Kapitel 1.1: K¨ urzeste Pfade Polygonale Hindernisse

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Wiederholung Kurzdurchlauf!

Elmar Langetepe University of Bonn

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Kapitel 1.1: K¨ urzeste Pfade Polygonale Hindernisse

Methoden der Offline Bewegungsplanung Wiederholung 29.01.14 cElmar Langetepe WS ’1314 2

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Kapitel 1.1: K¨ urzeste Pfade Polygonale Hindernisse

• Anzahl k¨urzester Pfade in der Ebene zw. Polygonen

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Kapitel 1.1: K¨ urzeste Pfade Polygonale Hindernisse

• Idee: Sichtbarkeitsgraph, Def., Komplexit¨at, worst-case

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Kapitel 1.1: K¨ urzeste Pfade Polygonale Hindernisse

• Berechnung: Naiv, Single-Source Sweep, Simultaner Sweep

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Kapitel 1.1: K¨ urzeste Pfade Polygonale Hindernisse

• Theorem: Single Source Sweep, Analyse O(n² log n)

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Kapitel 1.1: K¨ urzeste Pfade Polygonale Hindernisse

• Theorem: Simultaner Sweep, Analyse O(n²)

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Kapitel 1.1: K¨ urzeste Pfade Polygonale Hindernisse

• Bearbeitungsreihenfolge

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Kapitel 1.1: K¨ urzeste Pfade Polygonale Hindernisse

• Bearbeitung durchf¨uhren

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Kapitel 1.1: K¨ urzeste Pfade Polygonale Hindernisse

• Bearbeitungsreihenfolge berechnen: Dualit¨at verwenden

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Kapitel 1.1: K¨ urzeste Pfade Polygonale Hindernisse

• Theorem: Arrangement, Geradenschnittpunkte entlang der Geraden, O(n²)

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Kapitel 1.1: K¨ urzeste Pfade Polygonale Hindernisse

• Theorem: Arrangement, Geradenschnittpunkte entlang der Geraden, O(n²)

• Mittel: Topologischer Sweep, Horizontb¨aume verwenden

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• Aktualisierung Horizontb¨aume: Pro. Knoten alle Knoten der Zelle

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• Zonentheorem: Zone Komplexit¨at O(n)

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• Folgerung: Akt. Horizontb¨aume O(n²)

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• Theorem: Laufzeit Berechung k¨urzester Wege O(n²), Sichtbarkeitsgraph, Dijkstra

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• Untere Schranke: Konstruktion: Ω(n log n)

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• Untere Schranke: Konstruktion: Ω(n log n)

• Andere Idee: Shortest Path Map, Locus Approach

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Kapitel 1.2: K¨ urzeste Pfade innerhalb Polygon

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Kapitel 1.2: K¨ urzeste Pfade innerhalb Polygon

• Theorem: In Zeit O(n)

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Kapitel 1.2: K¨ urzeste Pfade innerhalb Polygon

• Lee/Preparata, Guibas/Hershberger

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Kapitel 1.2: K¨ urzeste Pfade innerhalb Polygon

• Triangulation, Dualer Graph, Dreiecksfolge, Diagonalen, iterativ

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Kapitel 1.2: K¨ urzeste Pfade innerhalb Polygon

• Analyse: Trichter akt., amortisiert O(n)

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Kapitel 1.2: K¨ urzeste Pfade innerhalb Polygon

• Preprocessing: O(n), Hierachische Triangulation, Schichtengraph

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Kapitel 1.2: K¨ urzeste Pfade innerhalb Polygon

• Cutting-Theorem

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Kapitel 1.2: K¨ urzeste Pfade innerhalb Polygon

• Cutting-Theorem

• Pfadl¨ange: O(log n), Pfade: Diagonalen entfernen, Sanduhren konkat.

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Kapitel 1.2: K¨ urzeste Pfade innerhalb Polygon

• Cutting-Theorem

• Theorem: O(k + log n) mit Prepr. O(n)!

