Asset Allocation mit dem Wolfe Algorithmus

Asset Allocation mit dem Wolfe Algorithmus

Frank Raulf

Hochschulschriften . Standort Meschede . Nr. 3/2015

Herausgeber

Der Rektor der Fachhochschule Südwestfalen, Professor Dr. Claus Schuster

Fachhochschule Südwestfalen Baarstraße 6

58636 Iserlohn www.fh-swf.de Layout

Dezernat 5: Hochschulkommunikation TextFrank Raulf

Bildnachweis

Titelseite: Emilian Robert Vicol Druck

WIRmachenDRUCK GmbH Mühlbachstr. 7

71522 Backnang

ISBN (print): 978-3-940956-38-5 ISBN (elektr.): 978-3-940956-39-2 www.fh-swf.de/cms/hochschulschriften Meschede 2015

Frank Raulf

Zusammenfassung: Das Risiko eines Portfolios konvergiert bei einer größer werdenden Zahl an Assets gegen das Marktrisiko. Die Zahl der Assets die dafür nötig ist, ist enorm groß. Bei geschickter Gewichtung kann diese Zahl verringert werden. Die Aufgabe der Portfoliooptimierung ist es, die optimalen Gewichtungen für die Vermögenswerte zu finden, sodass der Nutzen des Investors größtmöglich ist. In der Theorie und der Praxis ist diese Aufgabe nicht leicht zu lösen, da es auf dem Weg zu einem guten Investment verschiedene Schwierigkeiten zu bewältigen und Unsicherheiten in Kauf zu nehmen gilt. Dazu gehören die Ermittlung der Liquiditätspräferenz, der Risikotragfähigkeit und der Risikotoleranz des Investors, sowie die Bestimmung des Anlagehorizontes und eines geeigneten Investment Opportunity Sets. Dieser Text beschäftigt sich ausschließlich mit der Optimierung von Finanzportfolios. Es wird ein Instrument gezeigt, welches dazu in der Lage ist optimale Gewichtungen der einzelnen Anteile zu bestimmen.

Stichworte: Portfoliowahl, Wolfe Algorithmus JEL: G 11

Hochschulschriften Standort Meschede 3/2015

1 Der Autor ist Mitarbeiter an der FH SWF.

1 Portfoliooptimierung ... 1

2 Die σ-µ-Nutzenfunktion ... 2

3 Die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung ... 8

4 Die Konkavität oder Konvexität der Zielfunktion ... 9

5 Slater Bedingung ... 10

6 Beispiel einer Anwendung ... 11

7 Abschließender Vergleich der Methoden ... 17

Literaturverzeichnis ... 20

Abkürzungen und Symbole:

bi Inhomogener Vektor

E(ri) Erwartete Rendite des Assets i

e^T Transponierter Vektor der erwarteten Renditen mi Gewichtung des Assets i

si : Künstliche Variable der Nebenbedingung i ui : Schlupfvariable der Nebenbedingung i

ρi;j : Korrelation zwischen den Zufallsvariablen i und j σi;j : Kovarianz zwischen den Zufallsvariablen i und j σ²Portfolio : Varianz eines Portfolios

µ : Erwartete Rendite eines Portfolios λ : Lagrangemultiplikator

γ : Risikoaversionsparameter

Frank Raulf²

1 Portfoliooptimierung

Ein Portfolio oder Portefeuille ist eine Zusammensetzung verschiedener Vermögensgegenstände.³ Die Eigenschaften eines Portfolios entsprechen nicht in allen Belangen einfach nur den gewichteten Einzeleigenschaften der Bestandteile. So ist das Misch- verhältnis im Bezug auf das Risiko gerade nicht linear. Werden z. B.

Wertpapiere gemischt, entspricht zwar die erwartete Rendite des Port- folios den gewichteten Einzelteilen, nicht aber das erwartete Risiko.

Dieser Umstand macht die Optimierung solcher Vermögens- zusammensetzungen schwierig und zu einem viel diskutierten Problem. Zumal die Prognosegenauigkeit auf zukünftige Entwick- lungen der einzelnen Assets bei größer werdendem Anlagehorizont immer weiter abnimmt. Bei guter Diversifikation sind individuelle Unternehmensrisiken, bis auf das Emissionsrisiko selbst, komplett aus dem Portfolio entfernbar. Die Prognose der Performance reduziert sich dadurch "lediglich" noch auf das übrig gebliebene Marktrisiko.

