3 Rechnen mit Binärzahlen

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3 Rechnen mit Bin¨ arzahlen

3.1 Darstellung von Bin¨ arzahlen

Seit der Schule sind wir mit unserem klassischen Dezimalsystem wohlvertraut.

Im Dezimalsystem l¨asst sich jede Zahl als Summe von Zehnerpotenzen darstellen, z.B.:

9103 = 9·1000 + 1·100 + 0·10 + 3·1

= 9·10³+ 1·10²+ 0·10¹+ 3·10⁰ 274 = 2·100 + 7·10 + 4·1

= 2·10²+ 7·10¹+ 4·10⁰

Allgemein k¨onnen wir jede nat¨urliche Zahl im Dezimalsystem darstellen als anan−1. . . a1a0 =an·10ⁿ+an−1·10ⁿ⁻¹+. . .+a1·10¹+a0·10⁰ =

n

i=0

ai ·10ⁱ

mit den Ziﬀernai ∈ {0,1, . . . ,9}.

Schreibweise: Um zu kennzeichnen, dass eine Zahl als Dezimalzahl interpretiert werden soll, verwenden wir den Index 10 und schreiben

z10 =anan−1. . . a1a0 =

n

i=0

ai·10ⁱ

Die Darstellung von Zahlen als Summe von Zehnerpotenzen lässt sich auf andere Potenzen übertragen. Z.B. können wir die Zweierpotenzen betrachten. Als Ziffern stehen uns dann 0 und 1 zur Verfügung. Dann gilt z.B.

101 = 1·2²+ 0·2¹+ 1·2⁰

11001 = 1·2⁴+ 1·2³+ 0·2²+ 0·2¹+ 1·2⁰ 1000 = 1·2³+ 0·2²+ 0·2¹+ 0·2⁰

Allgemein k¨onnen wir jede Zahl im Zweiersystem darstellen als a_na_n−1. . . a₁a₀ =a_n·2ⁿ+a_n−1·2ⁿ⁻¹+. . .+a₁·2¹+a₀·2⁰ =

n

i=0

a_i·2ⁱ

mit den Ziﬀerna_i ∈ {0,1}. Diese Zahlen im Zweiersystem heißenBin¨arzahlen.

Schreibweise: Um zu kennzeichnen, dass eine Zahl als Bin¨arzahl interpretiert werden soll, verwenden wir den Index 2 und schreiben

z2 =anan−1. . . a1a0 =

n

i=0

ai·2ⁱ

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Im obigen Beispiel k¨onnen wir die Bin¨arzahlen ganz einfach in Dezimalzahlen umrechnen:

101₂ = 1·2²+ 0·2¹+ 1·2⁰ = 5₁₀

11001₂ = 1·2⁴+ 1·2³+ 0·2²+ 0·2¹+ 1·2⁰ = 25₁₀ 1000₂ = 1·2³+ 0·2²+ 0·2¹+ 0·2⁰ = 8₁₀

Will man umgekehrt eine Dezimalzahl in eine Bin¨arzahl umrechnen, muss man pr¨ufen, welche Zweierpotenzen in der Dezimalzahl stecken, z.B.

41₁₀ = 32 + 8 + 1

= 1·2⁵+ 0·2⁴+ 1·2³+ 0·2²+ 0·2¹+ 1·2⁰

= 101001₂

63₁₀ = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

= 1·2⁵+ 1·2⁴+ 1·2³+ 1·2²+ 1·2¹+ 1·2⁰

= 111111₂

Binärzahlen spielen in der Informatik und in der digitalen Signalverarbeitung eine wichtige Rolle. Alle Zahlen im Computer werden letztendlich als Binärzahlen dargestellt. 1 bedeutet: Strom fließt, 0 bedeutet: Strom fließt nicht.

Ganz allgemein lassen sich beliebigep-Zahlensysteme konstruieren: Sie benötigen pverschiedene Zeichen und können dann einep-Zahl als Summe von p-Potenzen wie folgt definieren:

zp =anan−1. . . a1a0 =an·pⁿ+an−1·pⁿ⁻¹+. . .+a1·p¹+a0·p⁰ =

n

i=0

ai·pⁱ

mit den Zeichen a_i ∈ {0,1, . . . , p−1}.

