Reihenentwicklungen zur Berechnung des Wiener Bogens der O ¨ BB

(1)

Reihenentwicklungen zur Berechnung des Wiener Bogens der O ¨ BB

Peter Schuhr, Frankfurt am Main

Kurzfassung

Die O¨ sterreichischen Bundesbahnen (O¨BB) verwenden den sogenannten Wiener Bogen. Dieser U¨bergangsbogen basiert auf einem Polynom 7. Ordnung fu¨r die Kru¨mmung der Schwerpunktbahn des Fahrzeugs sowie auf der sich aus der Rotation dieses Fahrzeugs ergebenden Abweichung des Gleisverlaufs von der Schwerpunktbahn. In diesem Beitrag werden Reihenentwicklungen hergeleitet, die eine exakte und effiziente Berechnung des Wiener Bogens ermo¨glichen.

Abstract

The Austrian Federal Railways (O¨ BB) use the so-called Vienna Arc. This transition curve is based upon a polynomial of 7^thdegree for the curvature of the vehicle’s centre-of-mass trajectory as well as its offset to the railtrack which results from the rotation of this vehicle. In the article series expansions for an exact and efficient calculation of the Vienna arc are developed.

1. Kru¨mmungsbilder verschiedener U¨ bergangsbogen

Zur Berechnung eines U¨ bergangsbogens (Abb.

1), d. h. zur Ermittlung vont; yundxausRA; RE; l undL, wird die Kru¨mmungslinie (Abb. 2) k¼KAþ ðKEKAÞ F ð1Þ beno¨tigt. Sie definiert bei den konventionellen U¨ bergangsbogen regelma¨ßig unmittelbar die Lage des Gleises, kann sich jedoch alternativ

auf die Schwerpunktbahn beziehen (z. B. RUCH 1903).

U¨ bergangsbogen zwischen einer Geraden und einem Kreisbogen bzw. einem Kreisbogen und einer Geraden sind als Sonderfa¨lle mit KA¼0 bzw. KE¼0 in (1) enthalten. Daru¨ber hinaus sind die Kru¨mmungen von Rechtsbogen positiv und von Linksbogen negativ anzusetzen.

In diesem Fall gilt (1) auch fu¨r Gegenbogen.

UA¨ ¼Anfangspunkt des Übergangsbogens UE¨ ¼Endpunkt des Übergangsbogens RA ¼Radius in ÜA

RE ¼Radius in ¨UE

L ¼Gesamtl änge zwischen ÜA und ÜE Z ¼Zwischenpunkt

l ¼Teill ¨ange zwischen ¨UA und Z

t ¼Richtungswinkel zwischen den Tangenten in ÜA und Z y; x¼auf ÜA und Tangente in ÜA bezogene kartesische

Koordinaten von Z

Abb. 1:U¨ bergangsbogen

(2)

KA¼ 1 RA

¼Kr ¨ummung in ¨UA KE¼ 1

RE

¼Kr ümmung in ÜE k ¼Kr ümmung in Z

Abb. 2:Kru¨mmungslinie zwischen zwei Kreisen Die Interpolationsfunktion F in (1) kann mit Polynomansa¨tzen ungerader Ordnung angesetzt werden. Das Polynom 1. Ordnung

F¼ l

L ð2Þ

definiert die geradlinige Kru¨mmungslinie der Klothoide. Das Polynom 3. Ordnung

F¼ 2 l L

3

þ3 l L

2

ð3Þ

liegt dem U¨ bergangsbogen von BLOSS 1936 zugrunde. Seine Form weicht nur wenig vom U¨ bergangsbogen mit cosinusfo¨rmiger Kru¨m- mungslinie (VOJACEK 1868) ab. Das Polynom 5. Ordnung

F¼6 l L

5

15 l L

4

þ10 l L

3

ð4Þ

(WATOREK 1907 und LANGE 1937) hat starke A¨ hnlichkeit mit der sinusfo¨rmig modulierten Kru¨mmungslinie (KLEIN 1937). Das Polynom 7.

Ordnung F¼ 20 l

L

7

þ70 l L

6

84 l L

5

þ35 l L

4

(5) definiert die Schwerpunktbahn des Wiener Bogens (PRESLE 2006, Seite 12). Die Reihe kann mit Polynomen 9. Ordnung

F¼70 l L

9

315 l L

8

þ540 l L

7

420 l L

6

þ126 l L

5

(6)

usw. jeweils so erga¨nzt werden, dass fu¨r Poly- nome n. Ordnung dieⁿ¹₂

. Ableitung die letzte stetige ist und alle vorherigen sogar stetig differenzierbar sind.

Polynome gerader Ordnung sind dagegen nicht geeignet, die Kru¨mmungslinie mit einer einzigen Funktion zu beschreiben. Die Kru¨m- mungslinie des U¨ bergangsbogens nach HEL- MERT 1872, der fru¨her mit der biquadratischen Parabel angena¨hert wurde, benutzt jedoch zwei quadratische Parabeln, die an den Enden U¨ A und U¨ E (Abb. 2) beginnen und sich in der Mitte treffen.

