Versuch 33
Prismen- und Gitterspektrometer
Fernrohr
Prismentisch
Prisma Nonius
Okular
Justierschraube für Spaltbreite
Gitter
Kollimator
Teilkreis- skala
Abbildung 1:Aufbau des Prismenspektrometer Versuchs.
I Messaufbau
• Spektrometer mit Prisma und Gitter
• Hg-, He-, Na- Lampe
• Netzteil
• Wasserstofflampe mit Netzger¨at (f¨ur je 2 Aufbauten gemeinsam)
II Literatur
• W. Walcher,Praktikum der Physik, B.G.Teubner Stuttgart,
• Standardwerke der Physik: Gerthsen, Bergmann-Sch¨afer, Tipler.
• http://physics.nist.gov/PhysRefData/Handbook/element name.htm.
III Vorbereitung
Bereiten Sie sich auf die Beantwortung von Fragen zu folgenden Themen vor:
Brechungsgesetz, Aufbau des Prismenspektrometers, Dispersion, Aufl¨osungs- verm¨ogen eines Prismenspektralapparates und eines Gitterspektrometers, Energieniveaus des Wasserstoffatoms, Balmerformel.
Verst¨andnisfragen:
1. ¨Andert sich die Wellenl¨angeλoder die Frequenzν, wenn Licht von einem Medium in ein anderes tritt?
2. Von welchen Parametern h¨angt der Gesamtablenkwinkel δ (siehe Abbil- dung 2) im Allgemeinen ab? Wie kann man zeigen, dassδ ein Minimum annimmt und in diesem Fall der Strahlengang im Prisma symmetrisch verl¨auft?
3. Wie setzt sich die Kurve n(λ) zu gr¨oßeren und kleineren Wellenl¨angen fort? Was versteht man unter normaler und anomaler Dispersion?
4. Wird bei einem Prisma (normale Dispersion angenommen) bei gleichem Einfallswinkel, rotes Licht oder blaues Licht st¨arker abgelenkt?
5. Wo liegen die Interferenzmaxima bei einem Gitter, was bedeutet die Beu- gungsordnung?
6. Wie entstehen Spektrallinien? Welche Bedeutung hat die Spektralanalyse?
7. Was ist die physikalische Ursache f¨ur die Energieaufspaltung der Natri- umniveaus f¨ur die Elektronzust¨ande mit der Drehimpulsquantenzahl l>0?
Warum erfolgt die Aufspaltung in 2 Niveaus?
8. Was begrenzt die M¨oglichkeit zwei Spektrallinien benachbarter Wel- lenl¨angen im Spektrometer zu trennen bei beiden Spektrometern?
IV Aufgabe
• Die Winkeldispersionskurveδ(λ) des Prismas ist durch Messung der Ab- lenkwinkelδ bei gegebenem Spektrum des Hg aufzunehmen und als Eich- kurve zur Bestimmung der Wellenl¨ange des He-Spektrums zu benutzen.
Aus dem minimalen Ablenkwinkel bei gegebener Wellenl¨ange ist der Bre- chungsindex zu berechnen.
• Die Wellenl¨ange der gelben Natrium-Linie ist zu messen. Wie sieht die Struktur dieser Linie aus?
• Mit dem Gitterspektrometer sind die Wellenl¨angen einer Wasserstoffent- ladungslampe in 1. und 2. Ordnung zu bestimmen und daraus mit Hilfe der Balmerformel die Rydberg-Konstante f¨ur Wasserstoff zu berechnen.
• Mit dem Gitterspektrometer ist das gelbe Natriumdublett in 2. Ordnung zu vermessen. Die Feinstrukturaufspaltung ist zu berechnen und mit dem Literaturwert zu vergleichen. Welche Aufl¨osung wird ben¨otigt um das Du- blett zu trennen.
