Analysis 1, PS Wintersemester 2020/2021
9. ¨Ubungsblatt 3./4. Dezember 2020
(1) Berechnen Sie die Partialsummen der folgenden Reihen:
(a) X1
k=0
1 (k+ 1)(k+ 3) (b)
X1 k=0
1
(2k+ 1)(2k+ 3)
(c) X1
k=0
1
(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) (d)
X1 k=0
k
(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) (2) Berechnen Sie die Partialsummen der Reihe
X1 k=0
k2qk und untersuchen Sie damit, f¨ur welche Werte q2C diese Reihe konvergiert.
(3) Untersuchen Sie, welche der folgenden Reihen konvergiert, und berechnen Sie (wenn m¨oglich) den Wert der Reihe:
(a) X1
k=0
3k 4 5k (b)
X1 k=0
✓ 1 p7
◆k
(c) X1 k=1
k2 +k+ 1 k3 (d)
X1 k=0
⇣p
5k2+ 6 p
5k2+ 1⌘ (e)
X1 k=0
23k 32k
(4) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
(a) X1
k=0
✓ k+ 5 2k+ 7
◆k
(b) X1 k=0
p 1
k3 + 5 (c)
X1 k=1
1 kpk
k
(5) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
(a) X1 n=0
(n!)2
(2n)! (b)
X1 n=0
3n·n!
nn (c)
X1 n=0
2n·n!
nn (d)
X1 n=0
f(n), wobei f(0) = 5 und f(n+ 1) = 3n+ 4
5n 23f(n) f¨urn 2N
(6) Maler haben die Aufgabe, ein regelm¨aßiges Sechseck S0 anzustreichen und daf¨ur 6 Dosen Farbe bestellt (damit geht es sich genau aus). Leider werden nur 5 Dosen geliefert. Deshalb beginnen die Maler, das Sechseck zu verkleinern, indem sie auf jeder Seite (= Verbindung zweier benachbarter Eckpunkte) das mittlere Drittel markieren und darauf nach innen ein gleichseitiges Dreieck errichten, das ausgeschnitten wird. So verfahren sie mit der Figur S0, dann mit S1 etc.
Wie muss n 2N gew¨ahlt werden, dass die Farbe f¨ur die Figur Sn reicht?
Bild:
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