2. Wiener Bogen 2.1 U¨ berho¨hungsrampe

Die Vera¨nderung der U¨ berho¨hung beginnt bei U¨A und endet bei U¨ E (Abb. 1). Aus den Anfangs- und Endu¨berho¨hungenuAunduEerrechnen sich die dazugeho¨rigen Querneigungen (Abb. 3)

a

A¼arcsinuA

s uA

s ð7Þ

und

a

E¼arcsinuE

s uE

s ; ð8Þ

die das gleiche Vorzeichen erhalten wie die jeweiligen Kru¨mmungen.

(3)

S ¼Schwerpunkt RS¼Rechte Schiene LS¼Linke Schiene

G ¼Gleis (im Regelfall = Mitte zwischen RS und LS)

a

¼Querneigung

kS ¼(Horizontal-)Kr ¨ummung in S vT ¼Trassierungs-Geschwindigkeit

¼Fahrgeschwindigkeit ohne Lateralbeschleunigung g ¼Erdbeschleunigung

s ¼Schienenabstand zwischen RS und LS

¼1:500 f ür Regelspurbahnen der Spurweite 1.435 h ¼Schwerpunkth öhe über dem (quergeneigten) Gleis

¼Abstand von G nach S u ¼Uberh ¨ohung¨

Abb. 3:Schwerpunkt und quergeneigtes Gleis Die Querneigungen bzw. die zugrunde liegen- den U¨ berho¨hungen sind stets so auszuwa¨hlen, dass die Bedingung

KA

a

E¼KE

a

A; ð9Þ

die fu¨r U¨ bergangsbogen zwischen Kreisen auch durch

KA

KE

¼

a

A

a

E

ð10Þ

ausgedru¨ckt werden kann, eingehalten wird.

Die U¨ berho¨hung, genauer die Querneigung, beeinflusst den Grundriss. Sie muss deshalb vor der Berechnung des Grundrisses bekannt sein.

Jede nachtra¨gliche Vera¨nderung erfordert eine Neuberechnung des Grundrisses.

Die U¨ berho¨hung errechnet sich innerhalb des U¨ bergangsbogens in Analogie zu (1) u¨ber die Querneigung

a

¼

a

Aþ ð

a

E

a

AÞ F ð11Þ mitF nach (5) zu

u¼ssin

a

s

a

: ð12Þ

2.2 Gesamtansatz

Beim Wiener Bogen definiert die Kru¨mmungslinie (vgl. (1))

kS¼KAþ ðKEKAÞ F ð13Þ

mitFnach (5) die Schwerpunktbahn im Grundriss.

Dem außerhalb der Geraden vom Schwer- punkt abweichenden Gleis (Abb. 3) liegt der (Gesamt-)Ansatz (HASSLINGER 2005, Gleichung (3) auf Seite 229)

v²_T kGþhd²

a

dl²

g

a

¼0; ð14Þ

mit kG¼ Kru¨mmung des Gleises, zugrunde.

Daraus folgt kG¼

a

g

v²_Thd²

a

dl² ¼kShd²

a

dl² ¼

¼kSh

a

⁰⁰

ð15Þ

mitkS¼ Kru¨mmung der Schwerpunktbahn bzw.

mit (11) und (13)

kG¼KAþ ðKEKAÞ Fh ð

a

E

a

AÞ d²F dl² ¼

¼KAþKFh

a

F⁰⁰: (16) Die aus der Rotation um den Schwerpunkt resultierende Gleislage im Grundriss weicht um hsin

a

^h

a

(Abb. 3) von der origina¨ren Schwerpunktbahn ab. Der Verschiebungsbetrag la¨sst sich wegen der ohnehin erforderlichen Berechnung kartesischer Koordinaten u¨ber eine zweifache Integration der Kru¨mmung (vgl. 2.3 und 2.4) indirekt u¨ber die in (14) bis (16) enthaltene

(4)

Kru¨mmungskorrektur (Verschiebung nach au- ßen!)

k¼ hd²

a

dl² ð17Þ

berechnen.

2.3 Richtungswinkel Mit den Ableitungen von (5) dF

dlL¼F⁰L¼ 140 l L

6

þ420 l L

5

420 l L

4

þ140 l L

3

(18)

und d²F

dl² L²¼F⁰⁰L²¼ 840 l L

5

þ2100 l L

4

1680 l L

3

þ420 l L

2

(19)

folgt u¨ber

t¼ Z^l

0

kGdl ð20Þ

mitkG nach (16) der Richtungswinkel zu

t¼KAlþKL 2:5 l L

8

þ

þ10 l L

7

14 l L

6

þ7 l L

5! þ

þh

a

L 140 l L

6

420 l L

5

þ

þ420 l L

4

140 l L

3!

