8.3 Fourier-Transformation
8.3.1 Definition und Eigenschaften
Fourier-Transformation
fˆ(y) = (Ff)(y) = Z∞
−∞
f(x)e−iyxdx
inverse Fourier-Transformation F−1
f(x) = 1 2π
Z∞
−∞
fˆ(y)eiyxdy
Differentiation und Fourier-Transformation
f0(x) 7−→F iyfˆ(y), xf(x) 7−→F i ˆf0(y)
Verschiebung bei Fourier-Transformation
f(x−a) 7−→F exp(−iay) ˆf(y), exp(iax)f(x) 7−→F fˆ(y−a)
Skalierung und Fourier-Transformation
f(ax) 7−→F f(y/a)/ˆ |a|, a 6= 0
Faltung und Fourier-Transformation
f ? g[ = ˆfg,ˆ (f ? g)(x) = Z∞
−∞
f(x−t)g(t)dt
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Regeln f¨ur die Fourier-Transformation
ϕ(x) ϕ(y)ˆ
af(x) +bg(x) afˆ(y) +bˆg(y) f(ˆ−x) 2πf(y)
f(x) fˆ(−y) f(ax) f(y/a)/ˆ |a|, a 6= 0 f(x−a) exp(−iay) ˆf(y) exp(iax)f(x) fˆ(y−a)
f0(x) iyfˆ(y) xf(x) i ˆf0(y) (f ? g) (x) fˆ(y)ˆg(y)
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