In der Portfoliooptimierung geht es vornehmlich um die Asset- Allocation mittels der Maximierung einer individuellen Nutzen- funktion. Dabei wird versucht eine vom Investor gewünschte und auch verträgliche Balance zwischen verschiedenen Momenten zu treffen.

Dazu gehören im klassischen Sinne das Risiko, die Rendite und die Schiefe der Verteilung (vgl. Breuer/Gürtler/Schuhmacher 2006 S. 6).

Diese Momente sind exogen für jeden Vermögenswert vorgegeben.

Aber nicht nur die Momente determinieren das optimale Portfolio, sondern auch individuelle Präferenzen, so wie die Liquiditätspräferenz und die Risikoaversion.

2 Martin Ehret, Karl Betz und Sarah Mollard sei für die konstruktive Kritik an dieser Arbeit und die Diskussionen über die Thematik gedankt.

3 Die Begriffe Vermögensgegenstände, Vermögenswerte; Werte und Assets werden synonym verwendet.

In der klassischen Portfoliooptimierung wird die Liquiditäts- präferenz eines Investors für das jeweilige Investitionsprojekt zumin- dest kurzfristig, also zum Zeitpunkt des Investments selbst, als konstant angesehen. Es geht um die Frage nach dem Cash-Anteil am Gesamtportfolio.

Die Risikoaversion eines Investors besteht aus Risikotragfähigkeit und Risikotoleranz (vgl. Spremann 2008 S.19). Beides findet sich in einem kurzfristig konstanten Risikoaversionsparameter, der nach- folgend mit Gamma (γ) bezeichnet werden soll.

Aus diesen Aussagen ergibt sich, dass ein Rebalancing (Neuge- wichtung) eines bestehenden Portfolios erst notwendig wird, wenn sich die Risikoaversion, die Liquiditätspräferenz oder die Momente ändern. Es kommt dabei allerdings auch auf die gewählte Strategie an.

Wird eher einen „Buy-and-Hold-Ansatz“ oder eher ein totaler- Rebalancing-Ansatz, bei dem alle Assets regelmäßig ausgetauscht werden, gewählt? Jede Linearkombination dazwischen wäre denkbar.

Eine Neugewichtung wird de facto nur dann durchgeführt, sobalt die Momente und die Liquidität mit den Präferenzen über ein zuvor definieres Maß hinaus kollidieren.

Die Liquiditätspräferenz und der Risikoaversionsparameter müssen individuell für jeden Investor erforscht werden. Dies geschieht üblicherweise durch Befragungen.

Eine Nutzenfunktion, welche all diese Aspekte beinhaltet nennt sich σ-µ-Nutzenfunktion. Das σ steht für das Risiko, welches nachfolgend als Standardabweichung bzw. Varianz, also σ² bezeichnet werden soll.

Das µ ist die erwartete Rendite des Portfolios.

2 Die σ-µ-Nutzenfunktion

Zusammengefasst beinhalten die nachfolgenden klassischen Nutzenfunktionen die Rendite, das Risiko und implizit auch die Liquidität (hierauf wird an späterer Stelle noch näher eingegangen).

Als erstes sollen nachfolgend die gewählten Momente genau definiert werden, um dann die Nutzenfunktion herzuleiten.

µ=

∑

i=1 n

E(r_i)⋅m_i (1)

Die erwartete Rendite eines Portfolios errechnet sich durch seine (mit mi = Gewichtung) gewichteten erwarteten Einzelrenditen E(ri).

Das Risiko eines Portfolios errechnet sich hingegen nicht linear, sondern ist abhängig von dem gegebenen Schwankungsausgleich der einzelnen beinhalteten Assets. Die nachfolgende Abbildung zeigt die Renditen einzelner (fiktiver) an der Börse notierter Wertpapiere über die Zeit.