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Kapitel 1.2: K¨ urzeste Pfade innerhalb Polygon

• Cutting-Theorem

• Anwendung: Geod¨atischer Durchmesser, Anfragen

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Kapitel 1.2: K¨ urzeste Pfade innerhalb Polygon

• Cutting-Theorem

• Anwendung: Geod¨atischer Durchmesser, Anfragen

• Theorem: Monotone Matrizen, Maximum in O(n)

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• Definition: Monotone Matrix

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• Algorithmus: Spaltenreduktion, Zeilenreduktion, Analyse T(n) ∈ O(n), Beweis

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• Algorithmus: Spaltenreduktion, Zeilenreduktion, Analyse T(n) ∈ O(n), Beweis

• Spezielle Matrix

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Kapitel 1.2.4: SWR und TPP

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Kapitel 1.2.4: SWR und TPP

• Def. SWR im einfachen Polygon, wesentliche Cuts

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Kapitel 1.2.4: SWR und TPP

• Theorem: SWR in rect. Pol. in Zeit O(n)

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Kapitel 1.2.4: SWR und TPP

• Beweis: Wes. Cuts in Randreihenfolge, Roll-Out Methode, Analyse

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Kapitel 1.2.4: SWR und TPP

• Allgemein: Problem Corner Situation

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Kapitel 1.2.4: SWR und TPP

• Def. TPP Problemstellung, SWR ist Instanz allg. TPP

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Kapitel 1.2.4: SWR und TPP

• Theorem: Einfache Variante Aufbau: O(kn log(n/k)), Query:

O(k log(n/k))

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Kapitel 1.2.4: SWR und TPP

O(k log(n/k))

• Full Comb. Shortest Path Map, Komplexit¨at expon.

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Kapitel 1.2.4: SWR und TPP

O(k log(n/k))

• Full Comb. Shortest Path Map, Komplexit¨at expon.

• Last Step Shortest Path Map, Komplexit¨at O(n_i), Beweise, Anfrage, Aufbau

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Kapitel 1.3: K¨ urzeste Wege 3D

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Kapitel 1.3: K¨ urzeste Wege 3D

• Theorem: NP schwer

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Kapitel 1.3: K¨ urzeste Wege 3D

• Def. NP schwer

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Kapitel 1.3: K¨ urzeste Wege 3D

• Def. NP schwer

• Reduktion von 3 SAT, Def. 3 SAT

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Kapitel 1.3: K¨ urzeste Wege 3D

• Def. NP schwer

• Konstruktion: 2ⁿ Wege simulieren mit lin. Szene

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Kapitel 1.3: K¨ urzeste Wege 3D

• Def. NP schwer

• Zs.-hang Bahnplanung, Satisfiability

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Kapitel 1.3: K¨ urzeste Wege 3D

• Def. NP schwer

• Konstrukte: Verdoppler, Klauselfilter, Literalfilter, Mischer

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Kapitel 1.3: K¨ urzeste Wege 3D

• Def. NP schwer

• Konstrukte: Verdoppler, Klauselfilter, Literalfilter, Mischer

• Wozu Mischer?

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Kapitel 1.4: K¨ urzeste Wege auf Polyeder

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Kapitel 1.4: K¨ urzeste Wege auf Polyeder

• Lemmata: Lokale Eigenschaften, Wege

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Kapitel 1.4: K¨ urzeste Wege auf Polyeder

• Theorem: Laufzeit O(n³ log n)

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Kapitel 1.4: K¨ urzeste Wege auf Polyeder

• Beweis: Cont. Dijkstra und add. gew. Voronoi Diagramme

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Kapitel 1.4: K¨ urzeste Wege auf Polyeder

• Def. Optimalit¨atsintervalle, Diskretisierung Wege

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Kapitel 1.4: K¨ urzeste Wege auf Polyeder

• Lemma: Anzahl in O(n), Beweis

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Kapitel 1.4: K¨ urzeste Wege auf Polyeder

