fe Ck (

25

Satz (

^von

^Schwarz )

^{: 1st}

fe ^{Ck (}

^{U, R"}

⁾

, UER ^"

, daun

gilt ^{for jede} Permutation

it ^:

2;,

-' '

Jin f

^-

Jr

,;^)

.--

Jilin )f

^.

Bewcisi ( for

^{k=2 . K >2 durch lndnktiou}

)

^{0. B. d.A. mi- 1 .}

Definiere

^{Fct ,s) :-}

[ fl

^{x.+ t}, xzts

)

^-

_f(

x.⁺ t_,xD^-

( ^fkrxzts

^{) -}

^flx

^,,×.)

) ]/Lt

^.s

⁾

(

^{t ,s}

⁾

^c-

⁽

^{c. e)2 .}

Dann

^ist _{hfgno hjgno} ^{Flt 's}) ^:

2,22ft

^{) .}

and hsiao

lizo

^{this ) :}

^{2. 2 flx}

^{) .}

Mittelwvtsatz fir flt

⁾

:-[flxntt

^{, xzts ) -}

flenttix

^.)

] ^/s liefut

F ^Oe C- E.^{) :

f

^{'t-0) =}

[fLt

^{) - flo)}

^]/t

^{: Fctis ). D.L.}

Flt d. Analog liefvt

^{der 's}

Miltelwvtsatt

^{) :}

^{[ d. f (} fir

^{x. +0, x.+sns s}

⁾

^{- Tls)}

^flx.to

^{ein , xzse C- e.)}

^]/s

^{e) =, :so}

^Ms

^dass)

Flt

^Aus

Symmetriegrunden

^{.s ) =J (}

^dzd

^{0', ,5'}

^{f- (}

^{) e C-x. toe. et, xz:+ s}

⁾

^.

Flt

^{Satz :}

^{( Taylor}

^Da

^gilt approximation

^:

^{Zizf ( 2,2 f)}

^,und

) ⁽

^×

²²

^{Sei. ,x}

^,f

^{.) .UER}

^{shtrg ( 2. f) 2}

^{" bei}

^{often (}

^×x..x,Sind.

⁾

^.

fe ^CP

^und

^fir

^{,s ):e →2. 2. 0}

^{f ( (}

^{G.x.5)+ o→', 0 x. &+ s('}

⁾

^{0'.is' )→OA ,}

"

(

UIR

)

^und a. ^× EU

, so dass

die

Uerbindnugsgeradl

^{" [ an ]}

"

zw . a & x ebeu

falls

^{in U}

liegt

^{. Dann}

existent ein

{

^{E [a.×] , so dass}

fc

^{⇒ =}

( Eg

.

IT

.

f

^{"" (a) C x. at"}

)

⁺ _,

I

^,,,

^f

^{"" "}

^llllx

^{. al " '} , w.be;

⇐

pflx

^,a) "

Taylor polyuom

"

=:

Rp

^(x.a)

Restyled

dv

Orduungp

^von

^f

^{in a}

f

^{' " (a)}

^ski

^.

^f

""

(a) ( s) ^... (s) ^-

Fil ¥g

^{.. '} ,

tiutdi ,fl

^a)

sin

^{'' .si} ,

.

26

Beweis

^:

Betrachte

^F

:[

^on ]→1R

,

Flt ) ^:-.

flatts ⁾

, Si=x ^- a .

Dann

^ist Fco ) ^:

f

^{(a) , F (^) =}

^f

^{(x) und FE (P "}

⁽

^{[on], R}

⁾

^{, d. h.}

wir kouneu die

Taylor ^formel

^{ours dim ein}

dimensional

ⁿ vvwenden

, s.d.

P

Fusco

) ⁿ

th ) ⁼

-2

^{+ F}

" ^" "

Lt)

fir _geeignehs

^{tE[ 0,7 ] .}

K:O k ! ( ptn)^!

Fact

)

erhalteu

wir unit

Hilfe

^do

keltewegel

^:

F ^" Lt) ⁼

§; ^{2. flatts )}

^{s ;}

Fm

^{) =}

^§y

^,

.lt ^did

^,

^{Flatts )s;s}

^,

*

^' Lt) ⁼

Pa

^"

ftp.ndi.tdipflatts ⁾

^{si , -}

^Sip

=

f

^{4 "}

⁽

^atts

^{) sp}

Mit }

^{÷ atib}

folgt

^die

^Aussage

^{. D}

korollw

^:

⁽ Restgliedabschatzung ⁾

Far das

Restyled

ⁱⁿ

vorangeheudm ^Sate gilt

^:

Rpl

^x.

^a)

⁼

^O(

^{Hx.AHP "}

) _for

^x→a , d. h

.

