Str¨omungsmechanik -oder-

Str¨omungsmechanik

-oder-

Gruppen von Diffeomorphismen und die Bewegung von inkompressiblen Fluiden

Eva Bartram Benjamin H¨ ugelmann

01. September 2005

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

1.1 Uberblick . . . .¨ 3 2 Uberblick Mannigfaltigkeiten und Abbildungen¨ 5

3 Integration von H^s-Vektorfeldern 8

4 Differenzierbare Strukturen f¨ur die Gruppe der volumenerhal- tenden und symplektischen Diffeomorphismen 9

5 Die Deformation von D nachDµ 11

6 Diffeomorphismen mit invarianten Untermannigfaltigkeiten 12 7 Eine schwache riemannsche Metrik f¨ur D^s_µ und deren geod¨ati-

sche Kurven 14

8 Das Spray auf D^s_µ und die Euler-Gleichungen mit Kr¨aften 17 9 Regularit¨at, Bemerkungen zu Vollst¨andigkeit und Benutzung

von anderen Funktionenr¨aumen 19

10 Zusammenhang mit den klassischen Gleichungen 21 11 Zusammenfassung der Ergebnisse in klassischer Notation 24 11.1 Problem (Euler-Gleichungen) . . . 24 11.2 Ergebnisse f¨ur die Euler-Gleichungen . . . 24

1 Einleitung

In diesem Vortrag tragen wir die Ergebnisse von David G.Ebin und Jerrold Marsden vor. Diese befassten sich in der zugrundeliegende wissenschaftlichen Arbeit mit der Mannigfaltigkeitenstruktur von bestimmten Gruppen von Diffeo- morphismen und dem Gebrauch dieser Struktur, um scharfe Existenz- und Ein- deutigkeitss¨atze f¨ur die klassischen Euler-Gleichungen f¨ur inkompressible Fluide auf kompakten C^∞riemannschen, orientiertenn-MannigfaltigkeitM, zu zeigen.

Am Ende des Vortrags werden wir die Ergebnisse noch einmal zusammenfassen.

1.1 Uberblick ¨

Die Essenz der Methode ist der Transfer des Problems von der klassischen Euler- Gleichung auf das Problem des Auffindens einer geod¨atischen Kurve in der Gruppe aller volumenerhaltenen Diffeomorphismen, auf welche die Methoden globaler Analysis und unendlich dimensionaler Geometrie angewendet werden k¨onnen.

Einige Ergebnisse versch¨arfen und erweitern bekannte Ergebnisse von Omori und Ebin. Beispielsweise hat Omori gezeigt, dass alle (orientierungserhalten- den) C^∞-DiffeomorphismenDeiner kompakten Mannigfaltigkeit hom¨oomorph ist zu Dµ× V, wobei Dµ die Gruppe der volumenerhaltenden Diffeomorphis- men,µeine geg. Volumenform aufM undV die Menge aller Volumenν >0 mit R

Mν =R

Mµ sind. DaV zusammenziehbar ist, ist Dν ein Deformationsretrakt vonD. Einfachere Methoden benutzend, wird der Hom¨oomorphismus zu einem Diffeomorphismus versch¨arft(Satz 5.1).

Die Tatsache, dassDµeine ILH(inverse-limit-Hilbert) Lie-Gruppe ist wurde von Ebin f¨ur Mannigfaltigkeiten ohne Rand bewiesen. Hier werden auch Gruppen von symplektischen Diffeomorphismen behandelt(Satz 4.5).

Die Wichtigkeit der Gruppe Dµ liegt darin, das sie der zugeh¨orige Konfigu- rationsraum f¨ur die Hydrodynamik eines inkompressiblem Fluids ist. Es muss gezeigt werden, dass die Lie-Algebra vonD_µundT_eD_µ (Tangentialraum an der Identit¨ate∈ D_µ) aus den (C^∞) divergenzfreien Vektorfeldern aufM besteht.

Die Verbindung zwischenD_µ und Hydrodynamik ist folgende: Die gegenw¨arti- ge Bewegung eines perfekten inkompressiblen Fluids ist eine geod¨atische Kurve µt ∈ Dµ unter Beachtung der rechts- (jedoch nicht links-) invarianten Metrik aufDµ, welche ane∈ Dµ gegeben ist durch

(X, Y) = Z

M

hX(m), Y (m)i_mµ(m) ,

wobeiX, Y ∈TeDµ,h,i_mdie Metrik aufTmM undµeine durch die Metrik indu- zierte Volumenform aufM ist. Das zugeh¨orige Spray(der vektorfeldgenerierende geod¨atische Fluss auf TDµ) wird in Satz 8.1 berechnet. Man darf geod¨atische Kurven nicht mit einparametrige Untergruppen verwechseln! In der Tat ist ei- ne einparametrigen Untergruppe einer Diffeomorphismengruppe nur der Fluss eines Vektorfelds aufM.

Um die Ergebnisse von Ebin und Marsden zu erhalten, ist es notwendig,Dzu ei- ner Hilbert-MannigfaltigkeitD^s, den Diffeomorphismen der Sobolev-klasseH^s, zu erweitern. Dies ist eine topologische Gruppe, fallss > ⁿ₂ + 1 (nach Ebin).

ObwohlD^skeine Lie-Gruppe ist (,da links-Multiplikation nicht glatt ist), wird in

Satz 3.1 gezeigt werden, dassD^seine Exponentialabbildung in gleicher Weise wie eine Lie-Gruppe hat. Das l¨auft darauf hinaus, zu zeigen, dass einH^s-Vektorfeld aufM, einenH^s-Fluss hat. Dennoch kann die zugeh¨orige Exponentialabbildung nicht C¹ sein, da sie keine Umgebung der Identit¨at ¨uberdeckt.

Die Beziehung zwischen geod¨atischen Kurven auf Dµ (D^s_µ) und den klassi- schen Euler-Gleichungen ist folgender: Seien ηt ∈ Dµ eine geod¨atische Kur- ve unter Einhaltung der obigen Metrik, vt = _dt^d

ηt die Geschwindigkeit und ut=vt◦η⁻¹_t , dann wirdutein Vektorfeld aufM sein.

Wie gezeigt werden wird, istuteine L¨osung der klassischen Euler-Gleichungen f¨ur ein perfektes Fluid, welche folgende sind:

(1)







∂u_t

∂t +∇_utu_t= gradp_t , divu_t= 0 ,

u_tgegeben beit= 0 ,

wobei der Druckp_t:M →Rebenfalls zu bestimmen ist, und∇ die kovariante Ableitung ist.

Daher l¨ost man das obige Problem der Existenz und Eindeutigkeit, wenn man eine geod¨atische Kurve aufD_µ oderD^s_µfinden kann. Es soll erkl¨art werden, wie man dies sp¨ater macht.

Die nicht-lineare Natur der Euler-Gleichungen macht eine Analyse mit klassi- schen Methoden sehr schwer und die Ergebnisse, die man dabei erh¨alt, sind auch nur teilweise erfolgreich. Man weiss, dass man f¨ur zwei Dimensionen Existenz und Eindeutigkeit von L¨osungen f¨ur jede Zeit hat(Wolibner und Kato). F¨ur drei Dimensionen ist bekannt, dass L¨osungen f¨ur kleine Zeitintervalle in einigen Spe- zialf¨allen existieren (Lichtenstein und Gyunter). Eine der Hauptergebnisse von Ebin und Marsden ist die Existenz und Eindeutigkeit von L¨osungen f¨ur kleine Zeitintervalle mit scharfer differentierbarkeits- und regularit¨ats-Ergebnissen f¨ur die Euler-Gleichungen auf kompakten MannigfaltigkeitenM.

