Satz von Berry-Esse´ en

Bew. von Lindeberg-Feller: i) ⇒ ii)

•Tschebyshev

=⇒ sup

i∈{1,···,m_n}

P(|X_i⁽ⁿ⁾|> )≤ sup

i∈{1,···,m_n} σ_i,n

²

n→∞−→ 0.

•^{Lemma 3.5}=⇒ sup

i∈{1,···,m_n}

|ϕn,i(t)−1| ≤ sup

i∈{1,···,m_n}

E[min(2,|t X_iⁿ|)]

≤2 sup

i∈{1,···,m_n}

P(|X_i⁽ⁿ⁾|> ) +|t|^n→∞−→ 0

⇒logϕ_n,i(t) definiert f¨ur log :C\R≤0→C, fallsngroß.

•E(X_i⁽ⁿ⁾) = 0^{Lemma 3.5}=⇒ |ϕn,i(t)−1| ≤C|t|²σ²_n,i.

⇒ |log(ϕ_n,i(t))−(ϕ_n,i(t)−1)|

=|log(1−(ϕ_n,i(t)−1))−(ϕ_n,i(t)−1)|

Taylor-Entw. vonz→log(z) inz= 1

≤ C|(ϕ_n,i(t)−1)|²≤Ct⁴σ⁴_n,i

•|

m_n

P

i=1

logϕ_n,i(t)−

m_n

P

i=1

(ϕ_n,i(t)−1)| ≤C

m_n

P

i=1

t⁴σ_n,i⁴

≤Ct⁴ sup

i∈{1,···,mn}

σ²_n,i

·

m_n

P

i=1

σ_n,i^{2 n→∞}−→ 0.

•logϕn(t) =

m_n

P

i=1

logϕn,i(t)^n→∞−→ −^t₂² nach Voraussetzung

⇒

m_n

P

i=1

(ϕn,i(t)−1) =^n→∞−→ −^t₂².

Bew. von Lindeberg-Feller: i) ⇒ ii) (Forts.)

• ⇒

m_n

P

i=1

Re(ϕ_n,i(t)−1) =

m_n

P

i=1

(Re(ϕ_n,i(t))−1)

=

m_n

P

i=1

(E[cos(tX_i⁽ⁿ⁾)]−1)^n→∞−→ Re(−^t₂²) =−^t₂²

•Wegen 0≤1−cos(θ)≤ −^θ₂², f¨ur >0 lim sup

n→∞

Pmn

i=1E[(X_i⁽ⁿ⁾)²;|X_i⁽ⁿ⁾|> ]

= lim sup

n→∞

σ²n−Pm_n

i=1E[(X_i⁽ⁿ⁾)²;|X_i⁽ⁿ⁾| ≤]

= lim sup

n→∞

1−Pm_n

i=1E[(X_i⁽ⁿ⁾)²;|X_i⁽ⁿ⁾| ≤]

≤lim sup

n→∞

1− 2 t²

Pmn

i=1E[1−cos(tX_i⁽ⁿ⁾);|X_i⁽ⁿ⁾| ≤]

= lim sup

n→∞

2 t²

Pmn

i=1E[1−cos(tX_i⁽ⁿ⁾);|X_i⁽ⁿ⁾|> ]

≤lim sup

n→∞

2 t²

Pm_n

i=1P(|X_i⁽ⁿ⁾|> )≤lim sup

n→∞

2 ²t²

Pm_n

i=1σ²n,i = 2 ²t². Mitt→ ∞folgt die Lindeberg-Bedingung.

Satz von Berry-Esse´ en

Satz 3.10

F¨ur Sn:=Pn

i=1Xi mit(Xn)_n∈N unabh. ident. verteilt mit E(X₁) = 0, V(X₁) = 1und E(|X|^2+α)<∞f¨ur einα >0ex.

C>0, δ >0, s.d.

sup

{a∈R}

|P( 1

√nSn≥a)− 1 2π

Z ∞

a

e^−t2/2dt| ≤Cn^−δ.

Bemerkung

•Quantitative Fehlerabsch¨atzung im Zentralen Grenzwertsatz

•δ=_2(α+2)^α (siehe Beweis unten).

Berry-Esse´ en: Vorbereitungen

Lemma 3.7

Falls f ∈C(R), f ≥0undR

Rf(x)dx<∞gilt f(x) =_2π¹ R

Re^−ixyϕf(y)dy mitϕf(t) :=R

Re^itxf(x)dx .

Bew:

O.B.d.A.R

Rf(x)dx = 1.

Def. W-Maßη(]a,b]) :=Rb

a f(x)dx⇒η({a}) = 0∀a∈R Beh. folgt durch Ableiten der Inversionsformel (Satz 3.6) nach b.

Bemerkung

•ϕ_η(t) =ϕ_f(t)heißt’Fourier-Transformierte’ vonf.

•f(x) = _2π¹ R

Re^−ixyϕf(y)dy

=f(x) = _2π¹ R

Re^ixyϕf(y)dy=R

Re^ixyϕf(−y)dy

Lemma 3.8

F¨ur−∞<a<b<+∞, 0<h< ^b−a₂ und fa,b,h:R→R, f_a,b,h(x) =

1

1_[a+h,b−h](x) + 11_[a−h,a+h[(x)^x−a+h₂ + 11_]b−h,b+h](1−^x−b+h_2h )gilt f_a,b,h(x) =_2π¹ R

Re^{ixy e−iay−e}_iy ^{−iby sin(hy)}_hy dy .

