Aufstellung der Differentialgleichungen der Apollo-Mission

(1)

Apollo-Mission, Wiedereintritt und Rückkehr zur Erde

Parallelrechnung mit Mathematica von Apollo-Wiedereintrittsbahnen zu Diplomarbeiten im Jahr 2002 (siehe [1] und [2]) bei

Prof. Dr. R. Meisinger, Fakultät Maschinenbau Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg

erstellt durch H. Leinfelder, Fakultät Allgemeinwissenschaften etwa um das Jahr 2002, nur leicht modifiziert von R. Brigola für die aktuelle Mathematica 9 Version, mit ein klein wenig Begleittext und Referenzen auf heute zugängliche Quellen versehen, April 2013.

Die weiter unten benötigten Atmosphärendaten und die Quelle [2] findet man als Links zum Download unter der URL www.stiftung-swk.de/mathematica dieses Notebooks.

Aufstellung der Differentialgleichungen der Apollo-Mission

VelocityODE: Differentialgleichung für die Fluggeschwindigkeit U = U[t]

AngelODE: Differentialgleichung für den Bahnwinkel Γ = Γ[t]

HeightODE: Differentialgleichung für die Höhe R = R[t] (vom Erdmittelpunkt gemessen!) OrbitODE: Differentialgleichung für die orbitale Länge j = j[t]

ApolloMission: Anfangswertproblem für das ODE-System 1. Ordnung der Apollo-Mission

Nachfolgend das System aus 4 gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung, welches die aerodynamischen Bedingungen beim Wiedereintritt der Kapsel bis zur Landung beschreibt. Sie sind entnommen aus der Quelle [2]. Es gibt nur wenige Steuerparameter für das behandelte Anfangswertproblem, nämlich die Fluggeschwindigkeit U0, den Eintrittswinkel Γ0 beim Eintritt in die Atmosphäre und die Funktion control, mit der eine Änderung des Auftriebs durch Widerstand zu den Zeiten tS1 und tS2 mittels Veränderung der Kapsel-Lage beschrieben wird. Die wurde in der Realität erreicht durch Triebwerke an der Kapsel, mit denen man den Anstellwinkel der Kapsel verändern konnte, um die aerodynamische Verzögerung zu reduzieren.

Durch Änderung dieser Parameter weiter unten sind verschiedene Simulationen mit diesem Notebook leicht durchzuführen. Die Simulation wird gerechnet bis zu einer Höhe von 7 km über NN. Ab dann kommen Falllschirme zum Einsatz, um die verbliebene Geschwindigkeit abzubauen.

(2)

In[19]:=

Off@General::spell1D; VelocityODE=

¶_tU@tD==Ig@R@tDD-R@tD* Ω²M* Sin@Γ@tDD-B* Ρ@R@tD-R0D* U@tD²; AngelODE=

¶_tΓ@tD== 1

U@tD g@R@tDD-R@tD* Ω²- U@tD²

R@tD *Cos@Γ@tDD-2Ω - control@tS1, AW1D@tS2, AW2D@tD* B * Ρ@R@tD-R0D* U@tD;

HeightODE= ¶_tR@tD== -U@tD* Sin@Γ@tDD;

OrbitODE= ¶_tj@tD== U@tD* Cos@Γ@tDD

R@tD ;

ApolloMission=8VelocityODE, AngelODE, HeightODE, OrbitODE, U@0D==U0, Γ@0D== Γ0, R@0D==R0+h0, j@0D== j0<

Out[24]=

:U^¢@tDIg@R@tDD- Ω²R@tDMSin@Γ@tDD-B U@tD²Ρ@-R0+R@tDD, Γ^¢@tD -2Ω + 1

U@tDCos@Γ@tDD g@R@tDD- Ω²R@tD-U@tD² R@tD - B U@tDΡ@-R0+R@tDDcontrol@tS1, AW1D@tS2, AW2D@tD, R^¢@tD -Sin@Γ@tDDU@tD, j^¢@tD Cos@Γ@tDDU@tD

R@tD ,

U@0DU0, Γ@0D Γ0, R@0Dh0+R0, j@0D j0>

Initialisierung von Farben, Strichstärken, Print- und Plotbefehlen:

(Für Details zu diesen Initialisierungen bitte bei Bedarf die rechtsstehende Zellklammer anklicken!)