Uberraschend an den benutzten Methoden, welche speziell an die Form der¨ Euler-Gleichungen angepasst sind, ist, dass das zugeh¨orige SprayS :TDmu^s→ T²D_mu^sf¨ur geod¨atische Kurven aufD_µ^seine glatte Abbildung ist und insbeson- dere kein Verlust von Ableitungen auftritt. Nat¨urlich verlieren die Gleichungen selbst sehr wohl Ableitungen (falls u_t H^s ist, ist ∇_utu_t nur noch H^s−1). der Hauptgrund daf¨ur ist, dass wenn ut=vt◦η⁻¹_t nach t differenziert wird, muss vt in der M-Variabel differenziert werden, welches zum Verlust von Ableitun- gen f¨uhrt. Dieser Punkt, sowie dessen Auswirkungen auf die Euler-Gleichungen, wird in Kapitel 10 eingehender erkl¨art.

Ein wichtiges Problem, welches bestehen bleibt ist das Folgende:

• Existenz von L¨osungen f¨ur jede Zeit (vergleiche dazu auch die Kapitel 9 und 11, wo hinreichende Bedingungen angegeben sind).

Das die Euler-Gleichungen betreffende Ergebnis ist folgendes:

• Existenz, Eindeutigkeit, Regularit¨at und stetige Abh¨angigkeit der An- fangsbedingungen von L¨osungen der Euler-Gleichungen f¨ur generelle kom- pakte Mannigfaltigkeiten f¨ur kleine Zeitintervalle −τ ≤t≤τ.

2 Uberblick Mannigfaltigkeiten und Abbildun- ¨ gen

Bildung der Notation und Ergebnisse, die sp¨ater gebraucht werden. Wir gucken uns differenzierbare Strukturen f¨ur R¨aume von Abbildungen von einer Man- nigfaltigkeit in eine andere Mannigfaltigkeit an. Das wichtigste Beispiel ist die Gruppe der Diffeomorphismen auf einer Mannigfaltigkeit.

Sei M eine kompakte (C^∞) orientierte Mannigfaltigkeit. Und sei π:E−→

M ein Vektorb¨undel ¨uberM, wobei Edie Menge der Fasern ist. F¨urs≥0, s∈ Z , erhalten wir einen Hilbert-Raum H^s(E) von Schnitten von E, und zwar alle Schnitte von E deren Ableitungen bis zu Ordnung s L²-integrierbar sind (bzgl. Karten). ¨Aquivalent ist dies die Komplettierung des RaumesC^∞(E) der glatten sections vonE in eine Norm, die das L²-Integral aller Ableitungen bis zur Ordnung s miteinbezieht. Sei C^k(E) der Raum der C^k-Schnitten von E.

Dies ist ein Banach-Raum mit einer Norm, die die Topologie der gleichm¨aßigen Konvergenz auf der Menge der Ableitungen der Ordnung ≤kinduziert. Unter dieser Norm istC^k(E) die Komplettierung vonC^∞(E).

Das Sobolev Einbettungs-Theorem besagt, daß wennk≥0 unds >(n/2) + k, n Dimension von M, dann ist H^s(E) ⊂C^k(E)(Inklusion ist stetig). Klar:

H^s(E)⊃C^k(E).

F¨urs > n/2 macht es Sinn, von einerH^s-Karte von einer Mannigfaltigkeit in eine andere zu sprechen. Man pr¨uft unter Benutzung von lokalen Koordinaten, ob die Ableitungen der Ordnung≤s L²-integrierbar sind. Diese ¨Uberpr¨ufung kann f¨ur jedes System von Karten, die die Mannigfaltigkeiten ¨uberdecken, ge- macht werden. SeiM eine kompakte Mannigfaltigkeit, m¨oglicherweise mit Rand und N eine Mannigfaltigkeit ohne Rand. Dann ist der Raum H^s(M, N) aller H^s-Abbildungenη:M −→N eine Hilbert-Mannigfaltigkeit. Allgemeiner erh¨alt man eine Hilbert-Mannigfaltigkeit H^s(F) , wobei F ein Faserb¨undel ¨uber M (hier: F =M ×N). Ebenfalls hat man Banach-Mannigfaltigkeiten C^k(M, N) undC^k(F).

F¨ur s >(n/2) +k ist H^s(M, N)⊂C^k(M, N) eine dichte stetige Inklusion (ebenso f¨urH^s(F)⊂C^k(F)).

Gegeben sei eine riemannsche Metrik aufN und ihre zugeh¨orige Exponen- tialabbildung exp : T N −→ N (exp ist definiert f¨ur alle T N, da N kompakt ohne Rand ist). Dann kann man wie folgt Karten f¨ur H^s(M, N) auf nat¨urli- che Weise konstruieren. Sei f ∈ H^s(M, N). Wir erhalten den Hilbert-Raum TfH^s(M, N) ={g ∈H^s(M, T N)|π◦g =f}, wobeiπ:T N −→N die kanoni- sche Projektion ist. Also istT H^s(M, N) =H^s(M, T N) =∪TfH^s(M, N) eine Vereinigung linearer R¨aume. Definiereωexp:TfH^s(M, N)−→H^s(M, N) durch g7−→exp◦g. Dies ist eine Karte von einer Umgebung der Null inTfH^s(M, N) in eine Umgebung vonf ∈H^s(M, N). Dieselbe Konstruktion funktioniert auch f¨urC^k(M, N). Und eine geringe Verfeinerung der Konstruktion funktioniert f¨ur H^s(F) und C^k(F). Obiges definiert Mannigfaltigkeits-Struktur, die nicht von der gew¨ahlten Metrik abh¨angt.

Sei h : N −→ N⁰ glatt. Dann ist die Abbildung ω_h : H^s(M, N) −→

H^s(M, N⁰) , f 7−→ h◦f eine C^∞-Abbildung. Ferner ist ω_h : C^k(M, N) −→

C^k(M, N⁰) eine C^∞-Abbildung. Wenn h C^k+l ist, dann ist ωh C^l (l ≥ 0).

Die Ableitung vonωh ist ωT h mit den offensichtlichen Identifikationen, wobei T h:T N−→T N⁰ die Ableitung vonhist.

Im FallC^kkann man Rechts-Komposition wie folgt anbringen. Seih:M −→

M⁰C^k. Dann istα_h:C^k(M⁰.N)−→C^k(M, N) ,f 7−→f◦heineC^∞-Abbildung mit AbleitungαT h. F¨ur den FallH^sist dies nicht richtig, da es nicht immer rich- tig ist, daß die Komposition vonH^s-karten wiederH^sist. Besser ist stattdessen die Bildung mit Diffeomorphismen wie unten beschrieben.

Sei nun M kompakt. Die Menge C¹Dder C¹-Diffeomorphismen vonM ist offen in C¹(M, M) und ist topologische Gruppe. F¨ur s >(n/2) + 1 sei D^s = H^s(M, M)∩C¹D. Dann istD^s offen topologische Gruppe und

D^s={η∈H^s(M, M)|η ist bijektiv undη⁻¹∈H^s(M, M)}

Wie im FallC^k ist die Rechts-Multiplikation Rη:D^s−→ D^s

ξ7−→ξ◦η

C^∞ f¨ur jedes η∈ D^sund wennη∈ D^s+l, L_η:D^s−→ D^s

ξ7−→η◦ξ

istC^l. AlsoT R_η:X 7−→X◦η undT L_η:X7−→T η◦X.(T wegstreichen?) Allgemeiner ist die KompositionH^s× D^s−→H^sstetig,H^s+l× D^s−→ D^s ist eine C^l-Karte. F¨ur g ∈ D^s ist αg : h7−→ h◦g C^∞ von H^s nach H^s mit AbleitungαT g. F¨urh∈H^s+listωh:g7−→h◦g C^∞(0≤l≤ ∞) mit Ableitung ωT h. Die wichtigste Bedingung daf¨ur, daßh◦g eineH^s-Abbildung ist, ist daß g lokaler Isomorphismus ist; zum Beispiel sollteT g(m) =Tmg an jedem Punkt bijektiv sein. Diese Ergebnisse f¨ur die Abbildungen ω und α werden als das Omega-Lemma und das Alpha-Lemma bezeichnet.

