Prof. Dr. Sibylle Schwarz sibylle.schwarz@htwk-leipzig.de Bonus. Übung zur Vorlesung „Modellierung“ Wintersemester 2017/18 Lösungen bis 3. Januar 2018 einzusenden im Opal-Kurs zum Modul:
https://bildungsportal.sachsen.de/opal/auth/RepositoryEntry/15460007945
Aufgabe Bonus.1
Geben Sie vier MengenA, B, C, Dan, so dassA∩B =C∩D=∅,A∩C 6=∅,1∈A∩D,B∩C ={2}, B∩D={3}und B\(C∪D)6=∅ gilt.
Aufgabe Bonus.2
Welche der folgenden Aussagen sind für jedes beliebige Paar von Mengen (A, B)∈(2M)2 wahr und welche falsch? Begründen Sie Ihre Antworten.
a. (A⊆B)→(A\B6=∅), b. (B ⊆A)→(B∩A=B),
c. (A⊆B)→(A\B=∅), d. (A⊆B)→(A∪B =A),
e. (B ⊆A)→(A\B6=∅).
Aufgabe Bonus.3
Welche der folgenden Aussagen gelten für die MengeM = 2{0,1}∪ {0}?
Begründen Sie Ihre Antworten.
a. ∅ ∈M b. ∅ ⊆M
c. {∅} ∈M d. {∅} ⊆M
e. 0∈M f. 0⊆M
g. {0} ∈M h. {0} ⊆M
i. {{0}} ⊆M j. {{0,1}} ∈M k. {0,{1}} ⊆M
l. {{0},{1}} ⊆M
Aufgabe Bonus.4
Wahr, falsch oder Typfehler? Begründen Sie Ihre Antworten.
a. ε=∅ b. ε∈ ∅ c. ε⊆ ∅ d. ∅ ∈ε e. ∅ ⊆ε
f. ε∈ {ab, ε} ◦ {ε}
g. ε∈ ∅ ◦ {ab, ε}
h. ε∈ ∅ ∪ {ab, ε}
i. ∅∗=∅ j. {ε}∗=ε k. {ε}∗={ε}
l. {a, b}∗ ={ab}∗ m. {a, b}∗ = ({a} ∪ {b})∗
n. {b} ◦({a}∗∪ {b}∗)∗ ={a, b}∗
Die Relation R⊆N×N ist definiert durchR={(m, n)| ∃a∈N(am=n)}.
Geben Sie für jede Zahlk∈ {0,2,3,4,6,12} an:
a. π2 R|{k}
b. π2 R−1|{k}
Aufgabe Bonus.6
Zeigen Sie, dass für alle binären Relationen R⊆A×B undS ⊆B×C gilt a. (R∪S)−1 =R−1∪S−1
b. (R◦S)−1 =S−1◦R−1
Aufgabe Bonus.7
Welche der folgenden Aussagen gelten für alle binären Relationen R ⊆ M2 auf Mengen M 6= ∅ ? Begründen Sie Ihre Antworten.
a. Jede asymmetrische Relation ist irreflexiv.
b. Jede irreflexive Relation ist asymmetrisch.
c. Jede antisymmmetrische Relation ist asymmetrisch.
d. Jede transitive irreflexive Relation ist asymmetrisch.
Aufgabe Bonus.8
Beantworten Sie die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antworten:
a. Wieviele Kanten hat derK7?
b. Für welche n∈Nenthält der Kneinen Eulerkreis?
c. Für welche n∈Nenthält der Kneinen bipartiten Teilgraphen?
d. Geben Sie alle Zahlenn an, für dieKn ein Teilgraph desC5 ist.
e. Geben Sie alle Zahlenn an, für dieCnein Teilgraph des K5 ist.
Aufgabe Bonus.9
Eine GraphG, der isomorph zu seinem KomplementG ist, heißt selbstkomplementär.
a. Geben Sie alle selbstkomplementären Graphen mit höchstens 4 Ecken an.
b. Geben Sie alle selbstkomplementären Graphen mit höchstens 5 Kanten an.
c. Für welche n≤10 gibt es selbstkomplementäre Graphen mit nKnoten? Begründen Sie.
Aufgabe Bonus.10
a. Geben Sie die Menge aller Bäume an, in denen zwischen je zwei verschiedenen Blättern ein Pfad ungerader Länge existiert. Begründen Sie Ihre Antwort.
b. Geben Sie die Menge aller Bäume an, in denen alle Pfade zwischen je zwei verschiedenen Blättern dieselbe Länge haben. Begründen Sie Ihre Antwort.
