Konstruktive Definition stabiler Integrale und deren Eigenschaften

Konstruktive Definition stabiler Integrale und deren Eigenschaften

Yundi Wang

19.Dez 2011

Inhaltsverzeichnis

Wiederholung

Konstruktion

Eigenschaften

Inhalt

Wiederholung

Konstruktion

Eigenschaften

stabile Verteilung

Definition:

Ein Zufallsvariable X hat einestabile Verteilung, wenn

∃0< α≤2, σ≥0,−1≤β≤1 undµ reell, so dass die charakteristische Funktion von X die folgende Form hat E[exp(iθX)] =





 exp

−σ^α|θ|^α 1−iβ(signθ) tan^πα₂

+iµθ fallsα6= 1 exp

−σ|θ| 1 +iβ_π²(signθ)ln|θ|

+iµθ fallsα= 1 Notation:S_α(σ, β, µ)

α− stabiles Zufallsmaß

Sei (Ω,F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum undL⁰(Ω) die Menge der reellen Zufallsvariablen. Sei (E, ,m) ein Maßraum

β:E →[−1,1], eine messbare Funktion und ₀ ={A∈:m(A)<∞}eine Teilmenge von , die alle endlichen m-messbaren Mengen enth¨alt

Definition:

Eine MengefunktionM :₀→L⁰(Ω) heißt α−stabiles Zufallsmaß auf (E, ) mit Kontrollmaß m und Schiefeintensit¨atβ, falls

• M eine unabh¨angig verstreute σ−additive Mengenfunktion ist. Unabh¨angig verstreute Mengenfunktion bedeutet, dass M(A₁),M(A₂), . . . ,M(A_k) unabh¨angig sind, wenn A₁,A₂, . . . ,A_k ∈₀ und A_i∩A_j =,∀i 6=j

• ∀A∈₀ gilt

M(A)∼S_α

(m(A))^α1 , R

Aβ(x)m(dx) m(A) ,0

I (f ) als Stochastische Prozess

Definition:

Sei{I(f),f ∈F} ein stochastischer Prozess mit endlich-dimensionalen VerteilungenP_f1,...,fd,wobei ihre charakteristische Funktion die Form hat

1. Falls α6= 1 :

φf₁,...,f_d(θ1, . . . , θd) = exp

(

− Z

E

d

X

j=1

θjfj(x)

α

1−iβ(x)sign

d

X

j=1

θjfj(x)

! tanπα

2

! m(dx)

)

2. Fallsα= 1:

φ_f1,...,fd(θ₁, . . . , θ_d) =

exp







− Z

E d X j=1

θ_jf_j(x)



1 +i2 πβ(x)sign



 d X j=1

θ_jf_j(x)



ln d X j=1

θ_jf_j(x)



m(dx)







Dann heißtI(f) α−stabiles Intergral von f. Das Maß m wird Kontrollmaß und die Funktionβ wird Schiefeintensit¨at genannt.

Inhalt

Wiederholung

Konstruktion

Eigenschaften

Gegeben:

Sei M einα−stabiles Zufallsmaß auf (E, ) mit einem Kontrollmaß m und Schiefeintensit¨atβ.

Sei0 ={A∈:m(A)<∞}.

Ziel:

Definiere

I(f) = Z

E

f (x)M(dx)

f¨ur∀f :E →R, die die folgenden Bedingungen erf¨ullen Z

E

|f (x)|^αm(dx)<∞ (1)

und Z

E

|f (x)β(x)ln|f (x)||m(dx)<∞ (2) fallsα= 1.

Notation:

Bezeichnen wir F =

L^α(E, ,m) α6= 1

F(m, β)∩L¹(E, ,m) α= 1 wobei

L^α(E, ,m) =

f :f ist meßbar, Z

E

|f (x)|^αm(dx)<∞

F(m, β) =

f : Z

E

|f (x)β(x)ln|f (x)||m(dx)<∞

und es gilt: F ist ein linearer Raum.

Vorgehensweise

• Konstruiere I(f), wobei f eine einfache Funktion ist.

• Approximiere f durch f⁽ⁿ⁾, eine Folge von einfachen Funktionen, wobei f =limn→∞f⁽ⁿ⁾ gilt.

• Aquivalenz¨

einfache Funktion

Eine Funktionf :E →R heißt einfach, falls f (x) =

n

X

j=1

cjI_Aj(x)

wobeiA_i,i = 1,2, . . . ,n∈₀ A_i 6=A_j,i 6=j ist undc_j ∈R. Dann definieren wir f¨ur eine einfache Funktion f

I(f) = Z

E

f (x)M(dx) :=

n

X

j=1

c_jM(A_j) (3)

Wiederholung

Proposition:

SeienX1,X2 unabh¨angige Zufallsvariablen mit X_i∼S_α(σ_i, β_i, µ_i),i = 1,2.

Dann gilt

X₁+X₂∼S_α(σ, β, µ)mit

σ= (σ₁^α+σ₂^α)^α1 , β= β1σ₁^α+β2σ₂^α

σ₁^α+σ₂^α , µ=µ1+µ2

Wiederholung

Proposition:

SeiX∼S_α(σ, β, µ) unda∈R\ {0} konstant.

Dann gilt

aX ∼ S_α(|a|σ,sign (a)β,aµ),fallsα6= 1 aX ∼ S_α

|a|σ,sign (a)β,aµ− 2

πa(ln|a|)σβ

,falls α= 1

Sei M einα−stabiles Zufallsmaß auf (E, ) mit Kontrollmaß m und Schiefeintensit¨atβ.