In[25]:=

Pen=Thickness@0.008`D;

PrintEarthData :=

9Print@"--- Benötigte Daten der Erde ---"D, Print@"Erdradius: R0 = ", R0, " @mD"D,

Print@"Erdbeschleunigung: g0 = ", g0,

" @m\!\H\*SuperscriptBox@\Hs\L, \H2\LD\LD"D,

Print@"Winkelgeschwindigkeit am Äquator: Ω0 = ", Ω0, " @1sD"D, Print@

"---"D=

PrintInitialValueApolloData :=

8Print@"---- Anfangswerte der Apollo-Mission ", Mn,

" zur Zeit t=0 ---"D,

Print@"Fluggeschwindigkeit: U0 = ", U0, " @msD"D, Print@"Bahnwinkel: Γ0 = ", Γ0, " @GradD"D,

,

2 ApolloMission.nb

(3)

In[25]:=

Print@"Höhe: h0 = ", h0, " @mD"D,

Print@"Orbitale Länge: j0 = ", j0, " @GradD"D,

Print@"Geographische Breite: ÆA = ", ÆA, " @GradD"D, Print@"Geographische Länge: ΘA = ", ΘA, " @GradD"D, Print@"Azimutwinkel: ΣA = ", ΣA, " @GradD"D,

Print@

"---"D<

PrintFixedValueApolloData :=

9Print@"--- Fixdaten der Apollo-Kapsel---"D, Print@"Krümmungsradius im Staupunkt: Rk = ", Rk, " @mD"D,

PrintA"Wärmeübergangskoeffizient: c = ", c, "@kgm²D"E, Print@"Widerstandsbeiwert: cw = ", cw" @-D"D,

PrintA"Fäche der Raumkapsel: F = ", F, " @m²D"E, Print@"Masse der Raumkapsel: m = ", m, " @kgD"D, PrintA"Ballistischer Faktor: B = ", B, " @m²kgD"E, Print@

"---"D=

PrintControlApolloData :=

8Print@"--- Kontrolldaten der Apollo-Mission ", Mn,

"---"D, Print@"Steuerzeit1: tS1 = ", tS1, " @sD"D, Print@"Steuerzeit2: tS2 = ", tS2, " @sD"D,

Print@"AuftriebWiderstand bis tS1: AW1 = ", AW1, " @-D"D, Print@"AuftriebWiderstand nach tS2: AW2 = ", AW2, " @-D"D, Print@"Geschätzte Flugzeit bis zur Landung: tEnd = ",

tEnd, " @sD"D,

Print@"---"D<

DensityPLOT :=Plot@Evaluate@Ρ@hDD, 8h, 0, 120 000<, PlotRange®Automatic, Frame®True,

FrameLabel®

8"h @mD", "Ρ @kg\!\H\*SuperscriptBox@\Hm\L, \H3\LD\LD"<, PlotLabel®"Höhe-Dichte-Diagrammm", GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Red<, PlotPoints®500D

SpeedOfSoundPlot :=Plot@Evaluate@a@hDD, 8h, 0, 120 000<, PlotRange®Automatic, Frame®True,

FrameLabel®8"h @mD", "a @msD"<,

PlotLabel®"Höhe-Schallgeschwindigkeit-Diagramm",

GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Blue<, PlotPoints®500D DecelerationPlot :=

PlotB- 1

g0 IIg@R@tDD-R@tDΩ²MSin@Γ@tDD-BΡ@R@tD-R0DU@tD²M .

