Chemisches Potential im idealen Bose-Gas: (a) Teilchenzahl: N(T, V, µ

Karlsruher Institut Institut f¨ur Theorie der

f¨ur Technologie (KIT) Kondensierten Materie

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 09

Prof. Dr. A. Shnirman L¨osungsvorschlag zu Blatt 8

Dr. S. Rachel 16.6.2009

1. Chemisches Potential im idealen Bose-Gas:

(a) Teilchenzahl:

N(T, V, µ) = X

k

nB(ε(k)−µ) =V Z

dεN(ε)nB(ε−µ) mit der Bose-Einstein-Verteilungsfunktion nB. Die Zustandsdichte lautet

N(ε) = C3√

ε , C3 = 1 4π²

2m

~² 3/2

Mitε≥0 und −µ≫kT wird nB(ε−µ) = [e^β(ε−µ)−1 ]⁻¹ ≃e^{−β(ε−µ)}, also N =V e^βµC3

Z ^∞

0

dε√

εe^−βε=V C3e^βµ(kT)^3/2 Z ^∞

0

dx√ xe^−x Das Integral ist Bronstein-integrabel,

N(T, V, µ) =V C3Γ(3/2)(kT)^3/2exp(βµ) , Γ(3/2) =

√π 2 Aufl¨osen nach µund Einsetzen von C3 ergibt

e^βµ = N V

1 Γ(3/2)C3

(kT)^−3/2 ⇒ µ(T, V, N)

kT =−ln

"

V N

2mkT

~²

3/2#

+const.

F¨ur T → ∞ geht also −µ ∝ Tln(T) ≫ T. Die anfangs willk¨urlich erscheinende Annahme −µ≫kT ist also konsistent.

Innere Energie:

U(T, V, µ) = V Z

dεN(ε)εnB(ε−µ) (1)

≃ V C3e^βµ Z ^∞

0

dε ε^3/2e^−βε (2)

= V C3e^βµ(kT)^5/2 Z ^∞

0

dx x^3/2e^−x

| {z }

= Γ(5/2)

(3)

Jetzt muß manµbzw. e^βµ von oben einsetzen, um die Abh¨angigkeit von den kano- nischen Variablen T, V, N zu bekommen, C3 f¨allt heraus,

⇒ U(T, V, N) =NΓ(5/2)

Γ(3/2)kT , U(T, V, N) = 3 2NkT

Der letzte Schritt folgt mit Γ(1 +x) =xΓ(x) . Spezifische W¨arme: cV =

∂U

∂T

V,N

= 3 2Nk. (b) Die Teilchenzahl ist gegeben durch

N(T, V, µ) =V Z

dε n_B(ε−µ)

Außerdem ist die mittlere Besetzung eines bestimmten Einteilchen-Zustandes hn_ki= 1

ZG

X

α

n_k(α)e^{−β(Eα−µNα)}=. . .=nB(ε(k)−µ)

Die mittlere Besetzung muß nat¨urlich ≥ 0 sein, und mit ε(k) ≥ 0 folgt µ ≤ 0 , damit die BosefunktionnB(ε(k)−µ)≥0 . Bei hohen Temperaturen T → ∞ wissen wir, daß µ <0 und|µ| → ∞. Wird die Temperatur abgesenkt, so ist zu vermuten, daß µsich von großen negativen Werten kommend in Richtung µ= 0 bewegt. Das kann man sich graphisch klarmachen, indem man den Faktor N(ε)nB(ε−µ) ∼

√ε n_B(ε−µ) f¨ur verschiedene Werte von µ <0 auftr¨agt: Die Teilchenzahl N ist durch die Fl¨ache unter diesem Faktor gegeben, und mit sinkender Temperatur wird diese kleiner. Will man N konstant halten, muß also µ entsprechend angehoben

Abbildung 1: √

ε nB(ε−µ) als Funktion von εf¨ur verschiedene Werte von µund T ist ge- plottet. Die blaue Kurve geh¨ort zu der h¨ochsten Temperatur, rot zur mittleren und schwarz zur niedrigsten Temperatur. Um die Fl¨ache unter Kurve konstant zu halten (=Teilchen- zahl), muss sich µgegen 0 bewegen. AlsoT_blau > T_rot > T_schwarz undµ_blau < µ_rot < µ_schwarz. Die “Spitze” dieser Funktion bewegt sich dabei an ε= 0 heran.