Nach der Definition gilt f¨ur ∀A∈₀ M(A)∼S_α

(m(A))^α1 , R

Aβ(x)m(dx) m(A) ,0

Weiter gilt, dassM(A_i),M(A_j),i 6=j, unabh¨angig sind.

I(f) :=

n

X

j=1

cjM(Aj)∼?

Sei f eine einfache Funktion I(f) =

n

X

j=1

c_jM(A_j)∼S_α(σ_f, β_f, µ_f)mit

σf = Z

E

|f (x)|^αm(dx) _α¹

(4) βf =

R

Ef (x)^hαiβ(x)m(dx) R

E|f (x)|^αm(dx) (5)

µ_f =

0 ifα6= 1

−_π²R

Ef (x)β(x)ln|f (x)|m(dx) ifα= 1 (6) I(f) ist linear in f.

allgemeine Funktion f

Seif ∈F beliebig. W¨ahle eine Folge von einfachen Funktionen f^{(n) ∞}_n=1, die die folgende Eigenschaften besitzt.

•

f⁽ⁿ⁾(x)→f (x)∀x ∈E (7)

•

f⁽ⁿ⁾(x)

≤ϑ(x),∀n,x undϑ∈F (8)

Existenz der Folge

Eine m¨ogliche Wahl von

f^{(n) ∞}_n=1:

f⁽ⁿ⁾(x) =















i

n falls_nⁱ ≤f (x)< ⁱ⁺¹_n ,i = 0,1, . . . ,n²−1,

−_nⁱ falls−⁽ⁱ⁺¹⁾_n <f (x)≤ −_nⁱ,i = 0,1, . . . ,n²−1, 0 falls|f (x)| ≥n

In diesem Fallθ=|f|

Ziel:Definiere

I(f) :=limn→∞I f⁽ⁿ⁾ z.z:I f⁽ⁿ⁾

konvergiert stochastisch f¨urn → ∞gegen einen Grenzwert

⇐⇒ I f⁽ⁿ⁾

−I f^(m) P

GGGGGA0,n,m→ ∞

Es gilt I

f⁽ⁿ⁾

−I f^(m)

=I

f⁽ⁿ⁾−f^(m)

∼S_α(σ_n,m, β_n,m, µ_n,m)

I f⁽ⁿ⁾

−I

f^(m) P GGGGGA0 gilt, wenn

• σ_n,m→0,n→ ∞

• µn,m →0,n→ ∞

Daraus folgt

plimn→∞I

f⁽ⁿ⁾

existiert Definiere

I(f) =plimn→∞I f⁽ⁿ⁾

∀f ∈F

Eindeutigkeit

Seien

f^{(n) ∞}_n=1,

g^{(n) ∞}_n=1 zwei Folgen, die gegen f konvergieren und die Bedingungen (7),(8) erf¨ullen.

Definiere

h⁽ⁿ⁾(x) =







f^(m)(x), falls n= 2m g^(m)(x), falls n= 2m−1 Dies impliziert I h⁽ⁿ⁾ P

GGGGGAI(f). Dann ergibt sich, dass die Definition des stabilen Integrals von der Wahl von

f^{(n) ∞}_n=1 nicht abh¨angt.

Inhalt

Wiederholung

Konstruktion

Eigenschaften

Proposition

Seif ∈F. Definiere σ_f, β_f, µ_f wie (4),(5),(6). Dann I(f)∼S_α(σf, βf, µf)

d.h

1. Wenn α6= 1 :

E[exp{iθI(f)}] = exp

− Z

E

|θf(x)|^α

1−iβ(x)sign(θf (x))tanπα 2

m(dx)

(9)

2. Wennα= 1:

E[exp{iθI(f)}] = exp

− Z

E

|θf (x)|

1 +i2

πβ(x)sign(θf(x))ln|θf (x)|

m(dx)

Linearit¨ at

Behauptung:

I(f) ist linear in f.d.h

• Seien f,g ∈F

⇒I(f +g) =I(f) +I(g)

• Sei f ∈F,a∈R

⇒I(af) =aI(f)

Aquivalenz ¨

Aus der Linearit¨at folgt

Propostion:F¨ur f₁,f₂, . . . ,f_d ∈F hat die charakteristische Funktion des Zufallsvektors (I(f1), . . .I(fd)) die folgende Form

1. Falls α6= 1 :

φf₁,...,f_d(θ1, . . . , θd) = exp

(

− Z

E

d

X

j=1

θjfj(x)

α

1−iβ(x)sign

d

X

j=1

θjfj(x)

! tanπα

2

! m(dx)

)

2. Fallsα= 1:

φ_f

1,...,fd(θ₁, . . . , θ_d) = exp







− Z

E d X j=1

θ_jf_j(x)



1 +i2 πβ(x)sign



 d X j=1

θ_jf_j(x)



ln d X j=1

θ_jf_j(x)



m(dx)







Der Zufallsvektor (I(f1), . . .I(f_d)) ist α−stabil . Außerdem ist diese konstruktive Definition ¨aquivalent zu der vorherigen Definition.

Unabh¨ angigkeit

Theorem SeienX₁ =R

Ef₁(x)M(dx) undX₂ =R

Ef₂(x)M(dx) zwei stabile Integrale bez¨uglich eines α−stabilen Zufallsmaßes M mit

0< α <2 und Kontrollmaß m.

Dann sindX₁ undX₂ genau dann unabh¨angig, wenn f1(x)f2(x)≡0 , m fast sicher

Vielen Dank f¨ ur die Aufmerksamkeit!