• Das Aufl¨osungsverm¨ogen des Gitters in 2. Ordnung und des Prismenspek- tometers sind f¨ur die gelbe Natrumlinie abzusch¨atzen und mit der ben¨oig- ten Aufl¨osung zu vergleichen.
V Grundlagen
Ein Spektrometer ist ein Instrument, mit dem Licht in seine Spektralfarben (Wellenl¨angen) zerlegt werden kann.
V.1 Prismenspektrometer
Beim Prismenspektrometer erfolgt diese Zerlegung durch ein optisches Prisma.
Dabei handelt es sich um einen K¨orper aus einem lichtdurchl¨assigen Material (i.a. Glas), der von zwei ebenen, nicht parallelen Fl¨achen begrenzt wird. Die Gerade, in der sich die beiden Fl¨achen schneiden, wird brechende Kante ge- nannt. In einem Schnitt senkrecht dazu (Hauptschnitt) liegt an der brechenden Kante der brechende Winkel ǫ.
Mit Hilfe des Brechungsgesetzes und unter der Annahme, dass f¨ur den Bre- chungsindex von LuftnLuf t= 1 gilt, folgt f¨ur den totalen Ablenkungswinkelδ,
a b
d e
2 1
a1 b
2
Brechzahl n brechende Kante brechender Winkel
ausfallendes Parall
ellichtb ündel einfallendes
Paral lellichtbü
ndel
Basis B
Abbildung 2:Hauptschnitt eines Prismas.
um den ein einfallendes Lichb¨undel abgelenkt wird:
δ=α1−ǫ+ arcsin p
n2−sin(α1)2sin(ǫ)−sin(α1) cos(ǫ)
. (1)
Von besonderem Interesse ist der Fall, bei dem das Prisma symmetrisch vom Licht durchsetzt wird. Dabei trifft das einfallende Lichtb¨undel senkrecht auf die Ebene, die den brechenden Winkelǫhalbiert. Bei diesem Einfall nimmt der Ablenkwinkelδein Minimum ein und es gelten die Beziehungen:
αmin=α1=α2=δmin+ǫ 2
(2)
n= sin (δmin+ǫ)/2
sin(ǫ/2) (Fraunhofersche Formel). (3) Gleichung (3) (Fraunhofersche Formel) beschreibt eine Methode um den Brech- ungsindex des Prismamaterials zu bestimmen. Messungen an Prismen sollten stets beim minimalen Ablenkwinkel erfolgen, da in diesem Fall der Ablenkwin- kelδ kaum vom Einfallswinkelα1 abh¨angt (δnimmt ein Minimum ein!).
60°
60° 60°
Beff
S
Abbildung 3:Effektive Basisbreite.
Bisher haben wir uns nur auf ein einfallendes monochromatisches Lichtb¨undel beschr¨ankt. Allerdings h¨angt aufgrund der Dispersion, der Brechungsindex n von der Wellenl¨ange ab, so dass bei einem einfallenden ”weißen“ Lichtb¨undel bei den bisherigen Betrachtungen n durch n(λ) ersetzt werden muss. Da der Ablenkwinkelδ von dem Brechungsindex abh¨angt, wird ein”weißes“ Parallel- lichtb¨undel spektral zerlegt.
Das Aufl¨osungsverm¨ogen A=λ/∆λ ist beugungsbegrenzt. F¨ur die Auf¨osung gilt:
A= λ
∆λ=Bef f
dn
dλ. (4)
Die Dispersiondn/dλdes Prismenglases k¨onnen Sie mit Hilfe von Abbildung 9 bestimmen. Die Gr¨oßeBef f beschreibt die effektive Basisbreite des Prismas und entspricht bei dem im Versuch verwendeten Prisma der L¨angeS der Prismen- seite, die von dem einfallenden Lichtb¨undel ausgeleuchtet wird (Abbildung 3 ).
