Bildverarbeitung: Kontinuierliche Energieminimierung

Bildverarbeitung: Kontinuierliche Energieminimierung

D. Schlesinger BV: Kontinuierliche Energieminimierung() 1 / 9

Statt zu sagen, wie die Lösung geändert werden muss (explizite Algorithmus, Diffusion), werden die erwünschten Eigenschaften der Lösung explizit formuliert.

Die Ausprägungen eines Objektes werden durch Abbildungen repräsentiert.

Beispiele:

„Menge der Pixel“→„Menge der Farben“(alles diskret).

„Menge der Pixel“→„Kontinuierlicher Grauwertbereich“.

Eigenschaften des Modells werden mittels „Energie“ dargestellt – Funktion, die „ungünstige“ Abbildungen bestraft.

Die Aufgebe wird zu einem Optimierungsproblem – suche nach der günstigsten Abbildung.

Fälle:

Definitionsbereich: kontinuierlich –R² diskret – Menge der PixelR Wertebereich: kontinuierlich –R diskret – z.B. [0. . .255]

Heute: Wertebereich kontinuierlich, Beispiel – Entrauschen (denoising).

Diskreter Definitionsbereich

R∈Z²– die Pixelmenge,E⊂R²– die Nachbarschaftstruktur (z.B. 4-Nachbarschaft) x:R→Z– das Ausgangsbild,y:R→R– die gesuchte Abbildung (das restaurierte Bild).

EnergieE:R^|R|→Rbesteht (normalerweise) aus zwei Teilen:

1) Der Daten-Term:

Ed(y) =

X

r∈R

(xr−yr)² (entspricht Gausschem Rauschen).

2) Der Modell-Term:

Em(y) =

X

rr⁰∈E

(yr−y_r0)²

Annahme: der rekonstruierte Grauwertverlauf (die Abbildungy) soll glatt sein Die Optimierungsaufgabe:

y^∗= arg min

y

D. Schlesinger BV: Kontinuierliche Energieminimierung() 3 / 9

Lösungsweg – Ableitungen Nullsetzen:

∂

∂yr^∗

hX

r∈R

(xr−yr)²+α

X

rr⁰∈E

(yr−y_r0)²

i

=

yr^∗−xr^∗+α

X

r⁰:r^∗r⁰∈E

(yr^∗−y⁰_r) = 0

⇓

(1 + 4α)yij−αyij−1−αyij+1−αyi−1j−αyi+1j=xij ∀i,j System linearer Gleichungen mirn=|R|Variablen undnGleichungen:

A·y=x mit

y= (y1,y2, . . . ,yn)∈Rⁿ– die Lösung, x= (x1,x2, . . . ,xn)∈Zⁿ– das Ausgangsbild,

ak= 1 + 4α,akl=−αwenn die entsprechenden Pixel benachbart sind, sonst 0.

Das System kann bezüglichymithilfe Standardmethoden

(Gaussche Eliminierung,LU-Dekomposition,Ainvertieren usw.) gelöst werden – das ist aber leider sehr Zeitaufwendig (nur im 1D-Fall effizient).

(Merke: online/offline Varianten).

Diskreter Definitionsbereich

Die MatrixAist schwach besetzt→iterative Methoden.

Jacobi Methode:

Man zerlegeA=D+M mit einer diagonalen MatrixM:

Ay=x ⇔ (D+M)y=x ⇔ Dy=x−My ⇔ y=D⁻¹(x−My) y^(k+1)=D⁻¹(x−My^(k))

Vorteile: extrem einfach, parallelisierbar

Nachteile: immer noch zu langsam, konvergiert nur beik→ ∞, konvergiert nur wenn die Matrix streng diagonal dominant ist, d.h.|a_ii|>

P

j6=i|a_ij|, was glücklicherweise für das Beispiel gerade der Fall ist.

