Komplexe Zahlen (2) m¨undliche Aufgaben

m¨undliche Aufgaben

arg(2i) = ?

arg(2i) = 90^◦ =π/2

arg(−12.7) = ?

arg(−12.7) = 180^◦=π

arg(3 + 3i) = ?

arg(3 + 3i) = 45^◦ =π/4

In welchem Quadranten liegt−2 + 3i?

−2 + 3i liegt im 2. Quadranten

Was bedeutet cisϕ?

cisϕ= cosϕ+ i sinϕ

2 cis(3π/2) = ?

2 cis(3π/2) = 2 cis(270^◦) =−2i

Vereinfache: cis 40^◦·cis 30^◦

cis(40^◦)·cis(30^◦) = cis(70^◦)

Vereinfache: 2 cis(40^◦)·5 cis(50^◦)

2 cis(40^◦)·5 cis(50^◦)10 cis(90^◦) = 10i

Vereinfache: 12 cis(4π/7) : 3 cis(3π/7)

12 cis(4π/7) : 3 cis(3π/7) = 4 cis(π/7)

Vereinfachez = cis(60^◦) : cis(70^◦) (0≤arg(z)<360^◦)

cis(60^◦) : cis(70^◦) = cis(−10^◦) = cis(−10^◦+ 360^◦) = cis(350^◦)

|cis(ϕ)|= ?

|cis(ϕ)|= 1 [Beweis?]

Vereinfache: cis(90^◦) + cis(270^◦)

cis(90^◦) + cis(270^◦) = i + (−i) = 0

Vereinfache: cis⁶(15^◦)

cisⁿ(x) ist eine Kurzschreibweise f¨ur [cis(x)]ⁿ.

cis⁶(15^◦) = cis(6·15^◦) = cis(90^◦) = i

(1 + i)⁶ = ?

(1 + i)⁶ =√

2 cis(45^◦)6

= 2³cis(270^◦) =−8i

Welcher geometrischen Abbildung entspricht die Multiplikation einer komplexen Zahlz mit der Zahl 2i?

Die Multiplikation einer komplexen Zahlz mit der Zahl 2i entspricht einer Drehstreckung mit dem Faktor 2 und dem Drehwinkel 90^◦.

Was bedeutet e^iϕ?

e^iϕ = cis(ϕ) = cos(ϕ) + i sin(ϕ)?

e^iπ+ 1 = ?

Aufgabe 2.17

e^iπ+ 1 =−1 + 1 = 0

wichtigsten mathematischen Konstanten in einer Gleichung

e^iπ+ 1 =−1 + 1 = 0

Diese Gleichchung wird eulersche Identit¨at genannt und vereinigt f¨unf der wichtigsten mathematischen Konstanten in einer Gleichung

3e²ⁱ·4eⁱ = ?

3e²ⁱ·4eⁱ = 12e³ⁱ

24e²ⁱ : 8eⁱ = ?

24e²ⁱ : 8eⁱ = 3eⁱ

√2

16e^4.84i= ?

√2

16e^4.84i/2 = 4e^2.42i

Gib arg(eⁱ) im Gradmass an.

arg(eⁱ) = arg(e^i·1) = 1 rad = 1·360^◦

2π = 180 π

Nenne m¨oglichst viele verschiedene Anwendungen der komplexen Zahlen.

I L¨osung von Gleichungen des Typs x²+c = 0 mitc >0

I Algebraische Darstellung geometrischer Abbildungen in der gaussschen Zahlenebene (Translationen, Drehungen, Streckungen)

I Erweiterung des Definitionsbereichs von Funktionen (Wurzel-, Logarithmus- und trigonometrische Funktionen)

I Einfache Herleitung von Formeln, die sin 2ϕ, cos 2ϕ, sin 3ϕ, . . . durch Produkte von sinϕ und cosϕausdr¨ucken

I Zeigermodell in der Physik (z. B. Wechselstromlehre)