V.2 Gitterspektrometer
Beim Gitterspektrometer wird die Beugung am Gitter genutzt. F¨ur eine fe- ste Wellenl¨ange λund Gitterabstand dergeben sich Beugungsmaxima, wenn folgende Bedingung erf¨ullt ist:
d sin α = mλ (5)
Dabei ist m=1,2,3,.. die Beugungsordnung. Bei bekannter Gitterkonstante d und Messung des Ablenkwinkels αliefert das Gitterspektrometer demnach ei-
ne absolute Messung der Wellenl¨ange im Gegensatz zum Prismenspektrometer.
Die Aufl¨osung des Spektrometers h¨angt von der Zahl der beleuchteten Gitter- spalteN und der Beugungsordnung m ab:
A=λ/∆λ = mN (6)
VI Durchf¨ uhrung des Versuchs
1. Skizzieren Sie den Versuchsaufbau 2. Justierung des Spektrometers
Machen Sie sich zun¨achst mit den verschiedenen Funktionen der Arre- tierungsschrauben und Feintriebe vertraut. Bei Unklarheiten fragen Sie den Assistenten. Die Einstellung des Fernrohrs auf unendlich vollzieht man durch Scharfstellen eines fernen (> 20 m) Gegenstandes, indem das Okular verschoben wird. Dazu schwenken Sie das Fernrohr in Richtung Fenster und visieren einen weit entfernten Gegenstand an. Bild und Fadenkreuz sollen keine Parallaxe mehr zeigen, d.h. bei Bewegung des Auges vor dem Okular soll keine gegenseitige Verschiebung eintreten. (Beide liegen dann in einer Ebene.) Falls sie eine Parallaxe zwischen Fadenkreuz und Spaltbild beobachten, dann k¨onnen Sie noch die Lupe im Okular so verschieben, dass das Fadenkreuz scharf ist.
Zur Einstellung des Kollimatorrohres auf Parallellicht verschiebt man den Spalteinsatz, bis man im justierten Fernrohr ein scharfes Spaltbild parallaxen- frei zum Fadenkreuz beobachtet. Das Kollimatorrohr ist in der Regel bereits justiert, so dass Sie hier nichts justieren m¨ussen.
F¨allt beim Beobachten eines Spektrums die Fadenkreuzmitte nicht mit den Mitten der Spaltbilder zusammen, so liegt das Prisma bzw. das Gitter nicht horizontal auf.
Je nach Verf¨ugbarkeit der Spektrallampen messen Sie zuerst mit dem Prisma (Versuchsteile 3. - 5.) oder mit dem Gitter (6. und 7.). Vor und nach jeder Messreihe m¨ussen Sie den Winkel bei Nullstellung des Fernrohrs (gerader Lichtduchgang) messen und notieren, damit Sie sp¨ater den Ablenkwinkel berechnen k¨onnen.
Kollimator
A
A’B B’
C
C’
Position 1 Position 2
dmin
dmin y2
y1
Abbildung 4:Messung des Minimalablenkwinkel.
3. Aufnahme der Eichkurve
Nullmessung: Messen Sie den Ablesewinkel f¨ur den nicht abgelenkten Strahl (ohne Prisma). Zur Feineinstellung arretieren Sie die Drehachse des Fernrohrs und drehen an der R¨andelschraube links unten. Es gen¨ugt die genaue Messung der Ablenkwinkel nach einer Seite. Nutzen Sie unbedingt die Genauigkeit des Nonius aus gem¨aß Abbildung 5 aus. Achten Sie darauf, dass w¨ahrend der Durchf¨uhrung der Aufgabe 3 und Aufgabe 4 die Teilkreisskala in der gleichen Lage arretiert bleibt!
