Der Satz von Rice Rekursive Aufz¨ahlbarkeit

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Der Satz von Rice Rekursive Aufz¨ ahlbarkeit

Prof. Dr. Berthold V¨ocking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexit¨at

RWTH Aachen

4. November 2010

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Bisher betrachtete Probleme

Die Diagonalsprache:

D = {w ∈ {0,1}^∗ |w =wi und Mi akzeptiertw nicht}

Das Halteproblem:

H = {hMiw |M h¨alt auf w} Das spezielle Halteproblem:

H = {hMi |M h¨alt auf Eingabe }

Alle diese Problem sind nicht rekursiv. Was haben diese Problem gemeinsam?

Berthold V¨ocking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexit¨at 4. November 2010 2 / 29

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Von TM berechnete Funktionen sind partielle Funktionen

Da TM nicht auf jeder Eingabe halten, berechnen sie

”partielle Funktionen“. Das k¨onnen wir wie folgt formalisieren:

Die von einer TMM berechnete Funktion ist von der Form f_M :{0,1}^∗ → {0,1}^∗∪ {⊥} .

Das Zeichen ⊥steht dabei f¨ur undefiniertund bedeutet, dass die Maschine nicht h¨alt.

Im Fall von Entscheidungsproblemen vereinfacht sich die Funktion zu

f_M :{0,1}^∗→ {0,1,⊥} .

Dabei steht 0 für Verwerfen, 1 für Akzeptierenund ⊥für Nicht-Halten.

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Satz von Rice

Satz:

Sei Rdie Menge der von TM berechenbaren partiellen Funktionen undS eine Teilmenge von Rmit∅ 6=S 6=R. Dann ist die Sprache

L(S) ={ hMi | M berechnet eine Funktion ausS}

nicht rekursiv.

In anderen Worten: Aussagen ¨uber die von einer TM berechneten Funktion sind nicht entscheidbar.

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Satz von Rice – Anwendungsbeispiele

Beispiel 1:

Sei S ={f_M |f_M()6=⊥}.

Dann ist

L(S) = { hMi |M berechnet eine Funktion ausS}

= { hMi |M h¨alt auf Eingabe }

= H

Gem¨aß Satz von Rice ist H nicht entscheidbar.

(Aber das wussten wir ja schon ;-)

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Satz von Rice – Anwendungsbeispiele

Beispiel 2:

Sei S ={f_M | ∀w ∈ {0,1}^∗ :f_M(w)6=⊥}.

Dann ist

L(S) = { hMi |M berechnet eine Funktion ausS}

= { hMi |M h¨alt auf jeder Eingabe}

Diese Sprache ist auch als das allgemeine Halteproblem H_all bekannt.

Gem¨aß Satz von Rice ist H_all nicht entscheidbar.

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Satz von Rice – Beweis

Beweis:

Wir nutzen die Unterprogrammtechnik. Aus einer TMM_L(S₎, die L(S) entscheidet, konstruieren wir eine TMM, die das spezielle HalteproblemH entscheidet.

Einige Vereinbarungen:

Sei u die ¨uberall undefinierte Funktion.

O.B.d.A.u 6∈S.

Sei f eine Funktion ausS. Sei N eine TM, die f berechnet.

f S R

u

Bemerkung: Im Falleu∈S betrachten wir ¯S =R \S stattS und zeigen die Unentscheidbarkeit vonL(¯S) = ¯L(S). Aus der Unentscheidbarkeit von

¯L(S) folgt dann die Unentscheidbarkeit von L(S).

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Satz von Rice – Fortsetzung Beweis

Die TMM mit UnterprogrammM_L(S) arbeitet wie folgt 1) Falls die Eingabe nicht aus einer korrekten G¨odelnummer

besteht, verwirft M die Eingabe.

2) Sonst berechnetM aus der Eingabe hMi die G¨odelnummer der TM M^∗ (n¨achste Folie).

