prozent
Aufgabe 24: Die durchschnittliche Blockgrösse bei der Cheopspyramide in Gizeh beträgt 1.1 m3. Der Sandstein hat eine Dichte von 2.25 t/m3.
a) Wie viele Steinblöcke wurden verwendet?
b) Welche Masse hat ein einzelner Block? Aus wie vielen Tonnen Sandstein besteht die Pyramide?
Aufgabe 25: Auf einer Baustelle hat ein Lastwagen Sand abgeladen. Der Sandkegel hat eine Höhe von 2 m und einen Durchmesser von 6 m. Wurden die bestellten 18 m3 Sand geliefert oder sind es zu wenig, so wie bei der letzten Lieferung?
Aufgabe 26: Einer geraden, quadratischen Pyramide mit Seitenlänge s und Höhe h wird ein Quader mit der Höhe h/2 einbeschrieben. Wie gross ist das Volumen dieses Quaders ausgedrückt in s und h? Um welchen Anteil des Volumens der Pyramide handelt es sich?
Findest Du so die Formel für die Pyramide?
Geometrie: Stereometrie Seite 15 www.mathema.ch
6. Vermischte Aufgaben
Aufgabe 33: Eine Toblerone hat eine Seitenlänge von 3 cm und ist 20 cm lang. Welche Dichte hat die Schokolade? Wie viel Karton braucht es um sie einzupacken (ohne Laschen)?
Aufgabe 34: Ein Keilkissen hat laut dem Prospekt die Abmess- ungen 37 cm × 37 cm × 8 cm. Berechne Volumen und Oberfläche.
Aufgabe 35: Der 163 km lange Suezkanal ist ein künstlicher Wasserweg vom Mittelmeer zum Roten Meer über die Landenge von Suez. Seit seiner Errichtung ist es nicht mehr
notwendig, den ganzen Kontinent Afrika zu umrunden, um von Europa nach Asien zu fahren.
Der Kanal wurde von der französischen Suezkanal-Gesellschaft unter der Leitung von Ferdinand de Lesseps erbaut. Für die Schifffahrt wurde der Kanal am 16. November 1869 freigegeben. Wie viel Wasser hat es im Suezkanal? Rechne mit einer sinnvollen Genauigkeit.
Aufgabe 36: Die ursprüngliche Cheopspyramide war etwas grösser, als die heutige. Ein Teil des Materials ist in den 4500 Jahren verwittert. Wie viel m3 des Steins ist verwittert, wenn die Pyramide ursprünglich 146.6 m hoch war und eine Seitenlänge von 230.4 m hatte? Wie viel dm3 macht das pro Tag?
Aufgabe 37: Ein Rohr mit der Nennweite 80 nach DIN 11850 hat einen Aussendurchmesser von 85 mm und einen Innendurchmesser von 81 mm. Welche Masse hat ein Rohr von 1.2 Meter Länge? Das Rohr besteht aus einem Kunststoff mit einer Dichte von 1'500 kg/m3 (PVC).
Übrigens, einen solchen Körper nennen wir Hohlzylinder.
Aufgabe 38: Eine Sanduhr besteht aus einem Doppelkegel. Die ganze Uhr hat eine Höhe von 8 cm. Der grösste Durchmesser beträgt 2 cm. Der obere Kegel ist ganz mit Sand gefüllt. Wie lange geht die Uhr, wenn pro Sekunde 3 mm3 Sand nach unten fliessen?
Aufgabe 39: Ein Teil des Sandes ist bereist runtergerieselt. Der obere Kegel ist nur noch bis auf die halbe Höhe voll.
a. Wie viel Prozent des Sandes ist noch oben?
b) Welches Volumen hat der Sand, der nach unten geflossen ist?
c) Bis auf welche Höhe ist der untere Kegel gefüllt?