Messung des Spektrums: Setzen Sie das Prisma ein und drehen Sie es so, dass Sie eine Ablenkung nach der gew¨unschten Seite bekommen. Schwenken Sie das Fernrohr auf diese Seite bis Sie die Spektrallinien sehen. Optimieren Sie die Beleuchtung (Intensit¨at der Linien) indem Sie die Spektrallampe vor dem Spalt in beiden Dimensionen verschieben. F¨ur die Messung sollte der Prismenschwerpunkt ungef¨ahr in der Spektrometerachse liegen. Stellen Sie den Minimalablenkwinkel f¨ur die gr¨une Hg-Linie ein. Dieser ist dann erreicht, wenn das im Fernrohr beobachtete gr¨une Spaltbild (Fadenkreuz benutzen) bei Drehung des Prismentisches stehen bleibt. Kleine Drehungen des Tisches nach rechts oder links lassen das Bild in die gleiche Richtung zur¨uckwandern.
Messen Sie bei festgehaltener Prismenlage die Ablenkwinkel δ(λ) f¨ur folgende zehn Linien des Hg-Spektrums:
Nr. λ(nm) Farbe Intensit¨at
1 690,7 rot schwach
2 623,4 rot mittel
3 579,1 gelb stark
4 577,0 gelb stark
5 546,1 gr¨un stark
6 499,2 blaugr¨un schwach 7 491,6 blaugr¨un mittel
8 435,8 blau stark
9 407,8 violett mittel
10 404,7 violett stark
F¨ur die starken Linien kann der Spalt sehr eng gestellt werden; f¨ur die schw¨acheren Linien ¨offnen Sie den Spalt soweit wie n¨otig.
4. Wellenl¨angenbestimmung des He-Spektrums
Messen Sie bei unver¨anderter Einstellung des Prismas (Minimum der Ablenkung f¨ur die gr¨une Hg-Linie) die Ablenkwinkel f¨ur folgende sechs Linien des He-Spektrums: rot (stark); gelb (stark); gr¨un (stark); gr¨un (mittel); blau (mittel); blau (stark).
5. Messung der Wellenl¨ange der gelben Natriumlinie
Setzen Sie die Natriumdampflampe vor das Spektrometer. Es liegen mehrere Linien im sichtbaren Bereich. Mit Abstand die gr¨oßte Intensit¨at hat jedoch die gelbe Linie, die eigentlich aus zwei benachbarten Linien (Dublett) besteht.
Messen Sie die Wellenl¨ange dieser Linie. Erscheint die Linie als Doppellinie?
6. Messung mit dem Gitterspektrometer: Wasserstoffspektrum Tauschen Sie das Prisma gegen den Halter mit dem Gitter aus und justieren Sie das Gitter senkrecht zur Kollimatorachse. Setzen Sie die Was- serstofflampe vor den Spalt und justieren Sie Beleuchtung und Spaltgr¨oße.
Messen sie die Nullstellung d.h den Ablesewinkel f¨ur die 0. Ordnung (gerader Lichtdurchgang). Drehen Sie das Fernrohr jetzt nach einer Seite bis Sie die erste Spektrallinie (1. Beugungsordnung) sehen. Welche Farbe erwarten sie
Teilkreisplatte
Nonius
53°
12’
Abbildung 5: Ablesen des Winkels: Lesen Sie zun¨achst den Winkel der Teil- kreisskale mit dem Nullteilstrich des Nonius auf 0,5 ◦ genau ab. Im unteren Bild betr¨agt der Winkel 53 ◦, da der Nullteilstrich zwischen 53 ◦ und 53,5 ◦ liegt. Die Nachkommastellen werden mit dem Nonius abgelesen. Beachten Sie, dass der Nonius in Bogenminuten geeicht ist. Dabei entsprechen die 30 Skalen- teile (30’ entspricht 30 Bogenminuten) einem halben Grad. Sie m¨ussen nun den Teilstrich des Nonius suchen der genau unter einem Teilstrich der Kreisskala steht. Im Bild ist dies der Teilstrich 12. Das Ergebnis der Winkelmessung ist demnach 53 ◦ 12’ bzw. im Gradmaß: 53◦+(12’/60’) = 53,2 ◦.
zuerst? Verschieben Sie die Lampe jetzt vorsichtig so vor dem Spalt so dass die Linien mit maximaler Helligkeit sichtbar sind. Die Wellenl¨angen der drei starken Linien (rot, t¨urkis, violett) werden in 1. und 2. Ordnung gemessen.