: (21)

Aus (21) ergibt sich

t¼a1l¹þa2l²þa3l³þa4l⁴þ

þa5l⁵þa6l⁶þa7l⁷þa8l⁸ (22)

mit

a1¼KA; a2¼0;

a3¼ 140h

a

L⁴ ; a4¼420h

a

L⁵ ; a5¼7K

L⁴ 420h

a

L⁶ ; a6¼140h

a

L⁷ 14K L⁵ ; a7¼10K

L⁶ und a8¼ 2:5K

L⁷ : (23)

2.4 Kartesische Koordinaten

Mit den Richtungswinkeln t nach (22) und (23) lassen sich die Zwischenwerte

sint¼ X

m¼1;3;5:::

ð1Þ^ðm1Þ=2 m!

X^8m

n¼m

am;nlⁿ !

ð24Þ

und

cost¼1þ X

m¼2;4;6:::

ð1Þ^m=2 m!

X^8m

n¼m

am;nlⁿ !

ð25Þ

mit

a1;n¼an f ¨ur n¼1;2;3. . .8 am;n¼^nmþ1P

i¼1

am1;niai

f ¨ur m2 und n¼m; mþ1. . .mþ6

¼P⁸

i¼1

am1;niai

f ¨ur m2 und n¼mþ7. . .8m7

¼ P⁸

i¼n8mþ8

am1;niai

f ¨ur m2 und n¼8m6;8m5. . .8m (26) ermitteln. Die gesuchten Reihenentwicklungen zur Berechnung der Koordinaten ergeben sich daraus zu

y¼R^l

0

sintdl¼

¼ P

m¼1;3;5:::

ð1Þ^ðm1Þ=2 m!

P

8m n¼m

am;n^l_nþ1^nþ1

(27) und

(5)

x¼R^l

0

costdl¼

¼lþ P

m¼2;4;6:::

ð1Þ^m=2 m!

P

8m n¼m

am;n_nþ1^l^nþ1

: (28)

3. Ausblick

In dieser Abhandlung werden Reihenentwick- lungen hergeleitet, die als gu¨nstige Alternative zu numerischen Integrationsverfahren (z. B.

SCHUHR 1986) bzw. geeigneten Anfangswert- problemen (z. B. JORDAN–ENGELN und REUT- TER 1982) zur Berechnung des Wiener Bogens geeignet sind.

Literaturverzeichnis

[1]BLOSS, A. E.:Der U¨ bergangsbogen mit geschwun- gener U¨ berho¨hungsrampe. Organ fu¨r die Fortschritte des Eisenbahnwesens, Neue Folge 73 (1936) 15,319...320.

[2]BRONSTEIN, I. N. und SEMENDJAJEW, K. A.:

Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch Verlag, Zu¨rich und Frankfurt(M), 6. Auflage (1966).

[3]HASSLINGER, H. L.: Das Konzept moderner Gleis- linienfu¨hrung. Special Eisenbahntechnische Rund- schau Austria (2005) 1,227...233.

[4]HELMERT, F. R.:Die Uebergangscurven fu¨r Eisenbahn- Geleise. Mayer Verlag, Aachen, 1872.

[5]JORDAN–ENGELN, G. und REUTTER, F.:Numerische Mathematik fu¨r Ingenieure. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien und Zu¨rich, 3. Auflage 1982.

[6]KLEIN, R.: Beitrag zur Gestaltung der U¨ bergangs- bo¨gen. Gleistechnik und Fahrbahnbau 13 (1937) 9/10, 97...102 und 23/24,224...227.

[7]LANGE, A.:Beitrag zur Form des U¨ bergangsbogens.

Organ fu¨r die Fortschritte des Eisenbahnwesens, Neue Folge 74 (1937) 22,417...418.

[8]PRESLE, G.:O¨ BB Infrastruktur Bau / Der Wiener Bogen – RTCA, 01.02.2006, 1...26. http://www.rtca.at/upload/

doc/307/RTCA01022006.pdf

[9]RUCH, O.: Uebergangsbogen. Organ fu¨r die Fort- schritte des Eisenbahnwesens, Neue Folge 40 (1903) 3, 59...62 und 4,71...74.

[10]SCHUHR, P.: Reihenentwicklungen zur Berechnung des U¨ bergangsbogens von BLOSS. Vermessungswe- sen und Raumordnung 45 (1983) 8,420...425.

[11]SCHUHR, P.:Anwendung der ROMBERG-Integration zur U¨ bergangsbogenberechnung aus Kru¨mmungsbil- dern. Rail international – Schienen der Welt 17 (1986) 1,17...21.

[12]VOJACEK, L.: Ueberho¨hung der Geleise in Curven.

Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure 12 (1868) 10,617...624.

[13]WATOREK, K.: U¨ bergangsbogen. Organ fu¨r die Fortschritte des Eisenbahnwesens, Neue Folge 44 (1907) 9,186...189 und 10,205...208.

Anschrift des Autors

Prof. Dr.-Ing. Peter Schuhr:Fachhochschule Frankfurt am Main, Fachbereich 1, Nibelungenplatz 1, D-60318 Frankfurt am Main. Email: schuhr@fb1.fh–frankfurt.de