Neben dem Dezimalsystem (p=10) und dem Bin¨arsystem (p=2) spielen in der Informatik noch folgende Zahlensysteme eine Rolle:

• Oktalzahlen:p= 8, ai ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7}, z.B.

175₈ = 1·8²+ 7·8¹+ 5·8⁰ = 64₁₀+ 56₁₀+ 5₁₀ = 125₁₀ 263₈ = 2·8²+ 6·8¹+ 3·8⁰ = 128₁₀+ 48₁₀+ 3₁₀ = 179₁₀

55₈ = 5·8¹+ 5·8⁰ = 40₁₀+ 5₁₀ = 45₁₀

• Hexadezimalzahlen: p= 16, a_i ∈ {0,1, . . . ,8,9, A, B, C, D, E, F}, z.B.

4A16 = 4·16¹+A·16⁰ = 64₁₀+ 10₁₀ = 74₁₀

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3.2 Rechnen mit Bin¨ arzahlen

In den n¨achsten beiden Abschnitten lernen wir, wie man Bin¨arzahlen addiert und multipliziert.

3.2.1 Addition

F¨ur die Addition zweier Bin¨arzahlen gilt folgende Additionstabelle:

+ 0 1

0 0 1

1 1 0 (merke 1) Beispiele:

111 111₂ = 2²+ 2¹+ 2⁰ = 7₁₀ 1101 1101₂ = 2³+ 2²+ 2⁰ = 13₁₀

1 1 1 1

10100 10100₂ = 2⁴+ 2² = 20₁₀

Andererseits ist auch 7₁₀+ 13₁₀ = 20₁₀

101100 101100₂ = 2⁵+ 2³+ 2² = 44₁₀

+ 111011 111011₂ = 2⁵+ 2⁴+ 2³+ 2¹+ 2⁰ = 59₁₀

1 1 1

1100111 1100111₂ = 2⁶+ 2⁵+ 2²+ 2¹+ 2⁰ = 103₁₀ Andererseits ist auch 44₁₀+ 59₁₀ = 103₁₀

1000100 1000100₂ = 2⁶+ 2² = 68₁₀

+ 1010101 1010101₂ = 2⁶+ 2⁴+ 2²+ 2⁰ = 85₁₀

1 1

10011001 10011001₂ = 2⁷ + 2⁴+ 2³ + 2⁰ = 153₁₀ Andererseits ist auch 68₁₀+ 85₁₀ = 153₁₀ Weitere Aufgaben zum ¨Uben:

10010 + 110 =

1101 + 1101 =

111 + 10101 = 11111 + 11111 = 1100101 + 1001101 = 11100 + 100010 =

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3.2.2 Multiplikation

F¨ur die Multiplikation zweier Bin¨arzahlen gilt folgende Multiplikationstabelle:

· 0 1 0 0 0 1 0 1 Beispiele:

1101·1001 1101₂ = 2³+ 2²+ 2⁰ = 13₁₀ 1101000 1001₂ = 2³+ 2⁰ = 8 + 1 = 9₁₀

1101

1

1110101 1110101₂ = 2⁶+ 2⁵ + 2⁴+ 2²+ 2⁰ = 117₁₀ Andererseits ist auch 13₁₀·9₁₀ = 117₁₀

110011·101010 110011₂ = 2⁵+ 2⁴+ 2¹+ 2⁰ = 51₁₀ 11001100000 101010 = 2⁵+ 2³+ 2¹ = 42₁₀

110011000 1100110

1 1 1 1 1 1

100001011110 2¹¹+ 2⁶+ 2⁴+ 2³+ 2²+ 2¹ = 2142₁₀ Andererseits ist auch 51₁₀·42₁₀= 2142₁₀

Weitere Aufgaben zum ¨Uben:

10010 · 110 =

1101 · 1101 = 111 · 10101 = 11111 · 11111 = 1100101 · 1001101 = 11100 · 100010 =

3.3 Zweierkomplement

Im Computer stehen nur endlich viele Stellen f¨ur die Darstellung von Zahlen zur Verf¨ugung. Wir wollen untersuchen, wie viele Zahlen man damit codieren kann, d.h. welchen Zahlenbereich man damit darstellen kann.

Betrachten wir zun¨achst den einfachen Fall, dass uns 3 Bits zur Verf¨ugung stehen.