Die inverse Abbildung η 7−→ η⁻¹ ist stetig. Sie ist C^l, wenn sie als eine Abbildung vonD^s+l nachD^s betrachtet wird und wennη(t) eineC¹-Kurve in D^s+l, l≥1, dann ist

d

dtη(t)⁻¹=−T(η(t)⁻¹◦ {_dt^dη(t)} ◦η(t)⁻¹∈Tη(t)⁻¹D^s

(dies folgt aus der Differentiation von η(t)◦η(t)⁻¹=e=identit¨at).

Da D^s⊂H^s(M, M) offen ist, ist T_eD^s der Raum allerH^s-Vektorfelder auf M;

T_eD^s=H^s(T M).

Wenn die Rechts-Multiplikation glatt ist, k¨onnen wir ¨uber rechts-invariante Vektorfelder aufD^ssprechen. Da, f¨urX ∈H^s+l(T M) =TeD^s+l,η7−→X◦ηei- neC^l-Abbildung vonD^snachTD^s(l≥0), der Raum der rechts-invariantenC^l- Vektorfelder aufD^s isomorph (durch Berechnung ane∈ D^s) ist zuH^s+l(T M) (man sieht das, wenn ˜X(η) =X◦η C^l ist, dann muß X H^s+l sein). Sei l ≥1 und f¨urX, Y ∈H^s+l(T M) sei ˜X,Y˜ das zugeh¨orige rechts-invariante Vektorfeld aufD^s. Dann gilt

[ ˜X,Y˜]e= [X, Y].

In Kap. 3 werden wir zeigen,daß der Fluß auf H^s+l(T M) eine C^l−1-Kurve (l≥0)inD^s ist.

Man kann eine differenzierbare Struktur f¨urD, die Gruppe derC^∞-Diffeomorphismen von M , definieren, die die C^∞-Topologie ausdr¨ucken als den Limes der Topo-

logien vonD^s D=∩_s>n/2D^s.

Dann heißt D eine ILH (inverse limit Hilbert) Lie-Gruppe. Wenn man die C^k-R¨aume oder die H¨older-R¨aume benutzen w¨urde, hießeDeine ILB (inverse limit Banach) Lie-Gruppe. Allgemein ist f¨ur ILH oder ILB Mannigfaltigkeiten AundB mit

A=∩A^sundB=∩B^s

eine Abbildungf :A−→B C^k genau dann, wenn f¨ur allesgibt es einj(s), so daßf eineC^k-Erweiterungf^s:A^j(s)−→B^shat. Da aufDKomposition und Invertierbarkeit glatt sind, istDin dem Sinne eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra

TeD=H^∞(T M) =C^∞(T M).

Also ist die rechts-Lie-Algebra auf D die ¨ubliche Lie-Klammer von Vektor- feldern.

Eine ILH-Lie-UntergruppeG vonDist eine ILH-MannigfaltigkeitG=∩G^s, so daßG^seine Gruppe ist undG^s⊂ D^seine Untermannigfaltigkeit ist. Dadurch hat die Gruppenmultiplikation auf G dieselben Glattheitseigenschaften wie D und TeG^s ⊂ H^s(T M) ist ein geschlossener Unterraum und TeG ist eine Lie- Unteralgebra vonTeD.

Im Gegensatz zu Lie-gruppen, braucht es nicht zu sein, daß eine geschlossene Lie-untergruppeD ⊂T_eDaus einer ILH-Lie-Untergruppe hervorgeht.

F¨ur eine kompakte MannigfaltigkeitM, ohne Rand haben wir Hodge-Zerlegung:

f¨ur s≥0 und Λ^k bezeichne das B¨undel derk-Formen ¨uberM, H^s(Λ^k) =d(H^s+l(Λ^k−l))⊕∂(H^s+l(Λ^k+l))⊕ker4.

Der Falls= 0 ist vielleicht der best-gekannte, aber der allgemeine Falls >0 folgt aus der Regelm¨aßigkeit des Laplace-Operators.

Die Zerlegung kann auch geschrieben werden als H^s(Λ^k) =4(H^s+2(Λ^k))⊕ker4.

⊕bedeutet immer die Orthogonalit¨at unter Einbezug derH⁰-Metrik; (α, β)0= R

Mα∧ ∗β (man hat Orthogonalit¨at in derH^s-Metrik, wenn man benutzt , daß (α, β)s= (α, β)0+ ((d+δ)^sα,(d+δ)^sβ)0). Weiter istker4endlich dimensional und kann mit derk-ten-Komohologie-Gruppe vonM identifiziert werden.

Bemerkung 2.1 Im Folgenden wirdD^sdie orientierungserhaltendenH^s-Diffeomorphismen bezeichen. Dies ist keine Einschr¨ankung, da es eine Untergruppe vom Index 2

ist.

3 Integration von H

-Vektorfeldern

Wir werden nun zeigen, dass D^s wie eine Lie-Gruppe eine Exponentialabbil- dung hat, welche jedem Tangentialvektor an die Identit¨at eine einparametrige Untergruppe von D^s zuordnet. So ein Tangentialvektor ist ein H^s-Vektorfeld auf M und die einparametrige Untergruppe ist dessen Fluss. Das Ergebnis ist das Folgende.

Satz 3.1 SeiM eine kompakten-Mannigfaltigkeit,s >ⁿ₂+2undD^sdie Gruppe vonH^s-Diffeomorphismen.

1. FallsV einH^s-Vektorfeld aufM ist, ist der Fluss η_teine einparametrige Untergruppe vonD^s.

2. Die Kurvet7→η_t ist C¹.

3. Die Abbildungexp :T_eD^s7→ D^s,V 7→η₁ ist stetig (aber nicht C¹).

Dieses Ergebnis ist wohlbekannt f¨ur C^k-Diffeomorphismen. Ebenso ist exp : TeD 7→ D eine C^∞-ILH-Abbildung (vgl. dazu auch Omori). Man kann genauso zeitabh¨angige Vektorfelder integrieren wie im Folgenden zu sehen ist.

Satz 3.2 Falls V ein zeitabh¨angiges H^s-Vektorfeld auf M ist (d.h. V : R → H^s(T M) ist eine stetige Abbildung) unds > ⁿ₂ + 2, dann ist der Flussηt von V mit η0 = id eine C¹-Kurve in D^s (nat¨urlich ist das keine einparametrige Untergruppe).

Man k¨onnte ganz ¨ahnlich auch V in stetiger Abh¨angigkeit von anderen Para- metern haben. Im Folgenden wird ein wohlbekanntes Ergebnis auf denH^s-Fall verallgemeinert.

Satz 3.3 Sei V ein H^s-Vektorfeld auf M, u.U. zeitabh¨angig, mit Fluss η_t ∈ D^s. Sei α eine H^s-k-Form auf M. Dann ist _dt^d (η^∗_tα) = η^∗_t(LXα), wobei _dt^d ausgef¨uhrt wird in H^s−1,s > ⁿ₂ + 2 undLX die Lie-Ableitung ist.

Bemerkung 3.4 Vom Omega-Lemma erhalten wir, dass falls V in Satz 3.1 H^s+list, der Flusst7→ηt eine C^l+1-Kurve inD^s ist.

Obiges zeigt auch, dass der Fluss eines C^k+α-Vektorfeldes eine C¹-Kurve in C^k+αDist, der Gruppe der C^k+α-Diffeomorphismen,k≥2, 0< α <1. Dennoch ist der Fall k = 1 genauso richtig. Es ist nur nat¨urlich, anzunehmen, dass im Obigen die Bedingung s > ⁿ₂ + 2 ersetzt werden kann durch s > ⁿ₂ + 1 im Sobolev-Fall, obwohl selbst der Beweis von Ebin und Marsden das nicht zeigt.

4 Differenzierbare Strukturen f¨ ur die Gruppe der volumenerhaltenden und symplektischen Diffeomorphismen

In diesem Kapitel wird gezeigt, daß die Untergruppen vonD^s, die eine Volumen- form (bzw. eine symplektische Form), invariant lassen, geschlossene Unterman- nigfaltigkeiten vonD^s, s >(n/2) + 1 sind. Diese Ergebnisse werden in sp¨ateren Kapiteln benutzt.