Abbildung 1: Schwankungsausgleich

Zunächst sei angemerkt, dass der Schwankungsausgleich in der Abbildung 1 bewusst übertrieben dargestellt wurde. Nur in seltenen Fällen ist der Effekt der Diversifikation zwischen nur zwei Assets so ausgeprägt. Außerdem könnte sich der negative Zusammenhang zwischen den Wertpapieren in Zukunft leicht ändern, sodass wesentlich mehr Wertpapiere im Portfolio enthalten sein sollten. Die Mischung aus beiden Wertpapieren a und b ist die fette Linie, bei der die geringere Schwankung direkt ins Auge sticht. Der Schwankungs- ausgleich ist nicht perfekt, denn sonst wäre das Portfolio aus a und b einfach nur eine waagerechte Gerade. Die Schwankung der fetten Linie ist die Schwankung des Marktes, bestehend aus Asset a und b. Um den wahren Markt nachzubilden müssten also wesentlich mehr Vermögenswerte aufgenommen werden. Eine Aussage über die genaue Zahl an, im Portfolio enthaltenen, von der Gewichtung her gleichen Wertpapieren, kann nicht getroffen werden, da es, wie in der Abbildung zu sehen ist, auf die Stärke des Schwankungsausgleiches ankommt. Je mehr Wertgegenstände dem Portfolio hinzu gemischt werden, desto weiter konvergiert das Gesamtrisiko des Portfolios gegen das Marktrisiko.

Abbildung 2: Diversifikationseffekt bei steigender Anzahl der Vermögenswerte:

In der Abbildung wird absichtlich auf eine Empfehlung, was die optimale Zahl der Vermögenswerte angeht, verzichtet, da diese, wie bereits angedeutet über die Gewichtung in gewissem Maße variabel ist.

Während beispielsweise bei gleichen Gewichtungen für eine ausreichende Reduktion des Unternehmensspezifischen Risikos 30 Assets von Nöten sind (schwarze Kurve), so ist bei geschickter Gewichtung nur eine Anzahl von ≤ 30 notwendig (gestrichelte Kurve).

In diesem Kontext sind also zwei Entscheidungen nötig:

1. Welche Werte werden mit aufgenommen?

Also die Bestimmung des "Investment Opportunity Sets".

2. Wie werden die übrigen Werte gewichtet?

Die erste Entscheidung wird vor der eigentlichen Optimierung getroffen. Die Nutzenfunktion muss also nur die zweite Entscheidung, über das Optimierungskalkül, übernehmen. Werden Wertpapiere untereinander vermischt, so gleichen sie sich in ihrer Schwankung aus.

Wird die Schwankung (Varianz) zweier aufaddierter Zufallszahlen (a und b) gemessen, so gilt die Regel von Bienaymé:

σ₍²_a+b)=σ_(a²₎+σ_(b)² +2σ_{(a ,b)} (2)

Diese Regel enthält noch nicht die variablen Gewichtungen m, durch die der Schwankungsausgleich erst möglich wird. In Gleichung 2 sind die Gewichtungen für a und b jeweils 100%, was keinem Misch- verhältnis entspricht und somit auch noch keine Varianzreduktion

bewirken kann.⁴ Werden die Zufallszahlen in Gleichung 2 gewichtet und die Varianz nun allgemein für n und nicht nur für zwei Zufalls- zahlen dargestellt, entsteht die in der Literatur übliche Darstellungsart für die Varianz eines Portfolios:

σ_Portfolio² =

∑

i=1 n

∑

σ_{i ; j}⋅m_i⋅m_j (3) mit i=1, 2, 3,...,n und j=1, 2, 3,...,n.

Die Gewichtungen wiegen jeweils weniger als 100%.⁵ Ein Produkt aus den beiden Gewichtungen ist demnach noch wesentlich kleiner (maximal 0,5*0,5=0,25).