• Berechnung, Einf¨ugen neuer Intervalle, Cont. Dijkstra, Aufwand, DS

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Kapitel 1.4: K¨ urzeste Wege auf Polyeder

• Aufteilen der Dreiecke, add. gew. VD

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Kapitel 1.4: K¨ urzeste Wege auf Polyeder

• Aufteilen der Dreiecke, add. gew. VD

• Komplexit¨at, Berechnung O(n log n)

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Kapitel 1.5: K¨ urzeste Pfade Liniensegment

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Kapitel 1.5: K¨ urzeste Pfade Liniensegment

• Problemdefinition

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Kapitel 1.5: K¨ urzeste Pfade Liniensegment

• Theorem: Drei Bewegungsarten

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Kapitel 1.5: K¨ urzeste Pfade Liniensegment

• Surface Area Theorem

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Kapitel 1.5: K¨ urzeste Pfade Liniensegment

• Def. Diameter Fkt.

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Kapitel 1.5: K¨ urzeste Pfade Liniensegment

• Def. Diameter Fkt.

• Beweis: Rotation ist optimal

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Kapitel 2.1: Reine Translationsbewegung

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Kapitel 2.1: Reine Translationsbewegung

• Def. Konfigurationsraum, Referenzpunkt

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Kapitel 2.1: Reine Translationsbewegung

• Einfache Idee: Voronoi Diagramm Liniensegmente, koll.-freier Weg

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Kapitel 2.1: Reine Translationsbewegung

• Def. Konfigurationsraum-Hindernis

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Kapitel 2.1: Reine Translationsbewegung

• Lemma: CP_i = −R(0, 0) + P_i, Beweis!

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Kapitel 2.1: Reine Translationsbewegung

• Def. Minkowski Summe

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Kapitel 2.1: Reine Translationsbewegung

• Lemma: Eigenschaften, Beweis

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Kapitel 2.1: Reine Translationsbewegung

• Lemma: Komplexit¨aten konvex/konvex n.-konvex/konvex n.-konvex/n.-konvex

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Kapitel 2.1: Reine Translationsbewegung

• Beweise: Komplexit¨aten-Lemma, untere Schranken!

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Kapitel 2.1: Reine Translationsbewegung

• Beweise: Komplexit¨aten-Lemma, untere Schranken!

• Theorem: Familie von Pseudokreisen, Komplexit¨at Rand O(n), Beweis

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• Theorem: Berechnung Konfigurationsraum: O(nm log² nm)

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• Theorem: Berechnung Konfigurationsraum: O(nm log² nm)

• Beweis Komplexit¨at, Analyse Div.+Conq. T(nm)

(77)

Kapitel 2.2: Reine Translationsbewegung bel. Agent

(78)

Kapitel 2.2: Reine Translationsbewegung bel. Agent

• Begrenzungen einer Zelle des Konfigurationsraumes

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Kapitel 2.2: Reine Translationsbewegung bel. Agent

• Liniensegmente, Zelle des Startpunktes

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Kapitel 2.2: Reine Translationsbewegung bel. Agent

• Allgemeiner: Begrenzung durch B¨ogen

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Kapitel 2.2: Reine Translationsbewegung bel. Agent

• Theorem: Zelle berechnen O(λ_s+2(n) log² n)

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Kapitel 2.2: Reine Translationsbewegung bel. Agent

• Theorem: Komplexit¨at Zelle O(λ_s+2(n))

(83)

Kapitel 2.2: Reine Translationsbewegung bel. Agent

• Beweis dazu, Ring in Kette umformen, Wechsel und Schnitte

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Kapitel 2.2: Reine Translationsbewegung bel. Agent

• Berechnung: Div. + Conq., Red-Blue Merge

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Kapitel 2.2: Reine Translationsbewegung bel. Agent

• Theorem: Red-Blue Merge O((r + b + k) log(r + b + k)), Beweis

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Kapitel 2.2: Reine Translationsbewegung bel. Agent

• Anwenden auf speziellen Merge

(87)