Bew:

ϕf_a,b,h(−y) =^e−iay−e_iy ^{−ibysin(hy)}_hy (Nachrechnen).

Berry-Esse´ en: Vorbereitungen (Forts.)

Lemma 3.9 (

Riemann-Lebesgue

)

F¨ur f ∈L¹(R,dx)giltR

Re^inxf(x)dx^n→∞−→ 0.

Bew:

F¨ur f(x) = 11_[a,b] ist|R

Re^inxf(x)dx|=_n¹|e^inb−e^ina| ≤ ²_n. Hieraus f¨ur f ∈L¹(R,dx)durch Approximation (s. ¨Ubung).

Lemma 3.10

F¨urµ, ν W-Maße aufRmitR

Rxµ(dx) =R

Rxη(dx) = 0ist R

Rfa,h(x)d(µ−η)(x) =_2π¹ R

R[ϕµ(y) +ϕν(y)]^e−iay_iy ^sin(hy)_hy dy . mit fa,h:R→R, fa,b,h(x) = 11_[a+h,∞)(x) + 11_[a−h,a+h[(x)^x−a+h₂ .

Bew:

Lemma 3.8 und Fubini ergeben Z

R

fa,b,h(x)(µ(dx)−ν(dx))

= 1 2π

Z

R

[ϕµ(y)−ϕη(y)]e^−iay−e^−iby iy

sin(hy) hy dy WegenR

Rxµ(dx) =R

Rxη(dx) = 0ist|ϕµ(y)−ϕη(y)| ≤C|y|nahe bei0, somit y→[ϕµ(y)−ϕη(y)]^e−iay−e_iy^{−ibysin(hy)}_hy ∈L¹(R,dx).

Behauptung ergibt sich aus Riemann-Lebesgue mit b→ ∞.

Berry-Esse´ en: Vorbereitungen (Forts.)

Satz 3.11 (

Esse´en-Ungl.

)

F¨urµ, ν W-Maße aufRmitR

Rxµ(dx) =R

Rxη(dx) = 0und falls∃C >0, s.d.µ([a,b])≤C|b−a| ∀a<b, dann

sup

a∈R

|µ([a,∞))−ν([a,∞))|

≤ 1 2π

Z

R

|ϕµ(y)−ϕν(y)|sin(hy)

hy² dy+ 2hC

Bew:

•11_[a,∞)≤fa−h,h≤11_[a−h,∞) ⇒ η([a,∞)−µ([a,∞)≤R

Rfa−h,hdη−(R

Rfa−h,hdµ−2hC)

•11_[a,∞)≥fa+h,h≥11_[a+2h,∞) ⇒ µ([a,∞)−η([a,∞)≤(R

Rfa+h,hdµ+ 2hC)−R

Rfa+h,hdν

⇒sup

a

|η([a,∞)−µ([a,∞)| ≤sup

a

| Z

R

fa,h(x)d(µ−η)(x)|+ 2hC

Lemma 3.10

≤ sup

a

Z

R

|ϕλ(x)−(ϕµ(x)|sin(hy)

hy² dx+ 2hC.

Berry-Esse´ en: Vorbereitungen (Forts.)

Lemma 3.11

Sei X ZV mit E(X) = 0, V(X) = 1und E(|X|^2+α)<∞f¨ur ein α >0, dann

ϕX(t) = 1−^t₂² +r(t)mitlim sup_t→0|r(t)|/|t|^2+α<∞.

Bew:

Folgt aus Lemma 3.5 f¨ur n= 2. (s. ¨Ubung).

Bemerkung

Alternative Formulierung:ϕ_X(t) = 1−^t₂² +O(|t|^2+α).

Korollar 3.3

Falls(Xn)n unabh. Folge von ident. verteilten ZV’en mit E(X1) = 0, V(X1) = 1und E(|X1|^2+α)<∞f¨ur einα >0, so ex. C >0, s.d. f¨ur Sn=Pn

i=1Xi

|ϕ√Sn n

(t)−exp(−t²/2)| ≤ ^|t|_n^2+αα falls|t| ≤n^2+αα .

Bew:

ϕ√Sn n

(t) =ϕ_X1(t/√

n)ⁿ= exp(nlogϕ_X1(t/√ n)).

Beh. folgt aus Lemma 3.11 mit Taylor-Entw. f¨urexpundlog.

Berry-Esse´ en: Beweis

Esse´en-Ungl. f¨urη=ηn= Verteilung vonSn/√

nundµ=ν0,1

⇒sup

a∈R

|P(Sn

√n ≥a)−ν0,1([a,∞))|

≤R

R

|ϕ√Sn n

(t)−e^−t

2

2||sin(ht)|

ht² dt+Ch mitθ:=_2+α^α

≤C h

Z

|t|≤n^θ

. . .dt+C h

Z

|t|≥n^θ

. . .dt+Ch

Kor. 3.3

≤ C h

Z

|t|≤n^θ

|t|^α n^α dt+C

h Z

|t|≥n^θ

1 t²dt+Ch

≤C

h(n^{(α+1)θ−α}+n^−θ) = C hn^α+2α +Ch

Die Behauptung folgt durch Wahl vonh=hn=n^−2(2+α)α