SolutionApolloMission, 8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True, FrameLabel®8"t @sD", "bg0"<,

PlotLabel®"Zeit-Verzögerung-Diagramm", GridLines®Automatic,

, F

ApolloMission.nb 3

(4)

In[25]:=

PlotStyle®8Pen, Red<, PlotPoints®500F HeightPlot :=PlotBh@R@tDD

h0 . SolutionApolloMission, 8t, 0, tE<, PlotRange®80, 1<, Frame®True, FrameLabel®8"t @sD", "hh0"<, PlotLabel®"Zeit-Höhen-Diagramm", GridLines®Automatic,

PlotStyle®8Pen, Blue<, PlotPoints®500F VelocityPlot :=PlotBU@tD

U0 . SolutionApolloMission, 8t, 0, tE<,

PlotRange®80, 1.1`<, Frame®True, FrameLabel®8"t @sD", "UU0"<, PlotLabel®"Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm",

GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Blue<, PlotPoints®500F GammaPlot :=Plot@Γ@tDGradmass. SolutionApolloMission,

8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True, FrameLabel®8"t @sD", "Γ @GradD"<,

PlotLabel®"Zeit-Bahnwinkel-Diagramm", GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Red<, PlotPoints®500D

MachPlot :=PlotB U@tD

a@h@R@tDDD . SolutionApolloMission, 8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True, FrameLabel®8"t @sD", "Ma"<, PlotLabel®"Zeit-Machzahl-Diagramm", GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Blue<, PlotPoints®500F

HeatPlot :=Plot@qS@Ρ@h@R@tDDD, U@tDD . SolutionApolloMission, 8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True,

FrameLabel® 8"t@sD",

"\!\H\*SubscriptBox@\Hq\L, \HS\LD\L

@W\!\H\*SuperscriptBox@\Hm\L, \H2\LD\LD"<, PlotLabel®"Zeit-Wärmestromdichte-Diagramm",

GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Red<, PlotPoints®500D PhiPlot :=Plot@Æ@j@tDDGradmass. SolutionApolloMission,

8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True, FrameLabel®8"t @sD", "Æ @GradD"<,

PlotLabel®"Zeit-Breitengrad-Diagramm", GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Blue<, PlotPoints®500D

ThetaPlot :=Plot@Θ@j@tD, Æ@j@tDDDGradmass. SolutionApolloMission, 8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True,

FrameLabel®8"t @sD", "Θ @GradD"<,

PlotLabel®"Zeit-Längengrad-Diagramm", GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Red<, PlotPoints®500D

OrbitPlot :=Plot@j@tDGradmass. SolutionApolloMission, 8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True,

FrameLabel®8"t @sD", "j @GradD"<,

PlotLabel®"Zeit-Orbitlänge-Diagramm", GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Red<, PlotPoints®500D

SigmaPlot :=Plot@Σ@Æ@j@tDDDGradmass. SolutionApolloMission, 8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True,

FrameLabel®8"t @sD", "Σ @GradD"<,

, ,

(5)

In[25]:=

PlotLabel®"Zeit-Azimutwinkel-Diagramm", GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Blue<, PlotPoints®500D

ShowSideBySide@plot1_, plot2_D:=

Show@GraphicsRow@8plot1, plot2<, ImageSize®500, Spacings®Scaled@0DDD

Einlesen der Tripel (h, ·/·₀, a) aus der Datei “Atmosphere.dat”

(Höhe in km, Dichteverhältnis Atmosphärendichte/Dichte an der Erdoberfläche und Schallgeschwindigkeit in m/s.

Die Randdaten sind unerheblich und auf Null gesetzt.)

Der absolute Pfad ist hier zu setzen, in dem Sie die Daten gespeichert haben, wenn Sie das Notebook und das zugehörige Daten-File verwenden wollen!

