2.Aufgabe 1.Aufgabe 1.¨UbungAlgebraI TECHNISCHEUNIVERSIT¨ATBERLIN

TECHNISCHE UNIVERSIT ¨ AT BERLIN

Dozent: Prof. Dr. F. Heß WM: G. M¨ohlmann

www.math.tu-berlin.de/˜hess/algebra1-ss2009

1. ¨ Ubung Algebra I

1. Aufgabe

(i) Seien (X,◦) und(Y,¤)Gruppen mit den Verkn¨upfungen◦ bzw.¤sowie den neutralen Ele- mentenebzw.². Gegeben sei ein Homomorphismus

f :X −→Y mitf(x₁◦x₂) =f(x₁)¤f(x₂).

Zeigt, dass

f(x₁)⁻¹ =f(x⁻¹₁ ) und f(e) =² gilt.

(ii) SeienG:= (R,+)undH:= (R^>0,·). Verifiziert, dass die Abbildung exp :R−→R^>0, a7−→exp(a)

ein Homomorphismus ist. Handelt es sich hier um ein Mono-, Epi-, Endo- und/ oder Isomor- phismus?

(5 Punkte)

2. Aufgabe

Zeigt folgende Aussagen:

(i) Sei(G,◦)eine Gruppe undh∈G. Dann ist

φ:G−→G, g7−→h◦g

injektiv.

(ii) Eine GruppeGmitg² = 1f¨ur alleg∈Gist abelsch.

(iii) Jede Gruppe mit weniger als6Elementen ist abelsch.

(5 Punkte)

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3. Aufgabe

In einem Monoid(M, e,◦)sei f¨ura, b∈M eine TeilmengeL_a,bdurchL_a,b :={x ∈M|a◦x=b}

definiert. Gebt f¨ur jede der folgenden Eigenschaften einen Monoid an, in dem diese erf¨ullt ist:

(a) Es existieren Elementea6=eundbinM, so dass#L_a,b= 0gilt.

(b) Es existieren Elementea6=eundb, so dass#La,b= 1gilt.

(c) Es existieren Elementea6=eundb, so dass#L_a,b= 2gilt.

(d) Es existieren Elementea6=eundb, so dass#L_a,b=∞gilt.

(5 Punkte)

4. Aufgabe

Sei(G,◦)eine Gruppe. Zeigt, dass die Teilmenge

Z(G) ={x∈G|x◦y=y◦xf¨ur alley∈G}

eine Untergruppe vonGist. Wie sieht es aus, wenn man nur voraussetzt, dassGeine Halbgruppe ist.

(5 Punkte)

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