Andere Algorithmen:

Gauss-Seidel, Successive Over-relaxation (schneller), Konjugierte Gradienten (bessere Konvergenz), Multigrid Methoden (viel schneller aber komplizierter) etc.

Das obige Beispiel ist sehr einfach – quadratische Energie⇒lineare Gleichungssystem.

Probleme wenn nicht differenzierbar, nicht konvex etc.

D. Schlesinger BV: Kontinuierliche Energieminimierung() 5 / 9

Definitionsbereich wird zuR⊂R²,

die Abbildungy:R²→Rist somit eine Funktion, Die Energie wird zum EnergiefunktionalE:R^∞→R.

„Calculus of Variations“, Variationelle Ansätze.

Beispiel – das Entrauschen:

E(y) =

Z

R

h

y(r)−x(r)

+α|∇y(r)|²

i

dr→min

y

Gâteaux Ableitungen entlang „Richtungen“h:R²→R (Richtungsableitungen im Funktionsraum):

∂Eh(y)

∂y = lim

ε→0

E(y+εh)−E(y)

ε = dE(y+εh) dε

Euler-Lagrange Gleichungen:

im Optimum sind alle Gâteaux Ableitungen (d.h. für alleh) Null.

Kontinuierlicher Definitionsbereich

d dε

Z

R

h

(y+εh−x)²+α|∇(y+εh)|²

i

dr

= // koordinatenweise inR²

d dε

Z

R

h

(y+εh−x)²+α ∂

∂r1

(y+εh)

+α ∂

∂r2

(y+εh)

i

dr

=

2

Z

R

h

(y+εh−x)h+α ∂

∂r1

(y+εh)∂h

∂r1

∂r2

(y+εh)∂h

∂r2

i

dr

=

2

Z

R

h

(y−x)h+α ∂y

∂r1

∂h

∂r1

∂r2

∂h

∂r2

i

dr= // partielle Integration

2

Z

R

h

(y−x)h−α ∂²y

∂r₁²h

−α ∂²y

∂r₂²h

i

dr+. . .(Grenzeffekte) =

2

Z

R

(y−x−α4y)h dr+. . .(Grenzeffekte) = 0 ∀h

⇓

D. Schlesinger BV: Kontinuierliche Energieminimierung() 7 / 9

⇒ y−x−α4y= 0 ∀r∈R , und für die Grenzen ∂hn,∇yi

∂R = 0

Relation zum Fall diskretes Definitionsbereiches:

Diskretisiert man die Bedingungen und schreibt sie für alle Pixel (i,j) auf, d.h.

yi,j−xi,j−α (yi−1,j−2yi,j+yi+1,j) + (yi,j−1−2yi,j+yi,j+1)

= 0 so entsteht dasselbe lineare Gleichungssystem wie beim diskreten Definitionsbereich:

yi,j(1 + 4α)−αyi−1,j−αyi+1,j−αyi,j−1−αyi,j+1=xi,j ∀(i,j).

Relation zur Diffusion:

(Anti)Gradient Verfahren zur Minimierung der EnergieE(y):

y^(t+1)=y^(t)−∂E(y)

∂y =y^(t)+α4y+ (x−y) Vergleiche mit der linearen isotropischen Diffusion:

u^(t+1)=u^(t)+∂u

∂t =u^(t)+c4u

Kontinuierlicher Definitionsbereich

Erweiterungen (kompakte Schreibweise):

E(y) =

Z

R

h

(y−x)²+αΨ(|∇y|²)

i

dr→min

y

mit einem Regularisator Ψ:

Ψ(s²) =s² – Tikhonov

Ψ(s²) =

√

s² – Total Variation

Ψ(s²) = 1−λ²exp(−^s2

λ²) – Perona-Malik Ψ(s²) =

n

1 else – Potts-Modell

Euler-Lagrange Gleichungen:

div Ψ⁰(|∇y|²)∇y

−y−x α = 0

D. Schlesinger BV: Kontinuierliche Energieminimierung() 9 / 9