IRPL

^{x. a)/}

limsup

^{,+, < • .}

x→a Ax ^- all^'

(

duh . does

Restgliedgeht ^for

^x→a

wenigsteus

^{so Schnell wie}

Hx

^.AHP"

_gegeu

^{Nwk .}

)

Ben

^. :

Gilt lediglioh fe ^CPLU

^,R

⁾

, dam Laisst sick

analog ^zeigen

^{, dass}

Rpl

^{x. a) =}

o(

^Hx-AHP

)

^{, d. h. him IRPLX.a) I}

s→o Hx^. ayp

=° -

(

^siehe

Konigsberg )

27

Beweis

^:

Zp

^(x.

^a)

^{/ -} (

pin

,,

/ f

^{"" "C}

1)

^(×.a)P

"

/

Hf

^"+"

⁽

¹¹¹¹ pm

E ¹¹ x^- all wobei

Iptn^{)! .}

" f.

^"

^"

^'

^"

^it

many ^" f ftp.lsj?.jls

^""

^"

^{" "}

^{" )}

^...

weyn Besowoinkthit

do

Abbitung

^{. Dies}

haigt stekgron {

^{ab .}

Dawit

^ist c (x) ^{: -} sup

Hflp

^"

^'(

{ ) ^{H < a} mouton

fallend fir

^{x→a .}

{^{C- [ ai×}]

C(^x)

Wegen lrplxia

^{) I e} _{( pm ,},

H ← a "P^"

folgt

^die

_Behanptwng

^{. D}

Def

^{.: 1st}

^UER

^"

_often

^und

f.

^{U→R , dann}

hiipt f

^{in U " reek}

^analytrsch

^{" ,}

wenn es zu

jedem

^{at U eine}

Umgebuug Vgibt

^{, so dass}

^KXEV gilt

^:

him Tpflx

^.

^a)

⁼

flx

^{) .}

p ^-soo

Bem

^{. :}

^Die Region

ⁱⁿ

^R

"

, in der die

Taylorreihe _gegen fkonvvgivt

^,

mnp

^{Weder ein Quader hook line}

Kugel

^{Sein . 2.B. ist}

A

(

^n. x.^. xz) ^{" =}

[

^{( tntxz}

⁾

^"

Taylorreihe

^{um ( 0,0 ) , welohe}

_genan

" =°

far

^{1 x. + xz It 7}

konvvgivt

^.

Def

^{.: Sei}

fed ⁽

^{UER ", R}

⁾

^{, xeu . Die nxn Matrix}

H

^:-.

Hfk

^{) :-}

( 2,2

;

fkl ⁾

i.j= ^1..in

heipt

^{Hesse Matrix von}

fbeix

^.

Ben

^{.: °}

Tayloreutwicklung ^bis

^Zur

^zweiteu Orduung ^liefrt

^:

flxts ⁾

⁼

flx

^{) +}

¥

,

2

:flx)s

^{; +}

E¥.

_,

¥

,

2_;

§ fklb ^;D

; ⁺ R_, (x. s)

.

f

^{(x) + <}

^Dflx

^{). s > +}

^Z

^{e s , H s > + R, (x. s}

⁾

°

fed gwautrvt

^{wauh dem Sat von Schwarz , class H=H ' .}

28

Erinnerung

^{: Eine}

sym

^{. Matrix H .}

HTE R

^{" "} und die

znyehorige

Quadratrsche

^Form QC^{u): - iv. Qv >}

heipen

°

posilvu defrnit

^{" H > 0 " ⇐>}

^tfvc

^{. R}

^"\o

^{: Qlv ) > 0}

⇐'s die

Eigenwrte

^{d; von H}

^vtiken

t ;

> 0

tietn

, ... ,n

}

°

positrv semidefinit

^{" HTO " # V. v ER" : Qlv ) 70}

⇐> ×_: 70

fi

°

analog definivt

^Sind

negatrv ⁽

^semi

) deficit

^.

°

defhit

^is

positrvodvnegatiudefrnit

°

indefrnit

^{: : nicht}

defrnit

Lemma

^: Sei

f

^{: R}

^"7U→

^R

part

^.eu

^diff

^{. bar . Weun}

fbei

^{xo ein tokales Extremum}

aunimmt

,

daun

gilt ^Pflx

^.

⁾

^{:O .}

Ben

^{.: °} " lohabs Extremum ^"

bei

_xo bedentet

, dass es line

Umgebuug

^{V von}

xo

gibt

^{in dir}

f

^{bei xo ein Min .}

^Max

^.

^aunimmt

^.

° Winn

Pflxo ⁾

^{.-0 ,}

^daun heipt

^xo

statiouarer

Puukt

( _synonym

^:

kritrscher

Punkt

)

^von

_f

^.

Beweis

^:

glt

^{) : "}

flxotte ^;)

^{hat bei t :O ein}

^to

^{kales Extremum . Also ist}

0 ⁼

ojlo

^{) = <}

^Pflxo

^{), ei > . A}