(Hier ist dieser Pfad “C:/Apollo”)

In[43]:=

Get@"Atmosphere.dat", Path®"C:Apollo"D;

MatrixForm@AtmosphereDataD

Out[44]//MatrixForm=

-10 1.7 0

0 1. 340

10 0.3396 299 20 0.07298 295 30 0.01481 304 40 0.003335 317 50 0.00085 329 60 0.0002563 313 70 0.00006715 295 80 0.00001489 273 90 2.495´10^-6 273 100 4.136´10^-7 293 110 8.31´10^-8 325 120 2.041´10^-8 390 130 1.´10^-9 0 140 1.´10^-10 0

Exponentielle bzw. lineare Interpolation von · bzw. a aufgrund der Atmosphärendaten:

(6)

In[45]:=

Ρ₀=1.225;

LogDensityData =

Table@81000*AtmosphereData@@i, 1DD, Log@Ρ₀*AtmosphereData@@i, 2DDD<, 8i, 1, Length@AtmosphereDataD<D;

SoundVelocityData =

Table@81000*AtmosphereData@@i, 1DD, AtmosphereData@@i, 3DD<, 8i, 2, Length@AtmosphereDataD-2<D;

logΡ = Interpolation@LogDensityData, InterpolationOrder ® 1D;

SpeedOfSound = Interpolation@SoundVelocityDataD;

Ρ@h_D:=Exp@logΡ@hDD;

a@h_D:= SpeedOfSound@hD;

Plots von · und a über der Höhe h:

In[52]:=

DensityPLOT

Out[52]=

0 20 000 40 000 60 000 80 000 100 000 120 000 0.00

0.05 0.10 0.15

h @mD Ρ@kgm3D

Höhe - Dichte - Diagrammm

(7)

In[53]:=

SpeedOfSoundPlot

Out[53]=

0 20 000 40 000 60 000 80 000 100 000 120 000 280

300 320 340 360 380

h @mD

a@msD

Höhe-Schallgeschwindigkeit-Diagramm

Festlegung der physikalischen Daten sowie der konkreten Daten der Apollo-Missionen

(und mögliche Simulationen mit hier veränderten Daten)

(8)

In[54]:=

ReadEarthData := : R0=6.371* 10⁶ , g0=9.81 , Ω0= 7.272 10⁵ >;

ReadFixedValueApolloData := : Rk=4.701 , c= 22.55

10⁵ , cw =1.2437 , F=12.06 , m=5600 , B= cwF

2 m , hE = 7000>;

ReadInitialValueApolloData@EarthD :=

9U0=8300 , Γ0=3.8 , h0=120* 10³, j0=0 , ÆA= -5 , ΣA=57 , ΘA=136 , Mn = "<Earth>"=;

ReadInitialValueApolloData@MoonD :=

9U0=11 000 , Γ0=5.85 , h0=120* 10³, j0=0 , ÆA=0 , ΣA=90 , ΘA=0 , Mn = "<Moon>"=;

ReadControlApolloData@EarthD :=

8tS1=110 , tS2=130 , AW1 = -0.3206 , AW2 = -AW1, tEnd= 950, Mn = "<Earth>"<;

ReadControlApolloData@MoonD :=

8tS1=85 , tS2=110 , AW1 = -0.3206 , AW2 = +0.0894 , tEnd= 500, Mn = "<Moon>"<;

Lesen und Ausdrucken der Fixdaten nach Gruppen geordnet :

In[60]:=

ReadEarthData;

PrintEarthData;

--- Benötigte Daten der Erde --- Erdradius: R0 = 6.371´10⁶ @mD

Erdbeschleunigung: g0 = 9.81 @ms²D

Winkelgeschwindigkeit am Äquator: Ω0 = 0.00007272 @1sD ---

(9)

In[62]:=

ReadFixedValueApolloData;

PrintFixedValueApolloData;

--- Fixdaten der Apollo-Kapsel--- Krümmungsradius im Staupunkt: Rk = 4.701 @mD

Wärmeübergangskoeffizient: c = 0.0002255@kgm²D Widerstandsbeiwert: cw = 1.2437 @-D

Fäche der Raumkapsel: F = 12.06 @m²D Masse der Raumkapsel: m = 5600 @kgD

Ballistischer Faktor: B = 0.0013392 @m²kgD

--- Lesen und Ausdrucken der von der Mission abhängigen Daten :

