§ 10 Zerlegung der Eins

§ 10 Zerlegung der Eins

10.1. Satz [Zerlegung der Eins]. SeiΩ⊆R^d offen. Seien ferner Ki ⊂Ωi⊂Ωi⊂Ω, i∈N,

mit Ωi kompakt und [

i∈N

Ω_i= Ω,

so, dass für alle x∈Ωexistiert eine UmgebungU(x), die nur endlich viele Ωj trifft (die Überdeckung dann heißt lokal finit). Nehmen wir ferner an, dass K_j∩K_i =∅, falls i6=j. Es existiert ϕ_i∈C_c^∞(Ω),i∈Nmit

i) ϕ_i≥0 ii) P

i∈Nϕi(x) = 1, falls x∈Ω iii) 0≤P

i∈Nϕ_i ≤1.

Außerdem giltϕ_j(x) = 1 fürx∈K_j.

Bemerkung: Das System (ϕi)i∈N heißt der Überdeckung untergeordnete Zerlegung der Eins zu K.

Beweis. 1. Schritt: Nehmen wir an dass wir die folgende Situation haben Ki ⊆Vj ⊆Vj ⊆Uj ⊆Ωj

wobeiVj kompakt,Uj∩Kj =∅fallsi6=jundVj, Uj sind lokal finite Überdeckungen vonΩ. Wähleϕ⁰_j nach Lemma§9zu U_j undV_j. Dann giltϕ(x) :=P

i∈Nϕ⁰_i(x)>0, wobei lokal inΩnur endlich viele Summanden von 0 verschieden sind. Setze Setzeϕj(x) := ϕ⁰_j(x)/ϕ(x). Nach Konstruktion haben die ϕi die gewünschte Eigenschaften.

2. Schritt, Disjunktisierung vonΩj undKj:Uj := Ωj\S

i6=jKj. Natürlich giltKj ⊆Uj ⊆Ωj. Wir behaupten, dassU_j offen ist. Seix∈U_jundU(x)⊆Ω_jeine Umgebung vonxso, dassJ :={i: Ω_i∩U(x)}endlich ist. Für j 6=k∈N existiert eine UmgebungW_k(x)⊆U(x) von x mit W_k(x)∩K_k =∅. Setze W(x) :=∩k∈JW_k(x), die ist eine Umgebung von x mit W(x) ⊆ U_j und W(x)∩K_i = ∅ für alle i ∈ N, i 6= j, also U_j is offen.

Sei jetzt x ∈ Ω, liegt dann x ∈ Ωj für ein j, dann entweder liegt es in Uj oder in Ki für ein i 6= j. Die ÜberdeckungU_j is lokal finit daΩ_j ist so.

3. Schritt, Konstruktion vonVj: SeiV1 :=U1. AngenommenVj,j < n konstruiert ist mit der Eigenschaft

n−1[

j=1

Vj∪ [∞ j=n

Uj = Ω,

sei Fn eine abgeschlossene Umgebung von ∂Undie erfüllt

∂Un⊆Fn⊆

n−1[

j=1

Vj ∪ [∞

j=n+1

Uj.

FallsU_n6= 0, können wir eine kleinere Umgebung∂U_n⊆F_n⊆F_n⁰ finden damitU_n\F_n⁰ nichtleer wird. Setze Vn:=Un\F_n⁰. Dann

Un⊆Vn∪F_n⁰ ⊆ [n j=1

Vj∪ [∞ j=n+1

Uj. Also V_j ist eine offene Überdeckung, die natürlich lokal finit bleibt.

41

Satz [Zerlegung der Eins – Version II]: Sei K ⊆R^d kompakt und K ⊆ Sn

i=1Ωi, mit Ωi ⊆ R^d offen.

Dann existiert ϕi∈C_c^∞(Ωj)mit i) ϕi≥0

ii) Pn

i=1ϕ_i(x) = 1, falls x∈K iii) 0≤Pn

i=1ϕi ≤1.

Beweis. KonstruiereV_j ⊆V_j ⊆Ω_j mit V_j offene Überdeckung vonK und V_j kompakt. Dann wiederhole Schritt 1, von dem obigen Beweis. (Oder verwende Satz10.1)

42