Wenn die Summenzeichen aus 3 aufgelöst werden, ergibt dies folgende Systematik in Matrizendarstellung:

σ_Portfolio² =(m₁;m₂...m_n)⋅

(

)

⁽

⁾

Jetzt, da die erwartete Rendite und die Varianz eines beliebigen Portfolios definiert sind, wird als nächstes die Nutzenfunktion her- geleitet. In der Literatur (wie z. B. bei Reinschmidt 2005 S. 15 oder bei Daxhammer/Fascar 2012 S. 45) wird das Minimum Varianz Portfolio (MVP) als ein für einen risikoaversen Investor optimales Portfolio bezeichnet. Das stimmt allerdings aus zweierlei Gründen nicht. Erstens führt die Tobin Separation durch beimischen eines risikolosen Assets zum Marktportfolio zu effizienteren Risiko-Rendite-Kombinationen (vgl. Zimmermann 2009 S. 167). Zweitens würde ein Individuum, welches auch Rendite erwartet, nicht in das Minimum Varianz Port- folio investieren, weil schon der geringste Renditewunsch zu einem Abweichen vom MVP führt (siehe hierzu Gleichung 5). Aber auch ein nur auf Risikominimierung ausgerichtetes Verhalten würde nie zur Investition in risikoreiche Portfolios führen, wenn eine Nicht-investi- tion ein geringeres Risiko aufweist.

4 Die Varianz reduziert sich in diesem speziellen Fall nur durch eine negative Kovarianz

5 In einigen Fällen führt eine Gewichtung von über 100%, die stets durch negative Gewichte ausgeglichen wird, zu einem optimalen Ergebnis.

Eine plausiblere Variante ist es, Überlegungen über den von der Rendite und dem Risiko ausgehenden Nutzen anzustellen. Vereinfacht gesagt, ist die Rendite gut und das Risiko schlecht. Es wäre also sinnvoll das Risiko von der Rendite abzuziehen. Allerdings bewertet nicht jedes Individuum die Rendite und das Risiko exakt gleich. Vor allem nicht vor dem Hintergrund der unterschiedlichen Definitions- möglichkeiten des Risikos. Wird mit der Varianz gearbeitet, ist das Ergebnis ein anderes, als wenn mit der Standardabweichung gearbeitet wird. Daher wird das Risiko gewichtet. Diese Gewichtung entspricht sachlogisch dem Risikoaversionsparameter. Das gewählte Risikomaß ist unerheblich für die Optimierungsfrage, denn es wird nicht nach der absoluten Höhe des Nutzens, sondern nach der Zusammensetzung der Bestandteile gefragt. Die Nutzenfunktion muss dafür transitiv und vollständig sein. Eine entsprechende Nutzenfunktion (UPortfolio), die die Präferenzordnungen erfüllt, hat somit folgendes Aussehen:

U_Portfolio=µ−γ σ²_Portfolio (5)

Der Cashanteil, der der Liquiditätspräferenz Rechnung trägt, muss nicht (kann aber) mit in diese Funktion aufgenommen werden. Er wäre dann konstant für den individuellen Investor und sollte dann vor dem Kauf von Wertpapieren bestimmt werden. Die Verteilungsschiefe der einzelnen Assets bzw. des gesamten Portfolios wird außer Acht gelassen, was in der wissenschaftlichen Literatur selten (z. B. bei Kat/Amin 2002) aber berechtigt auf Kritik stößt. Die Varianz wird gegenüber der Standardabweichung bevorzugt, weil es einfacher ist mit dieser zu rechen. Die möglichen Gewichtungen der Vermögens- anteile sind in der Gleichung 5 in Summe unbeschränkt. Um diese einzugrenzen wird die Summe aller Gewichtungen auf eins restringiert.

∑

m_i=1 (6)

Unter dieser Nebenbedingung kann die Gleichung (5) mit einem einfachen Lagrangeverfahren optimiert werden. Die Restriktion verbietet ungünstiger Weise keine Leerkäufe und Leverages (vgl.

Breuer/Gürtel/Schumacher 2010 S. 184). Das heißt, dass durchaus negative Gewichtungen (Shortings / Leerkaufe) durch Gewichtungen, die über 100% liegen (Leverages) ausgeglichen werden können. Um diesem Problem zu entgegnen, reicht es aus, wenn alle Gewichtungen

≥0 restringiert werden. Damit ist es nicht mehr möglich, eine einzelne

Gewichtung von über eins oder unter null zu erhalten. Da es sich aber um Ungleichungen als Nebenbedingungen handelt, ist die einfache Lagrangemethode nicht mehr einsetzbar. Zur Veranschaulichung diene das nachfolgende Beispiel.