Als erstes werden ein paar Ergebnisse wiederholt, die gebraucht werden. Sei ω eine feste glattek-Form. Definiere ψ_ω:D^s+1−→H^s(Λ^k) durchη7−→η^∗(ω), wobei Λ^k = Λ^k(M) das B¨undel der k-Formen ¨uber M ist. Dann ist ψ_ω f¨ur s > n/2 eine glatte Abbildung und

T_ηψ_ω:T_η(D^s+1)−→H^s(Λ^k)

ist gegeben durchT_ηψ_ω(V) =η^∗(L_V◦η−1ω),L_V◦η−1ist die LIE-ABLEITUNG.

Sei nunω eine Volumenform oder eine symplektische 2-Form, sei D^s+1_ω ={η∈ D^s+1|η^∗(ω) =ω},

und sei

[ω]s=ω+dH^s+1(Λ^k−1)⊂H^s(Λ^k)

(k = n oder 2, abh¨angig davon, ob ω ein Volumenelement oder eine sym- plektische Form ist).

Die Hodge-Zerlegung

H^s(Λ^k) =d(H^s+1(Λ^k−1))⊕∂(H^s+1(Λ^k+1))⊕ker4

impliziert, daß die Kohomologieklasse [ω]s ein geschlossener affiner Unter- raum vonH^s(Λ^k).

SeiG^s+1={η∈ D^s+1|η^∗(ω)∈[ω]_s}. Jetzt h¨angt die Kohomologieklasse von η^∗(ω) nur noch von der Homotopieklasse vonη:M −→M und die Homotopie- klasse vonη h¨angt nur von seiner Komponente inD^s+1 ab.

Also besteht G^s+1 aus einer Kollektion von Komponeneten von D^s+1 und so ist es also eine offene Untermannigfaltigkeit vonD^s+1. (Im Fall, daßω eine Volumenform, G^s+1 = D^s+1 die (volumenerhaltenden) H^s-Diffeomorphismen, weilη^∗(ω)−ω=h+dα, dann istR

Mh= 0 nach de Rhams Theorem undhist exakt.)

Lemma 4.1 Die Abbildung ψω : G^s+1 −→ [ω]s ist eine Submersion; d.h. f¨ur jedes η∈ G^s+1 istTηψω eine surjektive lineare Abbildung.

Das Hauptresultat ist das folgende.

Satz 4.2 Sei M kompakte Mannigfaltigkeit und sei ω eine Volumenform oder eine symplektische 2-Form. Dann ist f¨ur s > n/2

D^s+1_ω ={η∈ D^s+1|η^∗(ω) =ω}

eine geschlossene Untermannigfaltigkeit von D^s+1. Es ist also eine Unter- gruppe, also ist es eine topologische Gruppe und die Gruppenoperationen be- sitzen dieselben Glattheitseigenschaften wie die von D^s+1. Darum ist Dω eine geschlossene ILH-Untergruppe vonD. Die Lie-Algebra vonDω besteht aus dem divergenzfreien, entsprechend lokal hamiltonischen, Vektorfeld aufM.

Bemerkung 4.3 Ein VektorfeldX ist divergenzfrei genau dann, wennL_Xω= 0im Fall, daßω ein Volumenelement, und es ist lokal hamiltonsch genau dann, wennLXω= 0genau dann, wennXlokal ein symplektischer Gradient ist, wenn ω eine symplektische Form ist.

Bemerkung 4.4 Es folgt hieraus, daß T_eD_ω eine Lie-Unteralgebra vonT_eD= C^∞(T M), und man kann dieses direkt durch die Formel

L_[X,Y]ω=LXLYω−LYLXω uberpr¨¨ ufen.

Satz 4.5 Angenommen M aus 4.2 zusammenh¨angend und s > n/2. Dann ist D^s+1_ω ⊂H^s+1(M, M) abgeschlossen (und ist eine Untermannigfaltigkeit).

Bemerkung 4.6 Im Folgenden ist M stets zusammenh¨angend.

5 Die Deformation von D nach D

Moser beweist, dass D transitiv auf der Menge V der Volumenformen vonM mit einem festen Gesamtvolumen operiert. Seine Methoden benutzend zeigen Ebin und Marsden, dass falls µeine gegebene Volumenform auf M ist,Dµ ein Deformationsretrakt von D ist und dass D im Sinne von ILH diffeomorph zu Dµ× V ist. Genauer ausgedr¨uckt haben wir

Satz 5.1 SeiM kompakt mit einer glatten Volumenform µ. Sei

V =

ν∈C^∞(Λⁿ)

ν >0, Z

M

ν= Z

M

µ

.

Dann istDdiffeomorph zuDµ×V. Insbesondere istDµ ein Deformationsretrakt vonD, sofernV konvex ist.

Vergleiche auch Omori f¨ur eine alternative (schw¨achere) Form von Satz 5.1, welche Gebrauch von der W¨armegleichung auf M macht.

6 Diffeomorphismen mit invarianten Unterman- nigfaltigkeiten

Das Hauptergebnis aus diesem Kapitel ist das folgende.

Satz 6.1 SeiM eine kompakte Mannigfaltigkeit undN ⊂M eine geschlossene Untermannigfaltigkeit (m¨oglicherweise Nulldimensional). SeiDdie Gruppe der Diffeomorphismen vonM und sei

DN ={η∈ D|η(N)⊂N} und

DN,p={η∈ D|η(x) =xf¨ur allex∈N}.

Dann sind DN undDN,p ILH-Lie-Untergruppen vonD, die Lie-Algebra von DN besteht aus den Vektorfeldern auf M tangential zu N und die Lie-Algebra von DN,p besteht aus den Vektorfeldern auf M tangential zu N und Null an Punkten vonN (DN,p ist eine ILH-Lie-Untergruppe vonDN).

Lemma 6.2 Sei M und N wie in 6.1. Dann gibt es eine riemannsche Metrik g aufM, so daN total geodetisch ist. Es gibt ein >0 so, daß wennv∈T_nM undkvk< , dann ist v∈T_nN ⇐⇒exp_nv∈N.

Sei X^s=H^s(T M) der Hilbertraum derH^s-Vektorfelder auf M und X_H^s ={X ∈ X^s|X(n)∈T_nN f¨ur allen∈N}

X_p^s={X ∈ X^s|X(n) = 0 f¨ur allen∈N}.

F¨ur s≥1 sind dies abgeschlossene Unterr¨aume von X^sdurch das Retrikti- onstheorem. F¨ur den Rest der Ausdr¨uckes >(n/2 + 1).

Lemma 6.3 e ∈ D^s (die Identit¨a), D^s_N ⊂ D^s ist eine Untermannigfaltigkeit.

Dann gibt es eine Karte Φ :U ⊂ D^s−→ X^s, so daß

Φ(U) =V1×V2,

wobei V1 undV2 offene Untermengen von Hilbertrumen sind,V1⊂ X^s, und so da

Φ(U∩ D^s_N) =V₁.

Eine analoge Aussage gilt f¨ur D_N,p^s .

Nat¨urlich definierenD^s_N undD^s_N,p ILH-Strkturen frD_N und D_N,p und die Gruppenoperationen haben dieselben Differenzierungseigenschaften wie die von D^s.

Sei ˜M die Vedopplung von M. Wir wenden uns nun Gruppen von Diffeo- morphismenη mit Tr¨ager inM zu. Das meint das folgende:

η ∈ D₀^s(M), oder man sagtηhat einen Tr¨ager INM genau dann, wennηauf M˜ zu ˜η∈ D^s( ˜M) durch Gleichsetzung der Identit¨at auf ˜M/M erweitert werden kann.