Zeigen Sie, dass es keinen zusammenhängenden (ungerichteten schlingenfreien) Graphen mitnKno- ten und weniger alsn−1 Kanten gibt.
Aufgabe Bonus.12
a. Beschreiben Sie die folgenden Sachverhalte durch logische Formeln:
Tom hat drei Paar Schuhe: ein Paar rote Stiefel, ein Paar blaue Stiefel und ein Paar grüne Halbschuhe. E trägt immer genau eines dieser Paare.
• Seine grünen Schuhe trägt er immer, wenn kein Schnee liegt.
• Liegt Schnee, dann trägt er Stiefel.
• Wenn die Sonne nicht scheint, trägt er seine gelbe Jacke.
• Seine Freundin mag kein Rot, deshalb trägt er nie etwas rotes, wenn er sie besucht.
• Tom trägt nie gelb und blau zugleich.
Verwenden Sie dazu nur die Aussagevariablen:
G – Tom trägt grüne Schuhe R – Tom trägt rote Stiefel.
B – Tom trägt blaue Stiefel.
J – Tom trägt seine gelbe Jacke.
F – Tom besucht seine Freundin.
S – Es liegt Schnee.
O – Die Sonne scheint.
b. Bei welchem Wetter kann Tom seine Freundin mit Jacke besuchen? Welche Schuhe trägt er dabei?
Aufgabe Bonus.13
Ein Hundertjähriger berichtet über seine Essgewohnheiten:
• Wenn ich keinen Fisch esse, dann esse ich Eiscreme oder trinke Bier.
• Wenn ich Bier trinke und auf die Eiscreme verzichte, dann esse ich Fisch oder trinke kein Bier.
• Wenn ich dagegen Fisch oder Eiscreme esse, dann trinke ich kein Bier und esse auch keine Eiscreme.
a. Formalisieren Sie jede dieser Aussagen durch eine aussagenlogische Formel (wenn man davon ausgeht, dass er als erfahrener Mann das inklusive oder meint). Geben Sie dabei auch die Bedeutung der dazu verwendeten Aussagevariablen an.
b. Durch welche Diät hat der alten Mann ein so hohes Alter erreicht?
Aufgabe Bonus.14
Gegeben ist die Formelϕ= (a↔b)→ ¬(b→c).
a. Geben Sie die Modellmenge der Formelϕ an.
b. Ist die Formel ϕallgemeingültig? Begründen Sie Ihre Antwort.
c. Geben Sie eine zur Formelϕäquivalente Formel in konjunktiver Normalform an.
Finden Sie die Modellmengen für die Formel ϕ = ¬((p → (q∧ ¬r)) ↔ (¬p∨(q ↔ r))) und ihre Negation¬ϕ.
Aufgabe Bonus.16
Überlegen Sie sich, wie Eulersche Quadrate der Größen×ndurch aussagenlogische Formeln in CNF modelliert werden können. Informationen zu Eulerschen Quadraten finden Sie z.B. unter
http://www.spektrum.de/euler.
a. Wieviele Aussagenvariablen werden benötigt? Welche Information repräsentieren sie?
b. Wie lassen sich die Spielregeln durch aussagenlogische Formeln in CNF modellieren?
c. Wie lassen sich Eulersche Quadrate mit SAT-Solvern lösen?
Aufgabe Bonus.17
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
a∧b ≡ ¬(a→ ¬b) (1)
(¬a∨b)∧(a∨b) ≡ b (2)
a∨b ≡ ¬a→b (3)
((a→b)∧(b→c)) ≡ ((a∨b)→c) (4)
a↔b ≡ (a→b)∧(b→a) (5)
(a∧(a→b)) ≡ b (6)
Begründen Sie jede Ihrer Antworten durch äquivalente Umformungen oder Angabe eines Gegenbei- spieles.
Aufgabe Bonus.18
a. Geben Sie fürP ={p, q, r, s}eine aussagenlogische Formel ϕ∈AL(P)an, die genau von allen Belegungen erfüllt wird, unter denen mindestens zwei der Atome falsch sind.
b. Geben Sie zu eine zu dieser Formel äquivalente Formel ψ∈AL(P) in DNF an.
c. Geben Sie zu eine zu dieser Formel äquivalente Formel η∈AL(P) in CNF an.
Aufgabe Bonus.19
Welche der folgenden Aussagen gelten:
Mod((p→ ¬q)∧(p∨q)) ⊆ Mod((p∧ ¬p)∧q) Mod((p∧q)∧(p→ ¬q)∧(p∨q)) ⊆ Mod((p∧ ¬p)∧q) Begründen Sie Ihre Antworten.