In[64]:=

Mission = Earth;

In[65]:=

ReadInitialValueApolloData@MissionD;

PrintInitialValueApolloData;

---- Anfangswerte der Apollo-Mission <Earth> zur Zeit t=0 --- Fluggeschwindigkeit: U0 = 8300 @msD

Bahnwinkel: Γ0 = 3.8 @GradD Höhe: h0 = 120 000 @mD

Orbitale Länge: j0 = 0 @GradD

Geographische Breite: ÆA = -5 @GradD Geographische Länge: ΘA = 136 @GradD Azimutwinkel: ΣA = 57 @GradD

---

In[67]:=

ReadControlApolloData@MissionD;

PrintControlApolloData ;

--- Kontrolldaten der Apollo-Mission <Earth>--- Steuerzeit1: tS1 = 110 @sD

Steuerzeit2: tS2 = 130 @sD

AuftriebWiderstand bis tS1: AW1 = -0.3206 @-D AuftriebWiderstand nach tS2: AW2 = 0.3206 @-D Geschätzte Flugzeit bis zur Landung: tEnd = 950 @sD ---

(10)

Umrechnungen auf Bogenmaß und Berechnung der Winkelgeschwindigkeit der Erde am "Ort" (ÆA,ΣA):

In[69]:=

Rad= Π 180 ; Gradmass= 1

Rad ; Γ0 = Γ0* Rad ; ÆA = ÆA *Rad ; ΣA = ΣA* Rad ; ΘA = ΘA* Rad ;

Ω = Ω0 Cos@ÆADSin@ΣAD;

Eingabe der zugrundeliegenden funktionalen Gleichungen:

In[76]:=

g@R_D:=g0 R0 R

2

h@R_D := R - R0

control@tS1_, AW1_D@tS2_, AW2_D@t_D:= WhichBt<tS1, AW1, tS1£t<tS2, HAW2-AW1L

tS2-tS1 Ht-tS1L+AW1, tS2£t, AW2F

Æ@Ψ_D:=ArcSin@Sin@ÆADCos@ΨD+Cos@ÆADCos@ΣADSin@ΨDD Σ@Æ_D:=ArcSinBSin@ΣADCos@ÆAD

Cos@ÆD F Θ@Ψ_,Φ_D:=ArcSinBSin@ΣADSin@ΨD

Cos@ΦD F+ ΘA qS@Ρ_, U_D:= c Ρ U³

Rk

Nochmaliger Aufruf der Apollo-Mission nun mit konkreten Daten:

(11)

In[83]:=

VelocityODE=

¶_tU@tD==Ig@R@tDD-R@tDΩ²MSin@Γ@tDD-BΡ@R@tD-R0D* U@tD²; AngelODE=

¶_tΓ@tD== 1

U@tD g@R@tDD-R@tDΩ²- U@tD²

R@tD Cos@Γ@tDD-2Ω - control@tS1, AW1D@tS2, AW2D@tD* B* Ρ@R@tD-R0D*U@tD;

HeightODE= ¶_tR@tD== -U@tDSin@Γ@tDD;

OrbitODE= ¶_tj@tD== U@tDCos@Γ@tDD

R@tD ;

ApolloMission=8VelocityODE, AngelODE, HeightODE, OrbitODE, U@0D==U0, Γ@0D== Γ0, R@0D==R0+h0, j@0D== j0<

Out[87]=

:U^¢@tD 3.98184´10¹⁴

R@tD² -3.6913´10^-9R@tD Sin@Γ@tDD-

0.0013392ãInterpolatingFunction@88-10 000.,140 000.<<,<>DA-6.371´106+R@tDEU@tD², Γ^¢@tD -0.000121512+ 1

U@tD Cos@Γ@tDD 3.98184´10¹⁴

R@tD² -3.6913´10^-9R@tD-U@tD² R@tD - 0.0013392ãInterpolatingFunction@88-10 000.,140 000.<<,<>DA-6.371´106+R@tDE