Man definiertX₀^s(M) gleichfalls. Allgemein kann man f¨ur ein Vektorb¨undel π : E −→ M H˜ ₀^s(π|_M) definieren als den H^s Abschluß der glatten Schnitte vonπ mit kompaktem Tr¨ager inM (diese sind Null auerhalb einer kompakten Untergruppe vonint(M)) oder alternativ als solcheα∈H^s(π|M), was erweitert werden kann zuH^s(π), indem manα= 0 auerhalb vonM setzt. Bemerke, daß man automatisch eine kanonische Erweiterungsabbildung in diesem Fall erh¨alt.

Satz 6.4 Seien M,M˜ wie oben. BetteD^s₀(M)⊂ D^s( ˜M)ein durchη7−→η˜wie oben. Dann istD^s₀(M)eine Untermannigfaltigkeit vonD^s( ˜M),D₀^s(M)definiert eine ILH-Lie-GruppeD0(M) und hat die Lie-AlgebraX0(M).

7 Eine schwache riemannsche Metrik f¨ ur D

und deren geod¨ atische Kurven

Wir wollen nun D^s und D^s_µ (und konsequenterweise D und Dµ) mit einer (schwachen) riemannschen Struktur ausstatten und zeigen, dass diese Struk- turen geod¨atische Kurven definieren. Auf D^s_µ beschreiben diese geod¨atischen Kurven die Bewegung eines perfekten Fluids wie in Kapitel 10 beschrieben wer- den wird.

SeiX eine auf einem BanachraumE befindliche Mannigfaltigkeit. Eine schwa- che riemannsche Struktur γ auf X ist eine Abbildung, welche jedem x ∈ X eine stetige positiv definite symmetrische Bilinearformγ(x)∈L²(T_xX;R) (die stetigen Bilinearformen auf T_xX mit der gew¨ohnlichen Norm-Topologie), wel- che sich mit x∈X stetig ¨andert, zuordnet; deutlicher gesagt bedeutet ”stetig

¨andert”, dass wenn eine KoordinatenkarteU anx₀ und deren induzierte Karte U×T_x0(X) f¨urT(X) eingeschr¨ankt auf U gegeben sind, istγ eine glatte Ab- bildungγ:U →L²(Tx₀(X),R).

Schwach deshalb, weil γ(x) nicht notwendigerweise die Topologie auf Tx(X) definiert, aber m¨oglicherweise eine schw¨acherer Topologie. Als erstes sollten wir eine solche Struktur aufD^sdefinieren.

Satz 7.1 Sei M eine kompakte Mannigfaltigkeit mit einer gegebenen Metrik

<, >m. Erinnernd, dass f¨urη∈ D^s,s >ⁿ₂ + 1, TηD^s={V ∈H^s(M, T M)|π◦V =η} ist, definieren wir eine Bilinearform auf TηD^s durch

(V, W) = Z

M

< V (m), W(m)>_η(m)µ(m) ,

wobei µ die Volumenform ist, welche durch die Metrik auf M induziert wird.

Dann gilt:

1. (,)definiert eine schwache riemannsche Struktur aufD^s,

2. (,)hat einen zugeh¨origen (eindeutigen) torsionsfreien affinen Zusammen- hang∇; wir haben f¨¯ ur glatte Vektorfelder X, Y, Z aufD^s

(a) x(Y, Z) = ∇¯XY, Z

+ Y,∇¯XZ und (b) ∇¯XY −∇¯YX = [X, Y].

3. Seiexp : T M →M die zum Zusammenhang ∇ auf M geh¨orende Expo- nentialabbildung. Dann istE:TD^s→ D^sdefiniert durchE(V) = exp◦V, der Exponentialabbildung von∇;¯ E ist nur auf einer Umgebung des Null- schnittes vonTD^sdefiniert und ist eine surjektive C^∞-Abbildung auf einer Umgebung vone∈ D^s.

Bemerkung 7.2 (,)induziert dieH⁰-Topologie aufTηD^s, welche strikt schw¨acher ist als die H^s-Topologie. Allgemein haben schwache Metriken keine Zusam- menh¨ange oder Exponentialabbildungen, so impliziert 1. nicht 2. oder 3..

Beachte, dass eingeschr¨ankt auf TηD^s, E nur die Kartenabbildung f¨ur η ∈ D^s ist wie in Kapitel 2 beschrieben.

Bemerkung 7.3 Man kann eine (schwache) riemannsche Struktur wie oben auf ganz H^s(M, M)definieren, wobei E durch dieselbe Formel gegeben ist. In diesem Fall istEdefiniert auf jeder Faser vonT H^s(M, M), so dassH^s(M, M) eine komplette (schwache) riemannsche Mannigfaltigkeit wird. Nat¨urlich sind geod¨atische Kurven f¨ur allet∈Rdefiniert.

Das E(V) = exp◦V die richtige Exponentialabbildung f¨ur (, ) ist, kann wie folgt eingesehen werden. Lokal minimiertγ_m(t) = exptV (m) die Energie

Z t 0

< γ_m⁰ (s), γ_m⁰ (s)> ds . Die Energie aufD^sist

Z t 0

Z

M

< γ_m⁰ (s), γ_m⁰ (s)> dµ(m)ds= Z

M

Z t 0

< γ⁰_m(s), γ_m⁰ (s)> ds

dµ(m), daher wird die Energie ebenfalls minimiert.

Korollar 7.4 In Satz 7.1 ist das zur Metrik geh¨orende SprayZ¯:TD^s→T²D^s gegeben durchZ¯(X) =Z◦X, wobei Z:T M →T²M das Spray von <, > ist.

Beachte, dass wie erwartet ¯Z eine glatte Abbildung ist, wennZ C^∞ ist.

Satz 7.5 Die Operation vonD_µ^s aufD^s bewahrt durch Rechtsmultiplikation die riemannsche Struktur(,). Weiterhin bewahrt D^s, auf sich selbst durch Rechts- multiplikation operierend,∇¯ undE◦T R_η =R_η◦E f¨ur η∈ D^s, wobei R_η die Rechtsmultiplikation vonη bezeichnet.

Diese Invarianz von (,) unter D_µ^s spielt sp¨ater eine entscheidende Rolle. Ebin und Marsden restringieren (,) auf D^s_µ, wozu sie das folgende vorbereitende Lemma ben¨otigen. Die darin definierte Projektion wird in Satz 8.1 benutzt.

Lemma 7.6 Definiere (,) auf D_µ^s wie oben, dann wird es eine schwache rie- mannsche Metrik. Es istD^s_µ invariant und f¨ur jedes η ∈ D^s_µ die durch (,) de- finierte orthogonale Projektion eine stetige surjektive Abbildung Pη :Tη(D^s)→ Tη D^s_µ

. Und zwarPη =T Rη◦Pe◦T R_η−1, wobei Pe :TeD^s→TeD^s_µ die or- thogonale (bez¨uglich derH⁰-Metrik) Projektion auf den ersten Summanden ist, die bestimmt ist durch die Hodge-Zerlegung

TeD^s=H^s(T M) =Te D^s_µ

⊕gradH^s+1 Λ⁰(M)

Nun kommen wir zu einem Hauptergebnis.

Satz 7.7 SeiM eine kompakte Manigfaltigkeit. Dann ist(, ), definiert aufD^s_µ, eineD^s_µ-rechtsinvariante schwache Metrik. Es induziert ein glatter affiner Zu- sammenhang ∇˜ = P◦∇¯ und eine Exponentialabbildung E˜ auf D_µ^s. Beide, ∇˜ undE˜ sind invariant unter Rechtsmultiplikation durch D^s_µ.

Arnold erl¨autert, dass geod¨atische Kurven auf D^s_µ die L¨osungen der Euler- Gleichungen liefern, und so liefert uns obiger Satz die Existenz solcher L¨osungen.

In Kapitel 10 erlangen wir explizit die Beziehung zwischen geod¨atischen Kur- ven auf D_µ^s und den klassischen Gleichungen und zeigen, dass Glattheit von

P vertr¨aglich ist mit dem, was man von den klassischen Gleichungen erwarten k¨onnte.

Wir merken an, dass ˜E nur auf einer Umgebung des Nullschnitts vonT D^s_µ definiert sein kann, so dass geod¨atische Kurven inD^s_µ nur f¨ur kurze Zeitinter- valle existieren m¨ussen.

