2. Kontinuierliche Massenänderung

2. Kontinuierliche Massenänderung

● Untersucht wird ein Körper, der kontinuierlich Masse ausstößt.

● Es sollen zunächst keine äußeren Kräfte auf den Körper wirken.

● Bezeichnungen:

– Masse des ausstoßenden Körpers: m(t)

– Pro Zeiteinheit ausgestoßene Masse: Massenstrom μ(t)

– Geschwindigkeit der ausgestoßenen Masse relativ zum ausstoßenden Körper: Ausstoßgeschwindigkeit w

2. Kontinuierliche Massenänderung

● Impulserhaltungssatz für das Zeitintervall dt :

– Impuls zum Zeitpunkt t :

– Impuls zum Zeitpunkt t + dt :

– Größen zum Zeitpunkt t + dt :

pt=mt vt

ptdt=mtdt vtdttdt





ausstoßender Körper ausgestoßene Masse

m tdt=m t−t dt , v tdt v td v

2. Kontinuierliche Massenänderung

– Damit:

– Impulserhaltung (keine äußeren Kräfte):

ptdt=



 







=mtvtmtd vtwtdt

Glieder höherer Ordnung

pt= ptdt mtvt=mtvtmtd vt wtdt

 mt d v

dt ttwt=0

 mt d vt

dt t=−twt

2. Kontinuierliche Massenänderung

– Mit der Schubkraft folgt schließlich

– Die Schubkraft ist proportional zum Massenstrom und zur Ausstoßgeschwindigkeit.

– Sie wirkt entgegengesetzt zu w auf den ausstoßenden Kör- per.

S=−w

mt d v

dt =S

2. Kontinuierliche Massenänderung

● Beispiel:

– Zur Bahnkorrektur eines Satelliten wird vom Zeitpunkt t₁ bis zum Zeitpunkt t₂ ein Triebwerk eingeschaltet.

– Das Triebwerk hat eine konstante Ausstoßgeschwindigkeit w = c_S (Strahlgeschwindigkeit ) und einen konstanten

Massenstrom μ.

– Gesucht ist die Geschwindigkeitsänderung Δv = v₂ – v₁ .

2. Kontinuierliche Massenänderung

– Für die Masse des Satelliten gilt

– Aus dem Impulssatz folgt:

– Trennung der Veränderlichen führt auf mt=mt₁−









mt d v

dt =



^

^ 

d v=−c_S dt

m −





2. Kontinuierliche Massenänderung

– Integration ergibt:

– Mit folgt daraus:

– Diese Gleichung wird als Raketenformel von Ziolkowsky bezeichnet.

∫

v₁ v₂

d v=−c_S

∫

t₁ t₂

dt

m₁−





 v₂−v₁=c_S

[

^

^

^{ } ]

=c_S ln



^

^ 

m₂=m₁−





v=v₂−v₁=−c_S ln





2. Kontinuierliche Massenänderung

● Zusätzliche äußere Kraft:

– Wenn zusätzlich eine äußere Kraft F auf den Körper wirkt, dann gilt für die Änderung des Impulses

– Daraus folgt:

ptdt− pt=F dt  mt d v

dt tt wt=F mt d v

dt =FS

2. Kontinuierliche Massenänderung

● Systeme mit mehreren Massenströmen:

μ , w μ₃, w₃

μ₂, w₂

F₁ F₂

K, m v

– Einströmen:

– Ausströmen:

– Die Massenströme μ_E und μ_A sind immer positiv.

– Die Geschwindigkeiten w_E und w_A sind Ge-

schwindigkeiten relativ zur Geschwindigkeit v des Körpers.

S_E=_E w_E S _A=−_A w_A

2. Kontinuierliche Massenänderung

– Mit diesen Vereinbarungen gilt:

– In Komponenten:

m v˙ =

∑

∑

m v˙_x =

∑

∑

m v˙ _y =

∑

∑

m v˙_z =

∑

∑

2. Kontinuierliche Massenänderung

● Beispiel: Förderband

L

H α

2. Kontinuierliche Massenänderung

– Auf das dargestellte

Förderband, das mit der Geschwindigkeit v_B um- läuft, fällt Sand frei aus der Höhe H. Die wirk- same Bandlänge ist L, der Steigungswinkel α.

– Zu bestimmen ist die für den Transport notwen- dige Zugkraft im Band.

– Daten:

● Bandlänge L = 10m

● Höhe H = 1m

● Winkel α = 20°

● Bandgeschwindigkeit v_B = 1,20m/s

● Massenstrom des Sandes: μ = 300kg/s

2. Kontinuierliche Massenänderung

– Sand auf Band freigeschnitten:

α

x y

S_E

S_A

mg

R N

2. Kontinuierliche Massenänderung

– Der Schwerpunkt des auf dem Band befindlichen Sandes bleibt in Ruhe.

– Schubkräfte durch Massenströme:

● Einströmend: Die Schubkraft wirkt in Richtung der Einströmgeschwindigkeit und hat die Größe

● Ausströmend: Die Schubkraft wirkt entgegen der Ausströmgeschwindigkeit und hat die Größe

S _A=v_B

S_E=v_S mit v_S=



2. Kontinuierliche Massenänderung

– Kräfte:

● Gewichtskraft mg

● Reibkraft R, die das Band auf den Sand ausübt

● Normalkraft N, die das Band auf den Sand ausübt

– Da sich die Geschwindigkeit des Schwerpunktes nicht ändert, müssen die Kräfte im Gleichgewicht sein:

∑

 R=





2. Kontinuierliche Massenänderung

– Masse des Sandes:

● Im Zeitintervall Δt bewegt sich das Band um die Strecke Δx = v_B Δt weiter.

● In diesem Streckenintervall befindet sich die Masse

● Diese Masse fällt im betrachteten Zeitintervall vom Band. Also gilt:

m=m/L x

m

L  x=m

L v_Bt= t  m= L v_B

2. Kontinuierliche Massenänderung

– Band freigeschnitten:

α x

y F_B

R

N

N₁

N₂

2. Kontinuierliche Massenänderung

– Die gesuchte Zugkraft F_B folgt aus dem Gleichgewicht in x- Richtung:

– Zahlenwerte:

● Einströmgeschwindigkeit:

● Masse des Sandes auf dem Band:

∑

v_S=





m= L

v_B =300kg/s⋅10m

1,2m/s =2500kg

2. Kontinuierliche Massenänderung

● Zugkraft im Band: F_B=R=





F_B=300kg/s





2500kg⋅9,81m/s²⋅sin20° =815N8388 N =9203 N