3) Starte M_L(S) mit der Eingabe hM^∗i und akzeptiere (verwerfe) genau dann, wenn M_L(S) akzeptiert (verwirft).

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Satz von Rice – Fortsetzung Beweis

Verhalten vonM^∗ auf Eingabe x

Schritt A: Simuliere das Verhalten von M bei Eingabe auf einer f¨ur diesen Zweck reservierten Spur.

Schritt B: Simuliere das Verhalten von N auf x, stoppe sobald N stoppt und ¨ubernehme die Ausgabe.

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Satz von Rice – Fortsetzung Beweis

Korrektheit:

Bei Eingabe vonw =hMi gilt:

w ∈H ⇒ M h¨alt auf

⇒ M^∗ berechnet f

f∈S

⇒ hM^∗i ∈L(S)

⇒ M_L(S) akzeptiert hM^∗i

⇒ M akzeptiertw w 6∈H ⇒ M h¨alt nicht auf

⇒ M^∗ berechnet u

u6∈S⇒ hM^∗i 6∈L(S)

⇒ M_L(S) verwirft hM^∗i

⇒ M verwirftw

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Satz von Rice – Weitere Anwendungsbeispiele

Beispiel 3:

Sei L17=

{ hMi | M berechnet bei Eingabe der Zahl 17 die Zahl 42}.

Es istL₁₇=L(S) f¨ur S ={f_M |f_M(bin(17)) =bin(42)}.

Somit ist diese Sprache gem¨aß dem Satz von Rice nicht entscheidbar.

Beispiel 4:

Sei H₁₇=

{ hMi | Auf jeder Eingabe stoppt M nach≤17 Schritten}.

Uber diese Sprache sagt der Satz von Rice nichts aus!!!¨ IstH17 entscheidbar?

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Semi-Entscheidbarkeit

Eine SpracheL wird von einer TMM entschieden, wenn M auf jeder Eingabe h¨alt, und

M genau die W¨orter ausLakzeptiert.

Eine SpracheL, f¨ur die eine TM existiert, die Lentscheidet, wird alsrekursivoder auch als entscheidbarbezeichnet.

Eine SpracheL wird von einer TMM erkannt, wenn M jedes Wort aus Lakzeptiert, und

M kein Wort akzeptiert, das nicht in L enthalten ist.

Def: Eine SpracheL, f¨ur die eine TM existiert, die Lerkennt, wird alssemi-entscheidbarbezeichnet.

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Beispiel

Das Halteproblem

H = {hMiw |M h¨alt auf w} . ist nicht entscheidbar.

Behauptung:Das Halteproblem ist jedoch semi-entscheidbar.

Folgendes TM-Programm erkenntH:

Erh¨altM⁰ eine Eingabe der FormhMiw so simuliert M⁰ die TMM mit Eingabew, und akzeptiert, falls M auf w h¨alt.

Syntaktisch inkorrekte Eingaben werden vonM⁰ verworfen.

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Aufz¨ ahler, Rekursive Aufz¨ ahlbarkeit – Definition

EinAufzähler für eine Sprache L⊆Σ^∗ ist eine Variante einer TM mit einem angeschlossenenDruckerim Sinne eines zusätzlichen Ausgabebandes, auf dem sich der Kopf nur nach rechts bewegt.

Gestartet mit leerem Arbeitsband, gibt der Aufzähler alle Wörter ausL(möglicherweise mit Wiederholungen) auf dem Drucker aus.

Die ausgegebenen W¨orter sind dabei durch ein Zeichen getrennt, das nicht in Σ enthalten ist.

Definition

Eine Sprache, für die es einen Aufzähler gibt, heißt rekursiv aufzählbar.

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Aufz¨ ahler – Illustration

blubblubblub . . .

blablabla hihihi

. . .

D R U C K E R

. . A r b e i t s b a n d . . . A r b e i t s b a n d . . . A r b e i t s b a n d . . . A r b e i t s b a (Zustand & Kopfpos.)