werden, wodurch der divergierende Teil der Bosefunktion n¨aher anε= 0 r¨uckt und den Verlust der Fl¨ache ausgleicht. F¨urT →0 funktioniert das aber nicht mehr, denn die Zustandsdichte unterdr¨uckt den Beitrag naheε= 0 , undµmuß ja≤0 bleiben.

Unterhalb einer bestimmten Temperatur T₀, bei der µ = 0 erreicht ist, lassen sich die N Teilchen nicht mehr ganz im System unterbringen ?! Der Fehler liegt darin, daß sich ein endlicher Anteil des Gases im energetisch tiefsten Einteilchen Zustand mit k = 0 und damit ε(k) = 0 sammelt (Bose-Kondensation). Dieser Beitrag zur Teilchenzahl geht beim ¨Ubergang von der k-Summe zum Integral mit Zustandsdichte verloren, da N(0) = 0 .

Im Allgemeinen muß man f¨ur die Teilchenzahl also ansetzen N(T, V, µ) =N0(T, V) +V

Z

dεN(ε)nB(ε−µ)

dabei ist N0 die Anzahl der Bosonen im tiefsten Ein-Teilchen-Zustand k = 0 . N0(T, V)6= 0 nur f¨ur T ≤T0. Unterhalb von T0 ist auch µ= 0 , so daß

T < T₀ : N(T, V, µ) =N(T, V, µ= 0) =N₀(T, V) +V Z

dεN(ε)n_B(ε) UmT0 zu bestimmen, nutzt man aus, daß bei T =T0 gerade noch N0 = 0 , also

N(T0, V, µ= 0) =N =V Z

dεN(ε)nB(ε)

T=T⁰

=V C3(kT0)^3/2 Z ^∞

0

dx

√x e^x−1

| {z }

= Γ(3/2)ζ(3/2) Die Teilchendicht kann also durch T0 ausgedr¨uckt werden, bzw. umgekehrt,

N

V =C3Γ(3/2)ζ(3/2)(kT0)^3/2 ⇒ kT0 = ˜a· ~²k₀²

2m , k0 = 2π a0

, a0 = V

N 1/3

, 1

˜

a = [ 4π²Γ²(3/2)ζ²(3/2) ]^1/3 k0 ist der Wellenvektor, der zum mittleren Teilchabstand a0 korrespondiert.

(c) Es ist T > T₀ mit T −T₀ →0 , also auch (−µ)>0 mit (−µ)≪kT ≃kT₀.

Problem: Jetzt ist nicht mehr µ= 0 , und die Integrale ¨uber die Bosefunktion sind nicht mehr so einfach. Man muß also eine geeignete N¨aherung suchen. Dazu:

N(T, V, µ) =V Z

dεN(ε)nB(ε−µ) = ∆N(T, V, µ) +N(T, V,0) dabei ist

N(T, V,0) =V Z

dεN(ε)nB(ε) , ∆N(T, V, µ) = [N(T, V, µ)−N(T, V,0) ] N(T, V,0) l¨aßt sich exakt berechnen.

Achtung: N(T, V,0) ist nicht die Teilchenzahl N, außer f¨ur T =T0.

Eine N¨aherung wird in ∆N gemacht [Landau, Lifshitz Band V, Paragraph 62]:

∆N(T, V, µ) = V Z

dεN(ε)[nB(ε−µ)−nB(ε) ] (4)

= V C3

Z ^∞

0

dε√ ε

1

e^β(ε−µ)−1− 1 e^βε−1

(5) Mit (−µ) ≪ kT kommen die st¨arksten Beitr¨age zum Integral von kleinen ε → (−µ)→0 , wo die Bosefunktion divergiert. Also:

e^βE ≃1 +βE , nB(E) = 1

e^βE −1 ≃ kT

E , E =ε,(ε−µ)

und damit

∆N(T, V, µ) ≃ V C3kT Z ^∞

0

dε√ ε

1 ε−µ− 1

ε

=V C3kT µ Z ^∞

0

dε 1

√ε(ε−µ)