Versuchen Sie durch ¨Offnen des Spalts eine vierte, kurzwelligere Linie zu sehen. Messen Sie zum Schluss nochmals die Nullstellung.
7. Messung der Feinstrukturaufspaltung von Natrium
Drehen Sie das Fernrohr bis Sie die gelbe Doppellinie in erster Ordnung sehen. Verschieben Sie die Natriumlampe jetzt vorsichtig so vor dem Spalt, dass die schw¨acheren Linien (rot, gr¨un, zweimal Blau und violett) mit maximaler Helligkeit sichtbar sind. Hierzu gegebenfalls den Kollimatorspalt weiter ¨offnen. Gehen Sie jetzt zu gr¨osseren Fernrohrwinkeln und suchen Sie die Linien zweiter Ordnung. Bestimmen Sie die Wellenl¨ange der kurzwelligeren Linie des gelben Dubletts. Messen Sie danach nur mit Hilfe der Feineinstellung f¨ur dieses gelbe Dublett den Winkelabstand ∆δ der beiden gelben Linien m¨oglichst genau (Spaltbreite m¨oglichst klein einstellen). Diese Messung sollte jeder Student einmal durchf¨uhren.
VII Auswertung
Zu 3 und 4: Tragen Sie die Winkeldispersionskurve δ(λ) des Hg-Spektrums auf Millimeterpapier auf. Achten Sie darauf, dass Sie Wellenl¨ange gegen den tats¨achlichen Ablenkwinkel und nicht gegen den Ablesewinkel auftragen. Alter- nativ k¨onnen Sie die Eichkurve auch mit Origin zeichnen. Zur Verbesserung der Ablesegenauigkeit sollten Sie dann zus¨atzlich ein dichtes Gitternetz ¨uber das Diagramm legen. Bestimmen Sie anhand dieser Eichkurve die Wellenl¨angen der He-Linien. Ber¨ucksichtigen Sie den Fehler aus der Ablesegenauigkeit des Nonius. Wie groß sind die Abweichungen von den Tabellenwerten (706,5 nm - 667,8 nm - 587,6 nm - 501,6 nm - 492,2 nm - 471,3 nm - 447,1 nm)? Hinweis:
Es ist nicht zwingend, dass Sie alle angegebenen Linien gemessen haben.
Bestimmen Sie ebenso die Wellenl¨ange der gelben Natriumlinie(n).
Brechungsindex:Bestimmen Sie nach der Gleichung (g¨ultig f¨ur symmetrischen Strahlengang)
n(λ) =sin 12(δMin(λ) +ǫ)
sin(ǫ/2) (7)
den Brechungsindex f¨ur die gr¨une Hg-Linie. Der ¨Offnungswinkel des Prismas betr¨agt ǫ = 60◦. Vergleichen Sie diesen Wert mit der Dispersionskurve im Anhang. F¨ur welche Wellenl¨angen ist der Brechungsindex kleiner, f¨ur welche gr¨oßer als dieser Wert?
zu 5: Berechnen Sie die Wellenl¨angen des sichtbaren Wasserstoffspek- trums in erster und zweiter Ordnung. Berechnen Sie die Rydberg-Konstante mit Hilfe der Balmer-Formel f¨ur jede Linie. Vergleichen Sie die gemessene Spektrallinien mit den Literaturwerten (siehe Anhang).Berechnen Sie aus dem Mittelwert der Rydbergkonstanten die Rydbergenergie in eV.