Aufgabe Bonus.20
Schreiben Sie die folgenden Aussagen und deren Negation als prädikatenlogische Formeln auf. Geben Sie jeweils auch die Mengen der relevanten Individuen, Funktionen und Relationen und an.
a. Alle Primzahlen sind gerade.
(mit den Prädikaten P(x) – xist prim,G(x) –x ist gerade) b. Jede natürliche Zahl hat eine natürliche Zahl als Vorgänger.
(mit den Prädikaten N(x) – es gilt x∈N,P(x, y) – x ist Vorgänger vony)
Geben Sie für die Signaturen ΣF1 ={(c,0)},ΣF2 ={(f,1)} und ΣR={(R,2)} jeweils die intensio- nale Darstellungen und zwei verschiedene Elemente (sofern diese existieren) der folgenden Mengen an.
Beispiel: für ΣF = ΣF2 gilt
Term(ΣF,{x, y}) ={fi(x)|i∈N} ∪ {fi(y)|i∈N}mit Notation: fi(x) =f(. . . f
| {z }
i−mal
(x). . .)
zwei verschiedene Elemente aus Term(ΣF,{x, y}):y,f(f(x)) a. Term(ΣF,∅) mitΣF = ΣF1
b. Term(ΣF,∅) mitΣF = ΣF2
c. Term(ΣF,{x, y}) mit ΣF = ΣF1 d. Term(ΣF,∅) mitΣF = ΣF1∪ΣF2
e. Term(ΣF,{x, y}) mit ΣF = ΣF1∪ΣF2 f. Atom((ΣF,ΣR),∅) mitΣF = ΣF1
g. Atom((ΣF,ΣR),{x, y}) mit ΣF = ΣF1
h. Atom((ΣF,ΣR),∅) mitΣF = ΣF2 i. Atom((ΣF,ΣR),{x, y}) mit ΣF = ΣF2 j. Atom((ΣF,ΣR),∅) mitΣF = ΣF1∪ΣF2 k. Atom((ΣF,ΣR),{x, y}) mit ΣF = ΣF1∪ΣF2
l. Atom((ΣF,ΣR),∅) mitΣF =∅ m. Atom((ΣF,ΣR),{x, y}) mit ΣF =∅
n. Atom((ΣF,ΣR),∅) mitΣR=∅ o. Atom((ΣF,ΣR),{x, y}) mit ΣR=∅
Aufgabe Bonus.22
Lösen Sie Aufgabe 2.14 in Uwe Kastens, Hans Kleine Büning: Modellierung - Grundlagen und formale Methoden. Arbeiten Sie dazu erst den Abschnitt 2.9 durch.
Aufgabe Bonus.23
Lösen Sie die Aufgabe 5.4 aus
Uwe Kastens, Hans Kleine Büning: Modellierung - Grundlagen und formale Methoden.
Aufgabe Bonus.24
Gegeben ist die SignaturΣ = (ΣR,ΣF) mit ΣF ={(f,1),(c,0)}und ΣR={(P,1),(Q,2)}.
a. Bestimmen Sie für die folgenden Zeichenketten, ob es sich um korrekt geformte Terme oder Atome oder nichts von beiden handelt.
(a) f(c) (b) P(c, x)
(c) P(f(f(y))) (d) Q(f(x), f(c))
(e) f(Q(c, x)) (f) Q(f(y), c)
b. Die Σ-StrukturenA= (A,J·KA) undB= (B,J·KB) sind definiert durch A = Z
JcKA = 3
∀n∈Z:JfKA(n) = −n
JPKA = {n∈N|n≡0 (mod 3)}
JQKA = {(m, n)∈/Z2 |m≤n}
B = {0,1}∗
JcKB = 1
∀w∈ {0,1}∗ :JfKB(w) = 0w
JPKB = {w∈ {0,1}∗ |w1=w|w|} JQKB = {(u, v)∈({0,1}∗)2| |u|0=|v|0} die Belegungen α:{x, y} →A durchα={x7→ −2, y 7→2}
undβ :X →B durch β(x) = 01, β(y) =ε.
Geben Sie für jede der korrekten Zeichenketten aus Teilaufgabe a. ihre Werte in den Interpre- tationen(A, α)und (B, β) an.
Übungsaufgaben, Folien und weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie online unter www.imn.htwk-leipzig.de/~schwarz/lehre/ws17/modellierung