= V C3kT µ 2

√−µ π 2 also

∆N(T, V, µ) =−V C₃π(kT)√

−µ

Diese N¨aherung liegt eigentlich f¨ur alle Integrale bei T → T0 nahe, also auch f¨ur N(T, V, µ) , allerdings konvergiert das Integral an der oberen Grenze ∞ nur, wenn man vorherN(T, V,0) abzieht (und natuerlich wieder, ohne N¨aherung, addiert) ! N(T, V,0) haben wir in b) schon berechnet, allerdings ist hier T0 →T ,

N(T, V,0) =V C3Γ(3/2)ζ(3/2)(kT)^3/2

F¨ur T =T0 ist dies die Teilchenzahl, N(T0, V,0) =N, und wir k¨onnen damit (wie oben schon !) C3 rauswerfen,

N(T, V, µ) = V C₃

Γ(3/2)ζ(3/2)(kT)^3/2−π(kT)√

−µ

= N(T0, V,0)

"

T T₀

3/2

− π

Γ(3/2)ζ(3/2) T

T₀

r−µ kT₀

#

und mit N(T, V, µ) =N(T₀, V,0) =const.=N kann man nach µ aufl¨osen, r−µ

kT0

= Γ(3/2)ζ(3/2) π

"

T T0

1/2

− T0

T #

Im Prinzip ist dies das Ergebnis, aber man kann f¨urT →T0 durch Entwickeln noch etwas vereinfachen:

T T0

= 1− T −T0

T0 ≡1 +δt, T

T0

1/2

= (1 +δt)^1/2 ≃1 + 1 2δt,T0

T = 1

1 +δt ≃1−δt womit schließlich (nach Quadrieren) folgt:

−µ kT0

=d·(δt)² , d= [ 3

2πΓ(3/2)ζ(3/2) ]² Der Verlauf l¨aßt sich also so zusammenfassen:

T < T0 : µ= 0 T ≥T0 : µ∝ −T² T ≫T0 : µ∝ −Tln(T)

(d) In zwei Raumdimensionen ist die Zustandsdichte

N(ε) =C₂θ(ε) , C₂ =const.

Die Bedingung f¨ur T₀ lautet jetzt also N

V = Z

dε N(ε)nB(ε)|T=T0 =C2

Z ^∞

0

dε nB(ε)|T=T0 =C2kT0

Z ^∞

0

dx 1 e^x−1

=C2kT0

h−x+ ln (e^x−1)i^∞

0

Das Integral divergiert an der Untergrenze x = 0 , so daß T₀ = 0 . Mit einer gra- phischen Darstellung wie in b) wird klar: Da hier die Zustandsdichte die Beitr¨age kleiner Energien nicht unterdr¨uckt, lassen sich auch f¨ur T →0 alle Teilchen in an- geregten Zust¨anden (beliebig kleiner Energie) unterbringen, und die Kondensation setzt nicht ein, zumindest nicht bei einer endlichen Temperatur.

2. Ideales Bose-Gas:

Der erste Term im großen Potential∝ln (1−z) ist in der nicht-kondensierten Phase vernachl¨assigbar, da er nicht proportional zum Volumen ist. F¨urT < TC jedoch wird der Beitrag des ersten Terms makroskopisch groß und muss ber¨ucksichtigt werden.

(a) Wir betrachten zuerstT > TC: P

kBT = 2s+ 1

λ³_T g5/2(z)

Aus Ω =−P/V folgtP =−Ω/V oder wir nehmen P =− _∂V^∂Ω

. Da der erste Term von Ω in der nicht-kondensierten Phase irrelevant ist, erhalten wir direkt obigen Ausdruck.