zu 6. Berechnen Sie die Wellenl¨ange der gelben Natriumlinie. Ordnen Sie die gemessene Linie zu und tragen Sie diese in das Grotiandiagramm (Anhang) ein. Berechnen Sie schließlich die Feinstrukturaufspaltung des gelben Dubletts nach der Formel
∆λ=d/2(sin(δ+ ∆δ)−sin(δ)) (8) und sch¨atzen Sie den Fehler ab. Vergleichen Sie mit dem Literaturwert. Berech- nen Sie das notwendige Aufl¨osungsverm¨ogen um beide Linien getrennt sehen zu k¨onnen. Sch¨atzen Sie das Aufl¨osungsverm¨ogen von Gitter und Prisma ab und vergleichen Sie es mit der gemessenen Dublettaufspaltung. Nehmen Sie hierzu an, dass die Breite des parallelen Lichtb¨undels 4 mm betr¨agt.
VIII Anhang: Balmer-Serie des Wasserstoffs und Natriumspektrum
Natrium hat ein 3S Valenzelektron außerhalb einer abgeschlossenen Schale.
Das Spektrum ist daher dem des Wasserstoffs ¨ahnlich. Allerdings sieht das Va- lenzelektron in den verschiedenen Drehimpulszust¨anden eine unterschiedliche effektive Kernladung Zef f.
D-Elektronen (l=2) sind radial weit außen, sie sehen praktisch Z=1, da die anderen Elektronen den Kern abschirmen. F¨ur die D-Elektronen gilt tats¨achlich in guter N¨aherung:
En,l=2=−13,6eV /n2. (9) Die Korrekturen sind kleiner als 1%. S- und P-Elektronen haben dagegen eine weit h¨ohere Aufenthaltswahrscheinlichkeit innerhalb der Elektronendichte der
a b g d
H H H H Balmer Serie E
K
E
L M N O P
-13,6 eV 0eV
a b g d
H H H H
656,3 486,1
l [nm]: 434,0 410,1
Kontinuum Kontinuum
Abbildung 6:Balmer-Serie des Wasserstoffs.
abgeschlossenen Schalen. Daher sehen sie h¨ohere effektive Kernladungszahlen.
Ihre Energiezust¨ande k¨onnen beschrieben werden durch:
En,l=−13.6eV /(n2−(∆(n, l))2. (10) Dabei ist ∆(n,0) ≈ 1,373 und ∆(N,1) ≈ 0,833. Das Energiediagramm mit den erlaubten ¨Uberg¨angen zeigt Abbildung (7), in das auch die Wellenl¨angen eingezeichnet sind. Zus¨atzlich zeigt Abbildung (8) die drei wichtigsten Serien des Natriums:
• Hauptserie: m P→3 S
n 7 6 5
4
3 6 5
4
3 4 6 5
3 4
3
5 5
4
D : 589,593 nm1
D : 588,996nm2 1140,42 nm
1
2
3
4
5,125
Energie[eV]
1267,76 nm 1845,95 nm
568,27 nm
878,33 nm 616,07 nm
285,28 nm 330,23 nm
S1/2
2 2P3/2 2P1/2 2D3/2,1/2 2F5/2,7/2
Abbildung 7:Termschema des Natriums (Grotrian-Diagramm).
• 1. Nebenserie: m D →3 P
• 2. Nebenserie: m S→3 P
Alle ¨Uberg¨ange sind Dubletts (zwei eng benachbarte Linien), da die p-Zust¨ande P1/2undP3/2aufgrund der Wechselwirkungsenergie der magnetischen Momen- te von Bahndrehimpuls und Spin etwas verschiedene Energien haben (Fein- struktur).
D
Wellenlängel[nm]
250 300 400 600 800 1000 2000
Hauptserie 1. Nebenserie
2. Nebenserie
0 1
2 3
4 5
Energie [eV]
Abbildung 8: Die drei wichtigsten Serien des Natriums.
400 450 500 550 600 650 700 1,610
1,615 1,620 1,625 1,630 1,635 1,640 1,645 1,650 1,655 1,660
B re ch u n g si n d e x
Wellenlänge [nm]
Dispersion von Flintglas F2
Abbildung 9:Dispersionskurve von Flintglas.