Abbildung 3: Nichtlineares restringiertes Optimierungsproblem U=f(X;Y):

Diese Funktion U=f(X,Y) unter der Restriktion Y+X-1=0 hat ihren Lagrange-Sattelpunkt (Extremwert) im Punkt 1. Wäre die Restriktion hingegen von der Form Y+X-1≤0, wäre der Extremwert im Punkt 2.

Nur im Falle der Restriktion Y+X-1≥0 würde eine einfache standardmäßige Lagrangeoptimierung zum gleichen Ergebnis führen.

Die einfache Lagrangetechnik funktioniert nur bei Gleichungen als Nebenbedingungen. Sobald Ungleichungen bemüht werden, ist eine Ergänzung der Methode erforderlich. In älterer Literatur wird diese Ergänzung Kuhn-Tucker-Bedingung genannt, da diese von Kuhn und Tucker 1951 beschrieben wurde. Erst später wurde festgestellt, dass Karush bereits 1939 die gleichen Gedanken zu Papier brachte. Seither heißt die Methode Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung (vgl. Domsche/

Drexel 2010 S.192).

3 Die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingung

Für die aufwendige Herleitung und den Beweis sei an dieser Stelle auf die einschlägige Literatur verwiesen.⁶ Die Karush-Kuhn-Tucker- Bedingung wird bei Ungleichungen als Nebenbedingungen angewandt.

Übertragen auf ein nichtlineares Optimierungsproblem sieht die An- fangssituation folgendermaßen aus (i von 1 bis n):

U=f(m_i)→max ! (7) unter den Nebenbedingungen:

g_j(m_i)≤0 (8) m₁; m₂;...m_n≥0 (9)

Jetzt wird die Lagrangefunktion gebildet. Anders als bei der einfachen Lagrangetechnik ist es durch die Ungleichungen von Belang, ob die Nebenbedingungen auf die Zielfunktion aufaddiert oder von dieser subtrahiert werden.

Werden die Nebenbedingungen der Form ami ≤ b bei einer Maximierung nach ami -b ≤ 0 umgestellt, so werden diese subtrahiert.

Wenn sie nach 0 ≤ b -ami umgestellt werden, werden diese stattdessen addiert. Nebenbedingungen der Form ami ≥ b werden, wenn sie nach ami -b ≥ 0 umgestellt werden addiert und wenn sie nach 0 ≥ b -ami

umgestellt werden subtrahiert. Bei Minimierungsaufgaben wird die komplette Logik umgedreht.

Für obiges Beispiel gilt also (i von 1 bis n und j von 1 bis k):

L(m_i;λ_j)=U(m_i)−λ_jg_j(m_i) →max ! (10) Anschließend wird abgeleitet:

∂L

∂m_i≤0 (11)

∂L

∂ λ_j≥0 (12)

Die partielle Ableitung hin zu jedem mi wird bei Maximierungen ≤ 0 bei Minimierungen ≥ 0 gesetzt. Die partiellen Ableitungen hin zu den

6 Siehe hierzu Horst, R. Nichtlineare Optimierung 1979 S. 179

Lagrangemultiplikatoren λ behalten ihr Relationszeichen. Es dreht sich hier lediglich durch die pflichtmäßige Subtraktion.

Zusätzlich muss noch die Bedingung des komplementären Schlupfes erfüllt sein:

∂L

∂m_i⋅m_i=0 (13)

∂L

∂ λ_j⋅λ_j=0 (14) m₁;m₂;...m_n≥0 (15)

Der Wolfe Algorithmus macht sich diese Bedingung zu Nutze und kann, sofern die nachstehende Bedingung der Konkavität der Ziel- funktion und die Slater Bedingung erfüllt sind, das in Rede stehende quadratische Portfoliooptimierungsproblem mittels der Simplex Methode lösen (vgl. Zimmermann 2008 S.210).