In Kapitel 8 werden wir das zur Metrik (,) aufD^s_µ geh¨orende Spray angeben.

Bemerkung 7.8 F¨ur D^s und D^s_µ ¨uberdecken die zugeh¨origen Exponentialab- bildungen der Lie-Gruppen keine Umgebung der Identit¨at (vgl. auch Satz 3.1).

Dennoch tun dies die ExponentialabbildungenE undE˜oben, da diese glatt sind.

Daher k¨onnen inD^s_µ local zwei Punkte durch eine eindeutige geod¨atische Kurve, welche die H⁰-Bogenl¨ange minimiert, verbunden werden. Daher ist die Varia- tionsrechnung in dieser Situation richtig, obwohl die Methoden von Palais und Smale keine Existenz von geod¨atischen Kurven erbringen.

8 Das Spray auf D

und die Euler-Gleichungen mit Kr¨ aften

Hier berechnen wir das zur geod¨atischen Kurve aufD^s_µgeh¨orende Spray. Ebenso werden wir eine Gleichung aufTD_µ^s zweiter Ordnung konstruieren, welche wie in den Kapitel 10 und 11 erl¨autert werden wird auf die L¨osungen der Euler- Gleichungen mit Kr¨aften f¨uhren wird.

Erinnernd, dass T²D^s_µ identifiziert wird mit Xη ∈ TηD_µ^s uberdeckenden¨ H^s- Abbildungen Y : M →T²M; Zumindest kommutiert das folgende Diagramm f¨ur Y ∈TX_η TD_µ^s

:

Satz 8.1 Seien M kompakt und Z das zur Metrik auf M geh¨orende Spray;

Z:T M →T²M. Sei P :H^s(M, T M)

D^s_µ →TD^s_µ

die in Kapitel 7 beschriebene Projektion. Dann ist das zur Metrik (,) auf D_µ^s geh¨orende Spray gegeben durch die stetige Abbildung

S:TD^s_µ→T TD^s_µ

; X 7→T P(Z◦X).

Bemerkung 8.2 • Wir werden T P in Kapitel 10 genauer bestimmen.

• Satz 8.1 kann bewiesen werden unter Benutzung der Formel, die sich auf

∇ und ∇¯ bezieht(vgl. Kapitel 7), sowie der Formel ∇˜ = P ◦∇¯ und der Standart-Formel f¨ur Sprays und Zusammenh¨ange

S(X) =T X◦X−

∇˜XX^l , wobei l den vertikalen Lift aufT² D_µ^s

beschreibt.

Nun betrachten wir das Euler-SpraySoben mit der Addition eines ”Kraftterms”

f.

Satz 8.3 SeiM eine kompakte Mannigfaltigkeit mit SpraySaufTD^s_µ definiert wie in Satz 8.1. Seif ∈T_eD_µ undf_η =f◦η. DefiniereF:TD_µ^s→TD^s_µ durch

F(v) =v+fη f¨urv∈TηD^s_µ.

Dann ist die nat¨urliche Einbettung TDµ im vertikalen Teil von T TD_µ^s und F wird ein glattes Vektorfeld aufTD^s_µ. (Allgemein istF C^k, fallsf ∈TeD^s+k_µ .) Insbesondere istS+F ein glattes Vektorfeld aufTD_µ^sund eine Gleichung zweiter Ordnung, womit es einen eindeutigen lokalen C^∞-Fluss hat. ¹

Nat¨urlich istS+F kein Spray, w¨ahrend S ein Spray ist. Bedenke auch, dass f ∈TeDµ bedeutet, dassf ein glattes divergenzfreies Vektorfeld aufM ist.

Korollar 8.4 In Satz 8.3 sei c_f(t)eine Integralkurve f¨ur S+F inTD^s_µ. Falls gilt f →0 in der H^s-Topologie, dann gilt in H^s c_f(t)→ c(t), einer Integral- kurve f¨ur s(alle Integralkurven mit denselben Anfangswerten).

Dies folgt, da der Fluss eines glatten Vektorfeldes stetig vom Vektorfeld abh¨angt.

Bemerkung 8.5 Nat¨urlich k¨onnte man in Satz 8.3 erlauben, dassf zeitabh¨angig ist, womitS+F ein glattes zeitabh¨angiges Vektorfeld aufTD^s_µ w¨urde.

1Man kann zeigen, dassS+F Integralkurven hat, sogar f¨urk= 0.

9 Regularit¨ at, Bemerkungen zu Vollst¨ andigkeit und Benutzung von anderen Funktionenr¨ aum- en

Das Hauptresultat aus diesem Kapitel ist, daß geodetische Kurven in D^s_µ in gleiem Maße differenzierbar sind wie ihre Anfangswerte. Dies hat die wichtige Konsequenz, daß die Zeit der Existenz einer geodetischen Kurve nicht von s abh¨angt, so daß eine geodetische Kurve mitC^∞-Anfangszust¨anden eine Kurve inDµ ist. In anderen Worten: Der geodetische Fluß aufD_µ^s grenzt ein, wie man einen Fluß aufDµ definiert.

Satz 9.1 SeiM kompakt,s >(n/2) + 1und η(t)∈ D_µ^s eine geod¨atische Kurve f¨ur die Metrik <, >. Wenn η(0) ∈ D^s+k_µ und η⁰(0)∈ Tη(0)D_µ^s+k, dann ist η(t) H^s+k auf M f¨ur alletf¨ur dieη(t)in D_µ^s definiert wurde. Hier:0≤k≤ ∞.

Dasselbe gilt f¨ur jede rechtsinvariante glatte Gleichung zweiter Ordnung, die aufTD^s_µ (f¨ur alles)definiert ist. Wenn∂M =∅, dann giltη(t)∈ D^s+k_µ .

Man bemerkt an dieser Stelle, daß es nicht notwendig ist, ¨uberallH^s-R¨aume zu benutzen. Wenn man stattdessen H¨older-R¨aume C^k+α, k ≥ 1, 0 < α <

1 betrachtet (oder die Λ^k+α-R¨aume, der Abschluß von C^∞ in C^k+α) erh¨alt man eine Gruppe von Diffeomorphismen C^k+αD, eine Untermannigfaltigkeit C^k+αD_µ und eine Exponentialabbildung.

Es folgen ein paar Bereiche, in denen es m¨oglicherweise nicht klar ist, wie man die H¨older-R¨aume anstatt vonH^sbenutzt. Diese beziehen Situationen mit ein, in denen wir die Hilbert-Raum-Struktur vonH^s brauchen.

Bemerkung 9.2 (i) Satz 6.1 bleibt erhalten f¨ur die C^k-R¨aume, k ≥ 1, und die H¨older-R¨aume C^k+α, k≥1,0 < α <1, anstelle der Sobolev-R¨aume. Man muß einzig zeigen, daßC^k+αXN und C^k+αXp, k≥1,0 ≤α <1, geschlossene Komplemente in C^k+α haben.

(ii) Die Theoreme in Kap. 7 und 8 kann man ¨ubertragen zu dem H¨older- Raum-FallC^k+α,k≥1,0< α <1, (aber nicht dieC^k-Rume!).

Man kann zeigen (siehe auch Kap. 10,11), daß wennM eine berandeter De- finitionsbereich imR²ist, undX ∈C^1+α(T M), (divX = 0, X parallel zu∂M), dann existiertη(t) = ˜E(tX)∈C^1+αDµ f¨ur allet, was bedeutet, da die L¨osung der Euler-Gleichungen fr alle Zeiten existiert. Mit dem obigen Regularit¨atstheo- rem (9.1) wissen wir, da wennX H^s ist,s≥3, (bzw.C^k+α, k ≥1,0< α <1 oderC^∞), dann istη(t)H^s(bzw.C^k+αoderC^∞) f¨ur alle t, aufint(M). (Die- selben Methoden funktionieren f¨ur jede 2-Mannigfaltigkeit.)