U@tDWhichBt<110, -0.3206, 110£t<130, H0.3206- -0.3206L Ht-110L

130-110 -0.3206, 130£t, 0.3206F, R^¢@tD -Sin@Γ@tDDU@tD, j^¢@tD Cos@Γ@tDDU@tD

R@tD ,

U@0D8300, Γ@0D0.0663225,

R@0D6.491´10⁶, j@0D0>

Lösung des Anfangswertproblems für die Apollo-Rückkehr zur Erde bis zur Zeit tE [s] :

(12)

In[88]:=

TimeCorrections = 0;

tEnd = tEnd + TimeCorrections;

SolutionApolloMission =

NDSolve@ApolloMission, 8U@tD, Γ@tD, R@tD, j@tD<, 8t, 0, tEnd<D

Out[90]=

88U@tD®InterpolatingFunction@880., 950.<<, <>D@tD, Γ@tD®InterpolatingFunction@880., 950.<<, <>D@tD, R@tD®InterpolatingFunction@880., 950.<<, <>D@tD, j@tD®InterpolatingFunction@880., 950.<<, <>D@tD<<

In[91]:=

tE=FindRoot@SolutionApolloMissionP1, 3, 2T==R0+hE, 8t, tEnd<DP 1, 2T;

Print@"Tatsächliche Flugzeit bis zur Höhe ", hE, " @mD: ", tE, " @sD"D

Print@

"Fluggeschwindigkeit bei dieser Höhe Hhier dann

Fallschirm-Einsatz zum weiteren Abbau der Geschwindigkeit: ", 3.6 SolutionApolloMissionP1, 1, 2T .8t®tE<, " @kmhD"D

Tatsächliche Flugzeit bis zur Höhe 7000 @mD: 834.466 @sD

Fluggeschwindigkeit bei dieser Höhe Hhier dann Fallschirm-Einsatz zum weiteren Abbau der Geschwindigkeit: 407.596 @kmhD

Nun Plots der einzelnen Größen:

In[94]:=

Vplot = VelocityPlot

Out[94]=

0 200 400 600 800

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t @sD

UU0

Zeit - Geschwindigkeits - Diagramm

(13)

In[95]:=

Dplot = DecelerationPlot

Out[95]=

0 200 400 600 800

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

t @sD

bg0

Zeit-Verzögerung-Diagramm

In[96]:=

HEplot = HeightPlot

Out[96]=

0 200 400 600 800

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t @sD

hh0

Zeit - Höhen - Diagramm

(14)

In[97]:=

Gplot = GammaPlot

Out[97]=

0 200 400 600 800

0 5 10 15 20 25

t @sD

Γ@GradD

Zeit-Bahnwinkel-Diagramm

In[98]:=

Mplot = MachPlot

Out[98]=

0 200 400 600 800

0 5 10 15 20 25 30

t @sD

Ma

Zeit - Machzahl - Diagramm

(15)

In[99]:=

Hplot = HeatPlot

Out[99]=

0 200 400 600 800

0 200 000 400 000 600 000 800 000

t@sD qS@Wm2D

Zeit-Wärmestromdichte-Diagramm

In[100]:=

Pplot = PhiPlot

Out[100]=

0 200 400 600 800

-5 0 5 10

t @sD

Æ@GradD

Zeit-Breitengrad-Diagramm

(16)

In[101]:=

Tplot = ThetaPlot

Out[101]=

0 200 400 600 800

140 145 150 155 160 165

t @sD

Θ@GradD

Zeit-Längengrad-Diagramm

In[102]:=

Oplot = OrbitPlot

Out[102]=

0 200 400 600 800

0 5 10 15 20 25 30 35

t @sD

j@GradD

Zeit - Orbitlänge - Diagramm

(17)

In[103]:=

Splot = SigmaPlot

Out[103]=

0 200 400 600 800

57.0 57.5 58.0 58.5 59.0

t @sD

Σ@GradD

Zeit-Azimutwinkel-Diagramm

Anhang

Auflistung der Mathematica - Befehle H in Standardform !L der Initialisierungszelle

