Archiv "Konfidenzintervall" (17.09.1982)

Konfidenzintervall-+1

4-- a-+ 4-

G

der Stichprobe /-1

(unbekannt)

Darstellung 1: Konfidenzintervall für den Erwartungswert p, einer Grundgesamtheit Zur Fortbildung Aktuelle Medizin

DEFINITION

Konfidenzintervall

(Vertrauensintervall) —

der Bereich, in dem ein Mittel- wert mit zahlenmäßig vorgeb- barer Wahrscheinlichkeit liegt

Die Prüfstatistik stellt neben den Si- gnifikanztests Verfahren zur nähe- rungsweisen Berechnung der stati- stischen Maßzahlen von Grundge- samtheiten aus endlichen Stichpro- ben zur Verfügung, Verfahren, die als Schätzung der Parameter („Kenngrößen") bezeichnet werden und zum Beispiel als Schätzung des als Erwartungswert r bezeichneten Mittelwertes einer Grundgesamtheit aus dem empirischen Mittelwert ei- ner Stichprobe häufig praktische Bedeutung haben.

Eine geringere Rolle spielt die Er- mittlung von Schätzwerten für ande- re Parameter der Grundgesamtheit wie Varianz, Grundwahrscheinlich- keit eines Ereignisses oder der Ver- teilungsfunktion selbst.

Punktschätzung — Intervall- schätzung

Berechnet man aus einer empiri- schen Stichprobe für einen Parame- ter der der Stichprobe zugrundelie- genden Grundgesamtheit einen Nä- herungswert und gibt diesen Wert an, bezeichnet man das Verfahren als Punktschätzung, da die berech- nete Zahl auf der Merkmalsachse ei- nen Punkt markiert.

Der arithmetische Mittelwert einer Stichprobe stellt zum Beispiel als Punktschätzung einen Näherungs- wert für den Erwartungswert der Grundgesamtheit dar; über seine Zuverlässigkeit sagt er aber noch nichts aus.

Bei Berechnungen von Näherungs- werten ist man aber im allgemeinen bestrebt, festzustellen und anzuge- ben, wie weit der Näherungswert im ungünstigsten Falle von dem unbe- kannten wahren Wert abweichen kann. Wünschenswert wäre die Be- stimmung eines unteren und oberen

Grenzwertes, zwischen denen der unbekannte Wert mit Sicherheit liegt.

Absolute Sicherheit ist in der Stati- stik aber nicht zu erreichen; es läßt sich jedoch ein Bereich, ein Inter- vall, angeben, in dem der gesuchte Mittelwert mit zahlenmäßig an- und vorgebbarer Wahrscheinlichkeit liegt. Eine solche Schätzung be- zeichnet man als Intervallschätzung.

Dazu werden aus den vorgelegten Stichprobenwerten eine untere und eine obere Grenze berechnet, die mit der Wahrscheinlichkeit y den un- bekannten Wert einschließen; oder anders formuliert: die Wahrschein- lichkeit, daß der Erwartungswert !I zwischen dem berechneten unteren Grenzwert G u und dem oberen Grenzwert G o liegt, beträgt y%:

P (G u p, 4. G o) = ^y

Das Intervall zwischen G u und G o bezeichnet man als Konfidenzinter- vall oder Vertrauensintervall für den Parameterwert r.

Die Endpunkte des Intervalles hei- ßen Konfidenzgrenzen, die Zahl y Konfidenzzahl (Darstellung 1).

y, für das man zum Beispiel 95%

oder 99% vorgeben kann, stellt also die Wahrscheinlichkeit dar, ein In- tervall zu berechnen, das den wah- ren Wert enthält. Bei y = 95% wird in

95% von sehr vielen Berechnungen der wahre Wert in dem angegebe- nen Intervall liegen, in 5% der Fälle wird man ein Intervall berechnet ha- ben, das den Wert doch nicht ent- hält. (Die Aussage, der Wert p, läge mit 95%iger Wahrscheinlichkeit in dem Intervall, ist unpräzis, da der zwar unbekannte, aber festliegende Wert in dem angegebenen Intervall liegt oder nicht darin liegt.)