Kapitel 2.2: Reine Translationsbewegung bel. Agent

• Anwenden auf speziellen Merge

• Anwendung des allg. Theorems: Reine Translation, Roboterarm etc., Laufzeiten

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Kapitel 2.3: Translation und Rotation polygonale Szene

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Kapitel 2.3: Translation und Rotation polygonale Szene

• Theorem: Untere Schranke Ω(n²), Leiter

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Kapitel 2.3: Translation und Rotation polygonale Szene

• Definition: Kritische Platzierungen, Kontaktpaare

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Kapitel 2.3: Translation und Rotation polygonale Szene

• Lemma: Existenz in jeder Zusammenhangskomponente

(92)

Kapitel 2.3: Translation und Rotation polygonale Szene

• Bemerkung: Zwei Kontakte fest, Kurve vierten Grades

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Kapitel 2.3: Translation und Rotation polygonale Szene

• Theorem: (nicht konvex) Anzahl Krit. Platzierungen Θ(m³n³)

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Kapitel 2.3: Translation und Rotation polygonale Szene

• Theorem: (konvex) Anzahl Krit. Platzierungen O(mn λ₆(mn))

(95)

Kapitel 2.3: Translation und Rotation polygonale Szene

• Definition: Beschr¨anken, Kontaktpaare

(96)

Kapitel 2.3: Translation und Rotation polygonale Szene

• Lemma: O₁ beschr¨ankt O₂ oder O₂ beschr¨ankt O₁

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Kapitel 2.3: Translation und Rotation polygonale Szene

• Lemma: O₁ beschr¨ankt O₂ oder O₂ beschr¨ankt O₁

• Theorem: T⁺ l¨aßt sich in Zeit O(mn λ₆(mn) log(mn)) berechnen

(98)

• Untere Konturen von Arrangements, DSS (Appendix)

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• Definition: Knotengraph, eine Orientierung!

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• Lemma: Zusammenhang C_{f rei} und Knotengraph

(101)

• Definition: Kritische Orientierungen T^∗, [i] bis [vi], ¨Anderungen Knotengraph

(102)

• Bemerkung: Aktualisierung V ^θ: O(mn λ₆(mn) log(mn))

(103)

• Bemerkung: Aktualisierung V ^θ: O(mn λ₆(mn) log(mn))

• Algorithmen zur Bestimmung von T^∗

(104)

Kapitel 3: Allgemeine Systeme

(105)

Kapitel 3: Allgemeine Systeme

• Theorem: Im Allgemeinen NP schwer

(106)

Kapitel 3: Allgemeine Systeme

• Theorem: Im Allgemeinen NP schwer

• Reduktion von Partition auf Bahnplanungsproblem

(107)

Kapitel 4: Fertigungsplanung

(108)

Kapitel 4: Fertigungsplanung

• Parallel Jaw Gripper Modell, Part Feeder

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Kapitel 4: Fertigungsplanung

• Greifoperationen geometrisch beschreiben, konvexe H¨ulle

(110)

Kapitel 4: Fertigungsplanung

• Definition: Durchmesserfunktion (Diameter)/Greiffunktion, periodizit¨at, Greifplan A

(111)

Kapitel 4: Fertigungsplanung

• Definition: Bis auf Symmetrie eindeutig orientieren

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Kapitel 4: Fertigungsplanung

• Algorithmus, s-Intervall, s-Image

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Kapitel 4: Fertigungsplanung

• Theorem: K¨urzeste Sequenz von Greifoperation, bis auf

Symmetrie eindeutig, Plan in O(n²), berechnen in O(n² log n)!

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Kapitel 4: Fertigungsplanung

• Korrektheit und Optimalit¨at!

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Kapitel 4: Fertigungsplanung

• Realistisch: Erst Schiebeoperation, Schwerpunkt!

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Kapitel 4: Fertigungsplanung

• Realistisch: Erst Schiebeoperation, Schwerpunkt!

• Definition: Radiusfunktion, Schiebefunktion, Transferfunktion

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• Gleicher Algorithmus!