Pen=Thickness@0.008D;

PrintEarthData :=:Print@--- Benötigte Daten der Erde ---D,

Print@Erdradius: R0 = , R0, @mDD, PrintBErdbeschleunigung: g0 = , g0, "\" @ms2D\""F, Print@Winkelgeschwindigkeit am Äquator: Ω0 = ,Ω0, @1sDD,

Print@---D>

PrintInitialValueApolloData :=8Print@---- Anfangswerte der Apollo-Mission , Mn, zur Zeit t=0 ---D, Print@Fluggeschwindigkeit: U0 = , U0, @msDD, Print@Bahnwinkel: Γ0 = ,Γ0, @GradDD,

Print@Höhe: h0= , h0, @mDD, Print@Orbitale Länge: j0 = ,j0, @GradDD,

Print@Geographische Breite: ÆA = ,ÆA, @GradDD, Print@Geographische Länge: ΘA = ,ΘA, @GradDD,

Print@Azimutwinkel: ΣA = ,ΣA, @GradDD, Print@---D<

PrintFixedValueApolloData :=:Print@--- Fixdaten der Apollo-Kapsel---D, PrintA"\"Krümmungsradius im Staupunkt: Rk = \"", Rk, @mDE,

PrintBWärmeübergangskoeffizient: c = , c, "\" @?? kgm2D\""F,

Print@"\"Widerstandsbeiwert: cw = \"", cw @-DD, PrintBFäche der Raumkapsel: F = , F, "\" @m2D\""F, Print@Masse der Raumkapsel: m = , m, @kgDD, PrintBBallistischer Faktor: B = , B, "\" @m2kgD\""F, Print@---D>

PrintControlApolloData :=

8Print@--- Kontrolldaten der Apollo-Mission , Mn,---D, Print@Steuerzeit1: tS1 = , tS1, @sDD, Print@Steuerzeit2: tS2 = , tS2, @sDD, Print@AuftriebWiderstand bis tS1: AW1 = , AW1, @-DD,

Print@AuftriebWiderstand nach tS2: AW2 = , AW2, @-DD,

Print@Geschätzte Flugzeit bis zur Landung: tEnd = , tEnd, @sDD, Print@---D<

DensityPLOT :=PlotBEvaluate@Ρ@hDD,8h, 0, 120 000<, PlotRange®Automatic,

, , ,

(18)

Frame®True, FrameLabel®:h @mD, "\"Ρ @kgm3D\"">, PlotLabel®Höhe-Dichte-Diagrammm, GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Red<, PlotPoints®500F;

SpeedOfSoundPlot :=Plot@Evaluate@a@hDD,8h, 0, 120 000<, PlotRange®Automatic,

Frame®True, FrameLabel®8h @mD,a @msD<, PlotLabel®Höhe-Schallgeschwindigkeit-Diagramm, GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Blue<, PlotPoints®500D;

DecelerationPlot :=PlotB-

Jg@R@tDD-R@tDΩ2NSin@Γ@tDD-BΡ@R@tD-R0DU@tD2

g0 .SolutionApolloMission,

8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True, FrameLabel®8t @sD, bg0<,

PlotLabel®Zeit-Verzögerung-Diagramm, GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Red<, PlotPoints®500F; HeightPlot :=

PlotBh@R@tDD h0

.SolutionApolloMission,8t, 0, tE<, PlotRange®80, 1<, Frame®True, FrameLabel®8t @sD, hh0<, PlotLabel®Zeit-Höhen-Diagramm, GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Blue<, PlotPoints®500F;

VelocityPlot :=

PlotBU@tD U0

.SolutionApolloMission,8t, 0, tE<, PlotRange®80, 1.1<, Frame®True, FrameLabel®8t @sD, UU0<, PlotLabel®Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm, GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Blue<, PlotPoints®500F;