Dann k¨onnen wir insgesamt 2³ = 8 Zahlen darstellen, n¨amlich die Zahlen von 0

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000 − 0 100 − 4

001 − 1 101 − 5

010 − 2 110 − 6

011 − 3 111 − 7

Wir k¨onnten jedoch auch das erste Bit verwenden, um ein Vorzeichen zu codieren:

0 bedeutet + und 1 bedeutet−. Dann stehen f¨ur die Darstellung der eigentlichen Zahl nur zwei Bits zur Verf¨ugung, und zwar wird festgelegt:

000 − 0 100 − −4

001 − 1 101 − −3

010 − 2 110 − −2

011 − 3 111 − −1

Auch in diesem Fall k¨onnen wir 2³ = 8 Zahlen codieren und zwar die Zahlen von

−4 bis 3. Diese Festlegung f¨ur die Darstellung negativer Bin¨arzahlen nennt man Zweierkomplement.

Mit dem Zweierkomplement k¨onnen wir wie gewohnt rechnen:

0₁₀ = (3 + (−3))₁₀ = 011₂+ 101₂ = (1000)₂ = 000₂ 0₁₀ = (2 + (−2))₁₀ = 010₂+ 110₂ = (1000)₂ = 000₂ 0₁₀ = (1 + (−1))₁₀ = 001₂+ 111₂ = (1000)₂ = 000₂

Wenn uns statt drei Bit vier Bit zur Verf¨ugung stehen, dann k¨onnen wir insgesamt 2⁴ = 16 Zahlen darstellen, und zwar entweder die positiven Zahlen von 0 bis 15:

0000 − 0 1000 − 8

0001 − 1 1001 − 9

0010 − 2 1010 − 10

0011 − 3 1011 − 11

0100 − 4 1100 − 12

0101 − 5 1101 − 13

0110 − 6 1110 − 14

0111 − 7 1111 − 15

oder wir verwenden wieder das erste Bit f¨ur die Codierung des Vorzeichens und codieren damit die Zahlen von−8 bis 7:

0000 − 0 1000 − −8

0001 − 1 1001 − −7

0010 − 2 1010 − −6

0011 − 3 1011 − −5

0100 − 4 1100 − −4

0101 − 5 1101 − −3

0110 − 6 1110 − −2

0111 − 7 1111 − −1

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Auch dann gilt wieder− wie man erwarten w¨urde:

z2+ (−z)₂ = 0₂

Im allgemeinen Fall stehen unsn Bits zur Verfügung. Damit können wir 2ⁿ Zah- len codieren, nämlich entweder die positiven Zahlen von 0 bis 2ⁿ−1, oder wir verwenden das erste Bit für die Vorzeichencodierung (0 bedeutet + und 1 bedeutet −) und können dann die Zahlen von −2ⁿ⁻¹ bis 2ⁿ⁻¹−1 darstellen. Für das Zweierkomplement gilt in jedem Fall:

z2+ (−z)₂ = 0₂

In der Praxis sind die F¨alle n = 32 bzw. n = 64 relevant, und zwar f¨ur die Darstellung von Zahlen in 32-Bit- bzw. 64-Bit-Rechnerarchitekturen.

Frage: Wie kann man das Zweierkomplement schnell und einfach berechnen?

Antwort: Das geht mit folgendem Algorithmus:

1. In Binärzahl umrechnen 2. Mit Nullen auffüllen 3. Komplement bilden 4. 1 addieren

Beispiel 1: Berechnen Sie das Zweierkomplement von 12 mit 5 Bits.

1. 12₁₀= 8₁₀+ 4₁₀ = 1·2³+ 1·2² = 1100₂ 2. 1100₂ →01100₂

3. 01100₂ →10011₂ 4. 10011₂+ 1₂ = 10100₂

Das Zweierkomplement von 12 mit 5 Bits ist 10100.

Beispiel 2: Berechnen Sie das Zweierkomplement von 12 mit 8 Bits.

1. 12₁₀= 8₁₀+ 4₁₀ = 1·2³+ 1·2² = 1100₂ 2. 1100₂ →00001100₂

3. 00001100₂ →11110011₂ 4. 11110011₂+ 1₂ = 11110100₂

Das Zweierkomplement von 12 mit 8 Bits ist 11110100.

Weitere Aufgaben zum ¨Uben: Berechnen Sie das Zweierkomplement von 121 bei 8 Bits

37 bei 6 Bits 127 bei 8 Bits