N

V = 2s+ 1

λ³_T g3/2(z) Es gilt

N =− ∂Ω

∂µ

T,V

=− ∂z

∂µ

T,V

∂Ω

∂z

T,V

=− βz

−kBT(2s+ 1)V

λ³_T ∂zg5/2(z)

| {z }

1/z g3/2(z)

∂

∂Tg3/2(z)

N,V =− 3

2Tg3/2(z)

Wir leiten einfach die vorige Zeile nach T ab und halten N konstant:

0 =∂_TN = (2s+ 1)V

∂_T 1 λ³_T

| {z }

3 2T

1 λ3 T

g_3/2(z) + (2s+ 1)V λ³_T

∂_Tg_3/2(z)

N,V

Aufl¨osen liefert das gew¨unschte Resultat.

1 z

∂z

∂T

µ,V =−µβ T Einfach ableiten und beachten, dass µkonstant ist:

1

z∂Te^βµ =∂T βµ

=−βµ T

1 z

∂z

∂T

N,V =− 3 2T

g3/2(z) g1/2(z)

Wir erhalten wiederum die Ableitung ∂T(βµ), doch diesmal ist µ = µ(T). Wir betrachten wieder die Ableitung von g3/2(z), f¨uhren diesmal jedoch die Ableitung aus:

∂_Tg_3/2(z)

N,V =∂_zg_3/2(z)∂z

∂T ·z· 1

z =g_1/2(z)1 z

∂z

∂T

Vergleichen wir dies mit der dritten Relation von oben, erhalten wir das gesuchte Resultat.

∂

∂Tg5/2(z)

µ,V =−g3/2(z)βµ T Einfach ausrechnen:

∂Tg5/2(z) =z∂zg5/2(z)1 z

∂z

∂T

µ,V =g3/2(z)

− µβ T

Wenn wir in die kondensierte Phase kommen, erhalten die beiden ersten Terme noch einen Korrekturfaktor ∝ ln (1−z) bzw. ∝ ₁−^zz. Die beiden Relationen bei konstantemN werden 0, daz(N) =konst. Die Relationen bei konstantemµbleiben hingegen korrekt.

(b) Es gilt

∂_T 1 λ³_T = 3

2T 1 λ³_T .

AusdΩ =−pdV −SdT −Ndµ ergibt sich S =−

∂Ω

∂T

V,µ

und N =− ∂Ω

∂µ

V,T

. Also finden wir f¨urS

S = −k_B(2s+ 1) ln (1−z) +k_B(2s+ 1)V

λ³_Tg_5/2(z)

| {z }

−Ω/T

+kBT V(2s+ 1)

∂T

1 λ³_T

g5/2(z)

−(2s+ 1) z 1−z

µ

T +kBT V(2s+ 1) 1 λ³_T

∂Tg5/2(z)

µ,V

| {z }

−µN/T

und N

N = (2s+ 1) z

1−z + (2s+ 1)V

λ³_Tg3/2(z) . Alles zusammen ergibt sich f¨ur die innere Energie

U = Ω +T S+µN = Ω−T ∂Ω

∂T

V,µ

−µ ∂Ω

∂µ

V,T

= Ω +T

−Ω T

+kBT V(2s+ 1) 3

2λ³_T

g5/2(z)

−µ





(2s+ 1) z

1−z + (2s+ 1)V

λ³_Tg3/2(z)

| {z }

=N





+µN

= 3

2kBT(2s+ 1)V

λ³_Tg5/2(z) .

(c)

CV = ∂U

∂T

V,N

= U T + 9

4kB(2s+ 1)V

λ³_Tg5/2(z) +3

2kBT(2s+ 1)V

λ³_T∂zg5/2(z)∂z

∂T V,N

Der letzte Teil tr¨agt in der kondensierten Phase T < TC nicht bei, da z sonst konstant ist.

T < TC : CV = 5 2

U T

Mit den Relationen vom (a)-Teil ergibt sich f¨ur T > TC

CV = 5 2

U T −9

4kB(2s+ 1)V λ³_T

[g3/2(z)]² g1/2(z)

= 5 2

U T −9

4kBNg3/2(z) g_1/2(z)

wobei wir die Teilchenzahl beiT > TC verwendet haben, N = (2s+ 1)V

λ³_Tg_3/2(z) .