GammaPlot :=Plot@Γ@tDGrad.SolutionApolloMission,

8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True, FrameLabel®8t @sD,Γ @GradD<,

PlotLabel®Zeit-Bahnwinkel-Diagramm, GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Red<, PlotPoints®500D;

MachPlot :=PlotB U@tD

a@h@R@tDDD.SolutionApolloMission,8t, 0, tE<,

PlotRange®Automatic, Frame®True, FrameLabel®8t @sD, Ma<, PlotLabel®Zeit-Machzahl-Diagramm, GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Blue<, PlotPoints®500F;

HeatPlot :=PlotBqS@Ρ@h@R@tDDD, U@tDD .SolutionApolloMission,

8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True, FrameLabel®:t@sD, "\"qS @Wm2D\"">,

PlotLabel®Zeit-Wärmestromdichte-Diagramm, GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Red<, PlotPoints®500F;

PhiPlot :=Plot@Æ@j@tDDGrad.SolutionApolloMission,8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True, FrameLabel®8t @sD,Æ @GradD<, PlotLabel®Zeit-Breitengrad-Diagramm, GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Blue<, PlotPoints®500D;

ThetaPlot :=Plot@Θ@j@tD,Æ@j@tDDDGrad.SolutionApolloMission,

8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True, FrameLabel®8t @sD,Θ @GradD<,

PlotLabel®Zeit-Längengradgrad-Diagramm, GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Red<, PlotPoints®500D;

OrbitPlot :=Plot@j@tDGrad.SolutionApolloMission,

8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True, FrameLabel®8t @sD,j @GradD<,

PlotLabel®Zeit-Orbitlänge-Diagramm, GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Red<, PlotPoints®500D;

SigmaPlot :=Plot@Σ@Æ@j@tDDDGrad.SolutionApolloMission,

8t, 0, tE<, PlotRange®Automatic, Frame®True, FrameLabel®8t @sD,Σ @GradD<,

PlotLabel®Zeit-Azimutwinkel-Diagramm, GridLines®Automatic, PlotStyle®8Pen, Blue<, PlotPoints®500D;

ShowSideBySide@plot1_, plot2_D:=Show@GraphicsArray@8plot1, plot2<, ImageSize®500, GraphicsSpacing®0DD;

Literatur:

[1] Taufer, M.,Karac, T.: Erstellung eines Simulationsprogramms für Wiedereintrittsbahnen von Rettungskapseln in Fortran 77, Labor für Simulationstechnik und FEM, Prof. Dr.-Ing. R. Meisinger,

Georg-Simon-Ohm-Fachhochschule Nürnberg 2001.

[2] Meisinger, R., Karaca, T., Taufer, M.: Simulation der Wiedereintrittsbahn der ISS-Rettungskapsel, Schriftenreihe der Georg-Simon-Ohm-Fachhochschule Nürnberg, Nr. 12, 2002.

[3] Gazley, C., Atmospheric Entry of Manned Vehicles, RAND Corp., 1960

[4] http://history.nasa.gov/afj/ : Ein Link auf eine Seite mit einer Fülle an weiteren Referenzen auf Dokumente rund um die Apollo-Missionen

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Literatur:

[1] Taufer, M.,Karac, T.: Erstellung eines Simulationsprogramms für Wiedereintrittsbahnen von Rettungskapseln in Fortran 77, Labor für Simulationstechnik und FEM, Prof. Dr.-Ing. R. Meisinger,

Georg-Simon-Ohm-Fachhochschule Nürnberg 2001.

[2] Meisinger, R., Karaca, T., Taufer, M.: Simulation der Wiedereintrittsbahn der ISS-Rettungskapsel, Schriftenreihe der Georg-Simon-Ohm-Fachhochschule Nürnberg, Nr. 12, 2002.

[3] Gazley, C., Atmospheric Entry of Manned Vehicles, RAND Corp., 1960

[4] http://history.nasa.gov/afj/ : Ein Link auf eine Seite mit einer Fülle an weiteren Referenzen auf Dokumente rund um die Apollo-Missionen