S T E U E R U N G

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rekursiv aufz¨ ahlbar = semi-entscheidbar

Satz

Eine SpracheList genau dann semi-entscheidbar, wenn sie rekursiv aufz¨ahlbar ist.

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Beweis: L ist rekursiv aufz¨ ahlbar ⇒ L ist semi-entscheidbar

SeiA ein Aufz¨ahler f¨urL. Wir konstruieren eine TMM, dieL erkennt.

Bei Eingabew arbeitet M wie folgt:

M simuliert Amit Hilfe einer Spur, die die Rolle des Druckers

¨ubernimmt.

Wenn immer ein neues Wort gedruckt worden ist, vergleicht M dieses Wort mit w und akzeptiert bei ¨Ubereinstimmung.

Korrektheit:

Fallsw ∈L, so wird w irgendwann gedruckt und somit vonM akzeptiert.

Falls w 6∈L, so wird w nicht gedruckt und somit nicht akzeptiert.

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Beweis: L ist semi-entscheidbar ⇒ L ist rekursiv aufz¨ ahlbar

Sei nunM eine TMM, dieLerkennt. Wir konstruieren einen Aufz¨ahler Af¨urL.

Programm vonA:

Fori = 1,2,3, . . .

Simuliere i Schritte von M auf jedem Wort ausw₁, . . . ,w_i. Wird dabei eines der Worte akzeptiert, so drucke es aus.

Korrektheit:

Adruckt offensichtlich nur W¨orter ausLaus. Aber druckt er auch alle W¨orter ausL aus?

Sei wk ein Wort ausL.

Dann wird w_k von M nach einer endlichen Anzahl von Schritten, sagen wir nacht_k vielen Schritten, akzeptiert.

D.h. wk wird vonAausgedruckt, und zwar in jeder Iteration i ≥max{k,t_k}.

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Schnitte von Sprachen

Satz

a) Wenn die SprachenL₁ und L₂ rekursiv sind, so ist auch die SpracheL1∩L2 rekursiv.

b) Wenn die SprachenL1 und L2 rekursiv aufz¨ahlbar sind, so ist auch die Sprache L1∩L2 rekursiv aufz¨ahlbar.

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Schnitte von Sprachen – Beweis a)

SeienM1 und M2 zwei TM, dieL1 bzw. L2 entscheiden.

TMM, dieL₁∩L₂ entscheidet:

Auf Eingabe w, simuliert M zun¨achst das Verhalten vonM1

auf w und dann das Verhalten von M₂ auf w.

Falls M1 und M2 das Wort w akzeptieren, so akzeptiert auch M; sonst wirdw von M verworfen.

Korrektheit:

Falls w ∈L₁∩L₂, so wirdM aktzeptiert.

Sonst wird w verworfen.

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Schnitte von Sprachen – Beweis b)

Seien nunM₁ undM₂ zwei TM, dieL₁ bzw. L₂ erkennen.

TMM, dieL1∩L2 erkennt:

Auf Eingabe w, simuliert M zun¨achst das Verhalten vonM₁ auf w und dann das Verhalten von M₂ auf w.

Falls M₁ und M₂ akzeptieren, so akzeptiert auchM. Wir verwenden dieselbe TMM wie in a)

Korrektheit:

Falls w ∈L1∩L2, so wirdM von w akzeptiert.

Sonst wird w nicht akzeptiert.

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Vereinigungen von Sprachen

Satz

a) Wenn die SprachenL₁ und L₂ rekursiv sind, so ist auch die SpracheL1∪L2 rekursiv.

b) Wenn die SprachenL1 und L2 rekursiv aufz¨ahlbar sind, so ist auch die Sprache L1∪L2 rekursiv aufz¨ahlbar.

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Vereinigungen von Sprachen – Beweis a)

SeienM₁ und M₂ zwei TM, dieL₁ bzw. L₂ entscheiden.