4 Die Konkavität oder Konvexität der Zielfunktion

Werden die Gleichungen 1 und 3 in Gleichung 5 eingesetzt, ergibt sich eine Zielfunktion, welche hier in Matrizenschreibweise dargestellt wird:

U_Portfolio=e^T⋅m−γ⋅m^T⋅C⋅m (16)

Wobei e^T der transponierte Vektor der erwarteten Renditen der einzelnen Assets ist und m der Gewichtungsvektor. Zur Erinnerung: γ ist der Risikoaversionsparameter, der nachfolgend zur einfacheren Darstellung auf 0,5 festgelegt wird. Von Interesse ist bei der Frage nach dem Krümmungsverhalten nach der Hurwitzschen Regel die Hessesche Matrix, welche bis auf den Skalar 2, der durch die Differenzierung der quadratischen Zielfunktion bedingt ist, gleich der Matrix C ist. Ist die Matrix C positiv (oder negativ) (semi-)definit, dann ist die Ausgangsfunktion U Konkav (bzw. Konvex).

Das ist bei Varianz-Kovarianz-Matrizen praktisch immer gegeben, denn die Kovarianz berechnet sich durch:

σ_ij=ρ_ij⋅σ_i⋅σ_j (17)

Mit ρi;j=Korrelation zwischen Zufallsvariable i und j. Die Korre- lation liegt zwischen eins und minus eins. Wenn die Matrix C also nicht positiv definit ist, so ist sie im Falle von ρi;j=1 und ρi;j=-1

zumindest positiv semidefinit. Im Falle der Portfoliooptimierung nach Nutzenfunktionen der Form 16 ist die Konvexität bzw. die Konkavität immer gegeben.

Eine zusätzliche Bedingung, die zur Durchführung des Wolfe Algorithmus unerlässlich ist, ist die Slater Bedingung.

5 Slater Bedingung

Die Slater Bedingung verlangt, dass es innerhalb eines geschlos- senen konvexen Polyeders aus Nebenbedingungen mindestens einen zulässigen inneren Punkt gibt (vgl. Domschke/Drexel 2010 S. 191).

Falls die Zielfunktion konkav ist (was sie in der Portfoliooptimierung immer ist) und die Slater Bedingung erfüllt wird, dann ist die Karush- Kuhn-Tucker-Bedingung hinreichend und notwendig dafür, dass es ein Maximum gibt (vgl. Domschke/Drexel 2010 S. 192). Die Slater Bedingung schließt also ein offenes Polyeder aus. Die nachfolgende Grafik zeigt ein unzulässiges Nebenbedingungssystem.

Abbildung 4: Verletzung der Slater Bedingung

Die Nebenbedingungen der Abbildung 4 sind:

m_a+m_b≥b (18)

m_a;m_b≥0 (19)

Dieses Nebenbedingungssystem besitzt keinen inneren zulässigen Punkt. Es erfüllt somit nicht die Slater Bedingung. Bei Neben- bedingungen der Form ami ≥ b muss also überprüft werden, ob das Polyeder geschlossen ist oder nicht. Würde im obigen Beispiel zusätzlich eine Nebenbedingung der Form

m_a+m_b≤(b+ε) (20)

mit ε > 0 eingefügt, so wäre ein innerer Punkt erreichbar und die Slater Bedingung erfüllt.

Ein Beispiel soll das Vorgehen bei der Durchführung des Wolfe Algorithmus verdeutlichen.

6 Beispiel einer Anwendung

Zwei Wertpapiere a und b sollen in einem Portfolio optimal gewichtet werden.

E(r) Varianz Kovarianz

a 0,1 0,04 0,0084

b 0,05 0,0049

Der Risikoaversionsparameter sei γ = 0,5.

Zunächst wird die Zielfunktion aufgestellt und unrestringiert maximiert. Es sei gesagt, dass die Matrix -C negativ definit ist, daher existiert ein Maximum. Das sieht man an den durchweg positiven Vorzeichen in der negativen Klammer:

U=0,1m_a+0,05m_b−0,5⋅(0,04m_a²+0,0049m_b²+2m_a⋅m_b⋅0,0084)

→max ! (21)

Die Maximierung liefert folgendes, in diesem Kontext nicht sinnvolles Ergebnis: ma=0,558; mb=9,25

Als nächstes soll die einfache Lagrangemethode bemüht werden.

