Übungen zu: Maß- und Integrationstheorie (SS 2012)

Dr. Peng Jin

Übungen zu: Maß- und Integrationstheorie (SS 2012)

Blatt 3

Definition(liminf und limsup)Es seienA₁,A₂,· · · Teilmengen vonΩ. Dann heißen lim inf

n→∞ A_n=∪^∞_n=1∩^∞_m=nA_m

und

lim sup

n→∞

An=∩^∞_n=1∪^∞_m=nAm

Limes inferiorbeziehungsweiseLimes superiorder folge(An)n∈N. Bemerkung: Es gilt

lim inf

n→∞ A_n={ω∈Ω:]{n∈N:ω∈/A_n}<∞},

lim sup

n→∞

A_n={ω ∈Ω:]{n∈N:ω∈A_n}=∞}.

Der Limes inferior ist also das Ereignis, dassschließlich allederAn eintreten, der Limes superior hin- gegen das Ereignis, das unendlich viele derAneintreten.

Aufgabe 1:

SeiΩ=R. Setze

A_n= (−1/n,1]

wennnist ein ungerade Zahl, und

A_n= (−1,1/n]

wennnist ein gerade Zahl. Finden Sie lim sup_n→∞Anund lim infn→∞An. Aufgabe 2:

Es seienA₁,A₂,· · · Teilmengen vonΩ. Man beweise oder widerlege: lim infn→∞An⊂lim sup_n→∞An , lim sup_n→∞A_n⊂lim infn→∞A_n.

Aufgabe 3:

Es seien A₁,A₂, · · · Teilmengen vonΩ. Die Folge(An)n≥1 heißtkonvergent, wenn lim sup_n→∞An= lim infn→∞A_n. In diesem Fall nennt man limn→∞A_n=lim infn→∞A_nGrenzwertvon(An)n≥1. Man veri- fiziere:

Ist A_nwachsend [bzw. fallend], so konvergiert (An) und es gilt limn→∞A_n=∪_nA_n[bzw. limn→∞A_n=

∩nAn].

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