Nun ist ˜E die Exponentialabbildung einer homogenen schwachen riemann- schen Mannigfaltigkeit, (D_µ^sabgebildet auf sich selbst mit Rechtsmultiplikation, Metrikerhaltend) und es ist ein Standardergebnis in Riemannscher Geometrie, daß die Exponentialabbildung fr eine homogene Mannigfaltigkeit ¨uberall defi- niert ist(hat einen vollst¨andigen zugeh¨origen Fluß). Leider ist dieses Ergebnis nicht auf schwache Metiken verallgemeinert.

Es ist m¨oglich, eine glatte rechtsinvariante starke Metrik <, >^s auf D_µ^s zu konstruieren. F¨urX, Y ∈Te(D_µ^s) definiere< X, Y >^s=< X, Y >+<∇^sX, Y >, und erweitere diese Metrik aufT(D_µ^s) durch Rechtsinvarianz. Diese Metrik ist glatt.

Bemerke, da Vollst¨andigkeit des Flusses in einemH^s-Raum(oderC^k+α) mit s > (n/2) + 1 (oder k ≥ 1,0 < α < 1) Vollst¨andigkeit in allen impliziert, eingeschlossenC^∞.

10 Zusammenhang mit den klassischen Gleichun- gen

Wir zeigen nun, wie die L¨osungen f¨ur Vektorfelder, die wir in den vorigen Kapi- teln erhalten haben, mit den klassischen Gleichungen in Beziehung stehen. Wir werden zeigen, warum die klassischen Euler-Gleichungen Ableitungen verlieren, das VektorfeldS:TD^s_µ−→T²D^s_µ jedoch nicht.

SeiM kompakte Mannigfaltigkeit. SeiZ:T M −→T²M das zu der Metrik vonM geh¨orende Spray und

S:TD^s_µ−→T²D^s_µ X 7−→T P(Z◦X)

sei das zu der schwachen riemannschen Metrik<, >aufD^s_µgeh¨orende Spray.

UmS in einer klareren Form auszurechnen, m¨ussen wirT P berechnen. Dazu benutzen wir die folgende Notation.

Seiπ:T M −→M die Projektion, so daß T π:T²M −→T M. Ein Element w∈T²M istsenkrechtgenau dann, wennT π(w) = 0 (in Koordinaten: die dritte Komponente ist Null). Seiv, w∈T_mM. Definiere denLIFT VON w relativ zu v durch

(w)^l_v= _dt^d(v+tw)|_t=0∈T_v²M.

F¨urv= 0 definiert dies eine AbbildungT_mM −→T²M, denkanonischen senkrechten Lift.

Klar ist (w)^l_v senkrecht,π₁(w)^l_v =v, π₁ :T²M −→T M die Projektion; in Ko- ordinaten:

(w)^l_v= (m, v,0, w)∈T²M.

Wenn vklar aus dem Kontext ist, schreiben wir es nicht. Man kann einfach nachpr¨ufen, daß es eine Abbildungf :M −→T²M gibt, die senkrecht ist genau dann, wennf =σ^l f¨ur ein σ:M −→T M(der Lift unter Ber¨ucksichtigung von π1◦f).

Satz 10.1 (i) SeiX :M −→ T²M eine H^s-Abbildung, dieη ∈ D^s ¨uberdeckt.

Dann k¨onnen wir schreiben

X =σ_v^l+T(g◦η⁻¹)◦gwobeig:M −→T M, σ:M −→T M, undv=π1(X).

σ^lundT(g◦η⁻¹◦g sindH^s−1-Abbildungen.

(ii) Sei P die Projektionsabbildung , die in 7.1 definiert ist. dann gilt f¨ur σ:M −→T M und v:M −→T M,(η∈ D^s_µ ¨uberdeckend),

T P[(σ)^l_v] = (P(σ))^l_P(v).

(iii) F¨ur g:M −→T M, η∈ D_µ^s uberdeckend,¨ T P(T(g◦η⁻¹)◦g) ={T(Pe[g◦η⁻¹])} ◦g

wobeiPedie ¨ubliche Projektion auf den divergenzfreien Teil (parallel zu∂M).

Bemerkung 10.2 WennX H^sist, sind die zwei Summanden in (i) nurH^s−1. Dies h¨angt davon ab, wie sichX zusammensetzt. In (ii) und (iii) erh¨altT P die differenzierbarkeit sener argumente. daher, wenn wirT P in (i) verwenden, ver- lieren wir die Ableitungen in jedem Ausdruck einzeln, aber nicht in der Summe.

Weiter unten werden wir ausf¨uhrlicher auf deisen Punkt eingehen.

Satz 10.3 Das Spray S(X) = T P(Z◦X) auf TD_µ^s ist wie folgt gegeben: Sei X ∈TηD_µ^s. Dann gilt

T P[(σ)^l_v] = (P(σ))^l_P(v).

Es folgen nun mehrere Bemerkungen, die helfen sollten, den Verlust der Ableitungen zu erkl¨aren. Sei X ein Element von T_eD_µ^s, so daß X ein H^s- divergenzfreies Vektorfeld ist. DaZ C^∞ ist, ist klar, daß

Z ◦X =T X◦X− ∇XX H^s ist(obwohl die Ausdr¨ucke einzelnd nicht H^s sind). Da T P(Z ◦X)H^s ist, finden wir, Z ◦X verglichen mit 10.2, daß das erhaltene gilt. WennX H^sist,∂X = 0 und

∇xX =Y +dp

ist die Hodge-Komposition von∇XX, dann istdp H^s, obwohl∇XX undY nurH^s−1sind. Dies wollen wir erkl¨aren. Sei nun

∂dp=4p=∂∇XX.

Berechnen wir∂∇XX im euklidischen Raum(der allgmeine Fall ist analog).

Wenn X KoordinatenXⁱ hat, haben wir (∇_XX)ⁱ = Σⁿ_j=1X^{j ∂X}_∂xjⁱ

so daß

∂∇_XX =div∇_XX = Σ_jj, i^∂X_∂xi^j∂X_∂xjⁱ,

die zweite Ableitung von X ist weggefallen, da divX = 0. Da XH^s ist, ist∂∇XXH^s−1. Daher ist4pH^s−1. Bei Regularit¨at des Laplace-Operators ist pH^s+1an inneren Punkten, als istdpH^s. Jetzt kann man zeigen, daß die Normal- Komponente vondp H^sist(H^s−1/2bei Beschr¨ankung auf∂M). Tats¨achlich ist

ndp=n(∇XX).

Wie man weiß ist n(∇XX) = S(X, X) die zweite Fundamentalform von

∂M und S ist ein (glatter) Tensor. Dadurch hat n(dp) = S(X, X) dieselbe Differenzierbarkeit wieX. Also istdp H^s und nicht nurH^s−1.

Es ist genau die obige geometrische Natur der Euler-Gleichungen, die diese Methoden zu arbeiten richtig macht.

Jetzt sind wir bereit, die Euler-Gleichungen zu erhalten. Wir erhalten sie direkt unter Benutzung der Formel aus 10.2 f¨ur ein geodetisches Spray.

Lemma 10.4 Sei S :TD^s_µ −→T²D_µ^s eien rechtsinvariante Gleichung zweiter Ordnung mit (lokalem) FlußFt. Sei

Ht:TeD_µ^s−→TeD_µ^s

H_t(v) = (F, v)◦η_t⁻¹ ;η_t= ˜π(F, v),

˜

π:TD_mu^s−→ D_mu^s die Projektion. Dann ist H_t ein lokaler Fluß erzeugt vonY, wobei

Y(v)^l₀=S(v)−T v·v

(der Definitionsbereich von Y istH^s+1). Umgekehrt, wennvteine Integral- kurve von Y inH^s ist undvt den Flußηt∈ Dmu^s(siehe (8.5)), dann gilt

Ft(v) =vt◦ηt.

F¨ur die Euler-Gleichungen benutzt man das Folgende, was die obige Arbeit zusammenfaßt.

