Dr. Peng Jin
Übungen zu: Maß- und Integrationstheorie (SS 2012)
Blatt 2
Aufgabe 1:
Es seien(X,A,µ)ein Maßbraum undB∈A. FürA∈A setze manµB(A):=µ(A∩B). Man zeige, daß(X,A,µB)ein Maßraum ist.
Aufgabe 2:
Seiµ1≤µ2≤ · · · eine Folge von Maßen auf einerσ-Algebra, d.h.µ1(A)≤µ2(A)≤ · · · für alle mess- baren MengenA. Zeigen Sie, dass durchµ(A):=limnµn(A)ein Maßµ gegeben ist.
Aufgabe 3:
Für je zwei MengenAundBheißt
A∆B:= (A\B)∪(B\A)
diesymmetrische Differenze von AundB. Sei(Ω,A)ein maßbarer Raum. Es gelte A=∪n≥1An und A0=∪n≥1A0n, wobeiAn,A0n∈A für allen∈N. Überprüfen Sie für ein Maßµ auf(Ω,A)die Aussagen
µ(A\A0)≤
∞
∑
n=1
µ(An\A0n),
µ(A∆A0)≤
∞
∑
n=1
µ(An∆A0n).