Probeklausur Mathematik 1 (E, M) im SS 2010 Prof. Dr. J.Wiebe
Aufgaben zu Teil A
Aufgabe A1 (11)
a) Die Abbildung zeigt eine Funktion f(x) und ihre Ableitungen f '(x), f ''(x), f '''(x).
Kennzeichnen Sie die vier Kurven entsprechend.
b) Sind folgende Aussagen richtig oder falsch:
(1) Wo f(x) eine Wendestelle hat, hat die erste Ableitung eine Extremstelle.
(2) Wo die erste Ableitung f ‘(x) = 0 ist, hat f(x) eine Extremstelle.
(3) Einen geraden Verlauf einer Funktion f(x) erkennt man daran, dass ihre erste Ableitung gleich null ist.
Aufgabe A.2 ( 6 )
Gegeben ist die Funktion f(x) = | x | / x.
a) An welchen Stellen ist die Funktion nicht stetig ? Mathematischen Beweis oder Begründung in Textform angeben!
b) Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion.
b) An welchen Stellen ist die Funktion nicht differenzierbar ? Mathematischen Beweis oder Begründung in Textform angeben!
Aufgabe A.3 ( 12 )
Es sei folgende Funktion gegeben: f(x) = √ (x-x
1)(x-x
2)
a) Wählen Sie x
1und x
2so, dass f(x) Nullstellen bei x=1 und x=-1 hat.
b) Geben Sie jetzt den Definitionsbereich von f(x) an.
c) Untersuchen Sie f(x) auf Extremstellen.
d) Welchem Verlauf nähert sich f(x) asymptotisch für x → ±∞ ?
Aufgabe A.4 ( 11 )
Die folgenden Gleichungen geben jeweils einen Zusammenhang zwischen den Variablen y und x an.
Gesucht ist der Differenzialquotient dy/dx; Ergebnisse möglichst vereinfachen:
a) y = b) y(x) = A [cos(ω·x + ϕ) 1 x
2 2] c) x
2y + 1 = 2x√ y 1 x
−
−
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Aufgaben zu Teil B
Aufgabe B.1 ( 7 )
Gegeben: Matrix M = , Vektor u
→= . Es sei Vektor v
→= M·u
→. Gibt es Werte für u
x, u
y, so dass u
→senkrecht zu v
→steht ?
Aufgabe B.2 ( 14 )
Gegeben: Vektoren a
→= und b
→=
a) Prüfen Sie, ob a
→und b
→kollinear sind mit Hilfe der Linearkombination a
→= k·b
→. b) Welchen Winkel schließen a
→und b
→ein ?
c) Bilden Sie die Summe c
→= 2 a
→+ b
→.
d) Warum muss das Spatprodukt von a
→, b
→, c
→den Wert null haben ?.
Aufgabe B.3 ( 7 )
Gegeben: Vektoren a
→= , b
→= , c
→=
Behauptung: c
→ist als Linearkombination c
→= x
aa
→+ x
bb
→darstellbar.
Prüfen Sie die Behauptung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems. Lösen Sie das Gleichungssys- tem nach dem Gaußschen Algorithmus und bestimmen Sie gegebenenfalls die Lösungen für x
aund x
b!
Aufgabe B.4 ( 12 )
Gegeben: Wechselspannungen u
1(t) = 4V sin( ω t + 90°) , u
2(t) = 5V sin( ω t -45°) Gesucht ist die Summe u
3(t) = u
1(t) + k· u
2(t) mit k∈IR , so dass die Summe reell wird.
Lösungsweg :
a) Geben Sie u
1(t) und u
2(t) als komplexe Schwingung an.
b) Geben Sie u
1(t) und u
2(t) durch die komplexen Amplituden û
1und û
2an.
c) Tragen Sie die komplexen Amplituden in die Gaußsche Zahlenebene ein, Maßstab: 1V ^ = 1cm.
d) Tragen Sie die Summe û
3= û
1+ k· û
2in die Zeichnung ein (graphische Konstruktion).
e) Geben Sie die komplexe Amplitude û
3an, Wert aus der Zeichnung entnehmen (messen).
Viel Erfolg !
x y