Satz 10.5 SeiM eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit undSf =S+F die Gleichung zweiter Ordnung, die auf TD_µ^s in 11.2 konstruiert wurde. Wenn dannvteine Integralkurve von Sf in TD^s_µ ist, s >(n/2) + 1, und

ˆ

v_t=v_t◦η⁻¹_t ,η_t=π(v_t),

dann ist vˆ_t eine Integralkurve des Vektorfelds auf T_eD^s_µ(Definitionsbereich T_eD^s+1_µ ) gegeben durch

Y(u) =−Pe(∇uu) +f.

Umgekehrt, wennuteine Integralkurve vonY(u)inH^smit Flußη ist, dann istut◦ηt eine Integralkurve in TD_µ^s vonSf.

Bemerke, daß, verglichen mit 10.2, Lemma 10.1 den AusduckT u◦uverliert, so daß der verbliebene Ausdruck nurH^s−1 ist f¨ur u∈H^s(die Ursache f¨ur den Ableitungsverlust).

10.2 wird in klassischer Notation in Kap. 11 neu formuliert.

Satz 10.6 Sei M eine kompakte Mannigfaltigkeit und E+νT˜ das Vektorfeld aus 13.1,

E+νT˜:TD_µ^s −→T²D^s−2_µ

wobei T =−4=∇². Wenn danns >(n/2) + 1 + 2·2 = (n/2) + 5habne wir: eine Kurve vt∈TD^s_µ ist eine Integralkurve des Vektorfelds

Y :TeD_µ^s −→TeD_µ^s−2 gegeben durch

Y(u) =ν∇²u−P_e(∇u(u)) +f.

11 Zusammenfassung der Ergebnisse in klassi- scher Notation

In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der vorigen Kapitel in klassische No- tation umgeschrieben, so dass die Natur der speziellen Ergebnisse deutlicher gesehen werden kann. Zuerst betrachten wir f¨ur die Euler-Gleichungen das fol- gende Anfangswertproblem. Da die Ergebnisse alle klassisch sind, kann man die Ableitungen w¨ortlich interpretieren. Man beachte, dass es auf dem Definitions- bereich vonM keine topologischen Restriktionen gibt.

11.1 Problem (Euler-Gleichungen)

SeiM eine kompakte riemannsche orientierte n-Mannigfaltigkeit und seif ein gegebenes divergenzfreies C^∞-Vektorfeld aufM. Finde ein zeitabh¨angiges Vek- torfeldu_t (und infolgedessen den zugeh¨origen Flussη_t), so dass

1. u₀ ist ein gegebener Anfangswert mit divu₀= 0, 2. ^∂u_∂t^t +∇_utu_t=gradp_t+f f¨ur einp_t:M →Rund 3. divu_t= 0.

Wegen 3. und der Hodge-Zerlegung, ist grad p_tbestimmt durch die Zerlegung

∇_utu_tf¨ur∇_utu_t. Auch hatten wir bereits die NotationP_e(∇_utu_t) =∇_utu_t−dp_t. Wie in Kapitel 8 erl¨autert, k¨onnen wir zulassen, dassf zeitabh¨angig ist und wir hatten zur Vereinfachungf C^∞ gew¨ahlt (generell sollte f¨ur L¨osungen inH^s, f inH^ssein).

Wir merken an, dass die Euler-Gleichung unter Benutzung der Lie-Ableitung anstatt der covarianten Ableitung umgeschrieben werden kann: Pe^(∇uu) = Pe(Luu), wobei ˜˜ udie durch die Metrik zuugeh¨orige Form ist, w¨ahrend ∇uu undLuu˜sich durch einen Gradienten unterscheiden, und zwar grad <u,u>

2

. Wir nennen den Fluss ηt von ut die Struktur des Fluids. Von 10.5 sehen wir, dassηt die geod¨atische Kurve ist (fallsf = 0), die bei ein Richtung u0 in D^s_µ startet.

Die station¨aren L¨osungen (z.B. u0 =ut, ηt =Fluss vonu0) treten genau dann auf, wenn∇u₀u0−f exakt ist, z.B.Pe(∇u₀u0) =f. Nat¨urlich gibt es station¨are L¨osungen.

11.2 Ergebnisse f¨ ur die Euler-Gleichungen

Seis > ⁿ₂+ 1.²

1. Existenz und Eindeutigkeit Fallsu₀ einH^s Vektorfeld ist und divu₀= 0, dann gibt es eine eindeutige L¨osung u_t, definiert f¨ur −τ < t < τ f¨ur ein τ >0;u_t ist einH^s-Vektorfeld und ist C¹ als Funktion von (x, t) f¨ur

−τ < t < τ undx∈M. Die Strukturη_tist einH^s- (insbesondere ein C¹-) volumenerhaltender Diffeomorphismus.

2Wir haben die Eindeutigkeit nur f¨urs >ⁿ₂+2 gezeigt. Dennoch kann man es hier beweisen durch ein klassisches Argument oder dadurch, dassH^s⊂C^1+αf¨ur einα >0, fallss > ⁿ₂+ 1 und unter Benutzung der Tatsache, dass 3.2 gilt f¨urC^1+α.

2. Stetige Abh¨angigkeit von Anfangswerten F¨ur jedesu₀ istτ >0 in 1.

einheitlich in einer ganzen H^s-Umgebung von u₀ abh¨angig und die Ab- bildung u0 →ut ist stetig f¨ur jedes t ∈(−τ, τ). Jedesut ist eine stetige Kurve in H^s und insbesondere ist lim_t→0ut=u0in der H^s-Topologie³. 3. Regularit¨at von L¨osungen Falls u0 C^∞ ist, so istut im Inneren vonM

und als Funktion von (t, x) istutC^∞ und so langeut definiert ist, ist ut

in H^s. Die Abbildungu0→utist glatt in der C^∞-Topologie³.

4. limf→0 Seiv^f_t die L¨osung mit Kraftf. Fallsf →0 inH^s, dann ist f¨ur jedes t v_t^f →v_t⁰in H^s;τ >0 ist unabh¨angig vonf →0.

5. Fortsetzbarkeit von t Sei (a, b) das maximale Existenzintervall der L¨osung ut. Dann ista=−∞undb=∞genau dann, wenn f¨ur jedes offene Exi- stenzintervall (a1, b1) ⊂(a, b) supa₁<t<b₁kutks <∞. Falls L¨osungen f¨ur einserweiterbar sind f¨ur allet, dann auch f¨ur alles.

6. 2-dimensionaler Fall Falls M ein beschr¨anktes offenes Gebiet in R² ist, existieren L¨osungen inC^1+αf¨ur allet∈R(so bleiben obige Eigenschaften g¨ultig f¨ur allet). (Gleiches bleibt auch f¨ur jede kompakte Mannigfaltigkeit g¨ultig).

7. ¨Uberdeckungssatz Angenommen f = 0. F¨ur jedes s existiert ein ε > 0, so dass falls η ∈ D^s_µ innerhalb εder Identit¨at in der H^s-Norm ist, dann gibt es einen eindeutigenH^s-Anfangswert u0 mit ku0ks< ε, so dass wir η1=η haben, wennηtdie Struktur (z.B. der Fluss) einer L¨osungutist.

8. Variationsprinzip Angenommenf = 0. Es gibt f¨ur jedesseine Umgebung U der Identit¨at e ∈ D^s_µ, so dass die L¨osungsstruktur ηt die eindeutige C¹-Kurve ist, die e und ηδ (f¨ur ηδ ∈ U, δ > 0) verbindet, wobei ηδ die H⁰-Energie minimiert:Rδ

0 (ut, ut)dt, wobei (u, v) =R

M < u(m), v(m)>

µ(m) und<, > die Metrik auf M und ut = η_t⁰◦η_t⁻¹ L¨osung der Euler- Gleichungen ist.

3Es wurde nicht bewiesen (und es ist vermutlich auch falsch), dass die Abbildungu0→ut

in derH^s-Topologie glatt oder auch nur Lipschitz-stetig ist.

Literatur

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