4.Aufgabe 3.Aufgabe 2.Aufgabe 1.Aufgabe 11.¨UbungAlgebraI TECHNISCHEUNIVERSIT¨ATBERLIN

TECHNISCHE UNIVERSIT ¨ AT BERLIN

Dozent: Prof. Dr. F. Heß WM: G. M¨ohlmann

www.math.tu-berlin.de/˜hess/algebra1-ss2009

11. ¨ Ubung Algebra I

1. Aufgabe

Zeigt die Isomorphie der RingeZ[√

−1]_{0}undQ[√

−1], wobei der erste Ring der Lokalisierung von Z[√

−1]an der MengeZ[√

−1]\ {0}entspricht.

(5 Punkte)

2. Aufgabe

SeienRein Ring undU ⊆Reine multiplikativ abgeschlosse Menge mit1∈U. Der AbschlußIeines IdealsI vonRist definiert durchI := {r ∈ R|es gibtu ∈ U mitur ∈ I}.I heißt abgeschlossen, wenn I = I gilt. Zeigt, dass der AbschlußI eines I Ideals von R ein Ideal mit I ⊆ I ist. Zeigt weiterhin, dass der Abschluß eines Ideals abgeschlossen ist.

(5 Punkte)

3. Aufgabe

SeiRein kommutativer Ring undU eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge vonRmit1 ∈U und06∈U. Zeigt die folgenden Aussagen:

(a) IstRein Hauptidealring, so ist auchR[U⁻¹]ein Hauptidealring.

(b) IstRnoethersch, so ist auchR[U⁻¹]noethersch.

(5 Punkte)

4. Aufgabe

SeiRein kommutativer Ring undf(t) =a_ntⁿ+. . .+a₁t+a₀∈R[t]. Ista₀eine Einheit inRund sinda1, . . . annilpotente Elemente, dann istf invertierbar.

(5 Punkte)

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