| ( ) | ( ) = 2 ( ) 2 { } ) ( )=( ✓ ( ) ( )= ? ✓ ( )

Definition. Sei G ein Graph.

• Eine Knotenmenge S

✓

^V

(

G

)

heißt eine stabile Menge in G, wenn E_G

(

S

) = ?

^ist.

• Eine Knotenmenge K

✓

^V

(

G

)

heißt eine Clique in G, wenn E_G

(

K

) = (

^K₂

)

gilt.

[21]

Definition. Ein Graph heißt bipartit, wenn es eine Partitio- nierung seiner Knotenmenge in zwei stabile Mengen gibt.

[22]

Satz 3. Ein Graph ist genau dann bipartit, wenn er keinen Kreis ungerader L¨ange enth¨alt.

(Beweis: ¨Ubungen)

Definition. Die Inzidenzmatrix eines Graphen G ist die Ma- trix Inz

(

G

) 2 {

^{0, 1}

}

^{V(G)⇥E(G) mit}

Inz

(

G

)

_v,e

=

(1 falls v

2

^e

0 sonst .

[23]

Satz 4. Der Rang der Inzidenzmatrix eines Graphen G ist

|

^V

(

_G

) |

minus der Anzahl der bipartiten Komponenten von G.

[24]

– 34 –

Definition. Eine Teilmenge M

✓

^E

(

_G

)

_{heißt ein Matching} (oder auch eine Paarung) im Graphen G, wenn e

\

^e0

= ?

^f¨ur alle e,e⁰

2

^{M mit e}

6 =

_e⁰ gilt; ein Matching M heißt perfekt, wenn

|

^M

| =

¹₂

|

^V

(

G

) |

gilt (d.h., wenn jeder Knoten in einer Kante des Matchings enthalten ist).

[25]

Definition. Sei A eine endliche Menge. Der charakteristi- sche Vektor (oder auch: Inzidenzvektor) einer Teilmenge B

✓

A ist der 0/1-Vektor c

(

_B

) 2 {

^{0, 1}

}

^{A mit} c

(

B

)

_a

=

(1 falls a

2

^B

0 sonst.

[26]

Bemerkung. F¨ur jeden Graphen G gelten:

•

{

^c

(

M

)

: M Matching in G

}

= {

^x

2 {

^{0, 1}

}

^{E(G) : Inz}

(

_G

)

_x



¹

}

•

{

^c

(

M

)

: M perfektes Matching in G

}

= {

^x

2 {

^{0, 1}

}

^{E(G) : Inz}

(

_G

)

_x

=

1

}

[27]

– 35 –