TMM, dieL1∪L2 entscheidet

Auf Eingabe w, simuliert M zun¨achst das Verhalten vonM₁ auf w und dann das Verhalten von M₂ auf w.

Falls M₁ oder M₂ akzeptieren, so akzeptiert auchM. Sonst verwirft M die Eingabe.

Korrektheit:

Falls w ∈L₁∪L₂, so wirdw von M₁ oderM₂ und somit auch von M akzeptiert.

Sonst verwerfen M₁ undM₂, so dass auch M verwirft.

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Vereinigungen von Sprachen – Beweis b)

Seien nunM1 undM2 zwei TM, dieL1 bzw. L2 erkennen.

Welches Problem tritt auf, wenn wir die Simulation aus a) einfach

¨ubernehmen?

Idee:Simuliere M1 und M2 parallel statt sequentiell ...

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Vereinigungen von Sprachen – Beweis b)

SeienM1 und M2 zwei TM, dieL1 bzw. L2 entscheiden.

TMM, dieL1∪L2 entscheidet

Wir nehmen o.B.d.A. an, dass M über zwei Bänder verfügt.

Auf Band 1 wirdM₁ auf w simuliert.

Auf Band 2 wirdM2 auf w simuliert.

Sobald ein Schritt erreicht wird, in demM1 oderM2

akzeptieren, so akzeptiert auch M.

Korrektheit:

Falls w ∈L₁∪L₂, so wirdw von M₁ oderM₂ und somit auch von M akzeptiert.

Sonst wird w nicht akzeptiert.

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” 2 × rekursiv aufz¨ ahlbar = rekursiv“

Lemma∗

SeienL⊆Σ^∗und ¯L= Σ^∗\Lrekursiv aufz¨ahlbar. Dann istLrekursiv.

Beweis:Seien M und ¯M Maschinen, dieL bzw. ¯L erkennen.

Die TMM⁰ entscheidetLdurch eine parallele Simulation vonM und M¯ auf der Eingabew:

M⁰ akzeptiertw, sobald M akzeptiert.

M⁰ verwirftw, sobald ¯M akzeptiert.

Da entwederw ∈Loderw 6∈L, tritt eines dieser Ereignisse nach endlicher Zeit ein, so dass die Terminierung vonM⁰ sichergestellt

ist.

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Komplemente von Sprachen

Beobachtung 1:

Wenn die SpracheLrekursiv ist, so ist auch ¯Lrekursiv, da wir das Ak- zeptanzverhalten einer TMM, dieMentscheidet invertieren k¨onnen.

Beobachtung 2:

Die Menge der rekursiv aufz¨ahlbaren Sprachen ist hingegen nicht gegen Komplementbildung abgeschlossen.

Beispiel:

H ist rekursiv aufz¨ahlbar.

Wäre ¯H ebenfalls rekursiv aufzählbar, so wäreH nach Lemma ∗rekursiv.

Also ist ¯H nicht rekursiv aufz¨ahlbar.

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Schlussfolgerung

Korollar

F¨ur jede SpracheLgilt eine der vier folgenden Eigenschaften.

1 List rekursiv und sowohlLals auch ¯Lsind rekursiv aufz¨ahlbar.

2 L ist rekursiv aufz¨ahlbar, aber ¯L ist nicht rekursiv aufz¨ahlbar

3 L¯ ist rekursiv aufz¨ahlbar, aberL ist nicht rekursiv aufz¨ahlbar

4 sowohl Lals auch ¯L sind nicht rekursiv aufz¨ahlbar

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Berechenbarkeitslandschaft

Probleme mit rek.

aufz. Komplement rekursive

Probleme rek. aufz. Probleme

z.B.

H

z.B.

D

nicht rek. aufz. Probleme, deren Komplement ebenfalls nicht rek. aufz. ist z.B.

H

all