€1 Berechnung

des Konfidenzintervalles

Die zahlenmäßige Bestimmung ei- nes Konfidenzintervalles läßt sich in verschiedene Schritte gliedern:

C) Wahl der Konfidenzzahl y Die Frage, welchen Wert man für? in einem konkreten Fall wählen soll, zum Beispiel 95%, 99% oder 99,9%, läßt sich nicht aus statistischen Er- wägungen ableiten, sondern muß vom vorgelegten Problem her ent- schieden werden. Dabei spielt we- sentlich die Frage eine Rolle, wel- ches Risiko in Kauf genommen wer- den kann oder soll und welcher Schaden bei einer Fehlentschei- dung entsteht.

e

Ausgabe B DEUTSCHES ÄRZTEBLATT 79. Jahrgang Heft 37 vom 17. September 1982 57

standardisierte Normalverteilung

1 - .

f(x)=_, e 2 V2.7t)

-

u

Darstellung 2: Stadardisierte Normalverteilung Zur Fortbildung

Aktuelle Medizin Konfidenzintervall

Aus einer Tafel der standardisierten Normalverteilung werden die Ab- szissenwerte ± u entnommen, bei denen die darüberstehende Fläche y% beträgt (Darstellung 2). Für 95%

erhält man zum Beispiel u = 1,96.

(1) Berechnung von a = u •

'

wobei o2 die als bekannt vorausge- setzte Varianz der normalverteilten Grundgesamtheit und n der Umfang der daraus gezogenen Stichprobe ist.

®

{x — a + a}.

Ist die Varianz der Grundgesamtheit nicht bekannt, kann ein Konfidenz- intervall auch berechnet werden. In Fällen von großen Stichproben mit

n > 30 kann näherungsweise o s gesetzt werden.

Bei kleinen Stichproben ist dies nicht erlaubt, hier muß o durch die empirische Varianz der Stichprobe geschätzt werden.

Dann darf nicht mehr die Normalver- teilung zugrunde gelegt, sondern es muß die t-Verteilung benutzt wer- den, die auch in Statistik-Werken ta- belliert vorliegt.

Auf denselben mathematischen Grundlagen beruhend läßt sich auch die Frage beantworten, welchen Umfang eine empirische Stichprobe haben muß, wenn man bei vorgege- bener Wahrscheinlichkeit die Breite des Konfidenzintervalles vorher fest- gelegt hat beziehungsweise ein be- stimmtes Konfidenzintervall nicht überschreiten will. A. Habermehl

Literatur

Kreyszig, E.: Statistische Methoden und ihre Anwendungen, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen

FÜR SIE GELESEN

Clostridium-Diarrhoe

Durchfälle unter einer Antibiotika- therapie gehen häufig auf das Toxin von Clostridium difficile zurück, ins- besondere wenn sie unter dem Bild der pseudomembranösen Colitis verlaufen. Eine prospektive Studie aus Edinburgh hat jedoch gezeigt, daß bei 154 Patienten, die wegen akut einsetzender Durchfälle auf ei- ne Infektionsstation aufgenommen wurden, 19 positive Stuhlkulturen hinsichtlich Clostridium difficile bo- ten, wobei nur bei einigen Patienten eine antibiotische Behandlung vor- ausgegangen war. Das entsprechen- de Toxin konnte nur bei 6 Patienten nachgewiesen werden, zumeist nur in geringer Konzentration. Offenbar ist das Spektrum der Durchfallser- krankungen, die auf Clostridium dif- ficile zurückgeführt werden müssen, recht breit und reicht von sporadi- scher Diarrhoe bis zur schweren, mitunter tödlich verlaufenden pseu- domembranösen Enterokolitis. Bei schwereren Durchfallserkrankun- gen sollte deshalb nach Meinung der Autoren frühzeitig Vancomycin eingesetzt werden.

Brettle, R. P.; Poxton, I. R.; Murdoch, J. McC.;

Brown, R.; Byrne, M. D.; Collee, J. G.: Clostri- dium difficile in association with sporadic diarrhea, Br. med. J. I (1982) 230-232, Depart- ment of Infectious Diseases, City Hospital, Edinburgh EH10 5SB

Berichtigung

Altern als

immunologisches Problem

Im Beitrag „Altern als immunologi- sches Problem" von Professor Dr.

med. Rudolf Gross, Heft 25/1982, Ausgaben A/B, Seite 42 und 43, ist auf Seite 43, erste Spalte, dritter Ab- satz, ein Druckfehler enthalten. Der erste Satz muß korrekt heißen: Ob maligne Tumoren mehr aus der An- häufung von Karzinogenen (und eventuell onkogenen Viren) in den Geweben .. ". Wir bitten, den Fehler zu entschuldigen. DÄ

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