Dazu wird die Nebenbedingung ma+mb=1 eingefügt und die Lagrangefunktion gebildet:

L=0,1m_a+0,05m_b−0,5⋅(0,04m_a²+0,0049m_b²+2m_a⋅m_b⋅0,0084)

−λ⋅(m_a+m_b−1)→max ! (22)

Unter der genannten Nebenbedingung ergibt sich:

ma=1,65; mb=-0,65

Dieses Ergebnis erfüllt zwar die Nebenbedingung, schließt aber einen Leerverkauf und einen anschließenden Leverage ein.

Nachfolgend werden Leerkäufe und Leverages ausgeschlossen, indem die Nebenbedingungen

m_a; m_b≥0 (23)

eingefügt werden. Anschließend muss die Überlegung angestellt werden, ob eher die Restriktion

m_a+m_b=1 (24) oder die Restriktion

m_a+m_b ≤1 (25) genommen wird.

Der Fall 24 führt zu einem Investitionszwang, weil 100% des Vermögens investiert werden müssen. Da es aber auch die Möglichkeit gibt, dass das Risiko dem Investor zu hoch ist und er eventuell daher nur einen Teil des ursprünglich geplanten Budgets in das entsprechende Portfolio investieren sollte, sollte eher die Restriktion 25 benutzt werden.

Die Abbildung 5 zeigt einen solchen Fall. Punkt 1 zeigt den Kandidaten für einen Extremwert bei ma+mb=1. Punkt 2 hingegen zeigt den Extremwert bei ma+mb≤1.

Steigt die Risikoaversion γ, so läuft der Extremwert weiter in Richtung Null. In den meisten Fällen in denen das globale Maximum/Minimum über ma+mb=1 liegt, würde das Ergebnis unter Restriktion 24 bzw. 25 gleich sein. Es sind aber auch Fälle denkbar, bei denen mehrere Extrema existieren. Abbildung 6 zeigt einen solchen Fall.

Abbildung 5: Indifferenzlinien bei einem Extremum innerhalb des konvexen Polyeders.

Abbildung 6: Zwei Extrema der Nutzenfunktion U=f(ma; mb)

Hat die graue Indifferenzlinie einen größeren Nutzen U als die schwarz gestrichelte, dann wäre die optimale Lösung unter der Restriktion ma+mb=1 im Punkt 3. Wenn der Extremwert 4 einen größeren Nutzen U als die graue, gestrichelte Linie aufweist, dann wäre der Extremwert unter der Restriktion ma+mb≤1 im Punkt 4.

Die Lagrangefunktion ist in beiden Fällen gleich Funktion 22. Die partiellen Ableitungen unter Beachtung der Karush-Kuhn-Tucker- Bedingung sind unter Nutzung der Restriktion ma+mb≤1:

∂L

∂m_a=0,1−0,04m_a−0,0084m_b−λ≤0 (26)

∂L

∂m_b=0,05−0,0084m_a−0,0049m_b−λ≤0 (27)

∂L

∂λ =−m_a−m_b+1≥0 (28)

Dazu kommt noch die Bedingung des komplementären Schlupfes 13 und 14.

∂L

∂m_a⋅m_a=0 (29)

∂L

∂m_b⋅m_b=0 (30)

∂L

∂λ⋅λ=0 (31)

Um dieses lineare Ungleichungssystem zu lösen, eignet sich die Big-M-Methode. Diese Methode basiert auf dem primalen Simplex Algorithmus. Sie verlangt also zwingend, dass der inhomogene Teil des Ungleichungssystems (Vektor bi), also die erwarteten Renditen und die eins aus der Nebenbedingung, positiv ist (Bedingung der primalen Zulässigkeit). Durch die Anwendung der primalen Simplex Methode werden alle mi automatisch positiv, weil nur positive Ergebnisse zulässig sind.

Alle Ungleichungen müssen, bevor die Big-M-Methode angewandt werden kann, in Gleichungen umgewandelt werden. Um eine Un- gleichung des Typs ami≤b zu einer Gleichung umzuformen, wird eine Schlupfvariable ui auf die linke Seite der Ungleichung addiert, weil die linke Seite der Ungleichung kleiner als die Rechte ist. Bei Ungleichungen des Typs ami≥b wird analog dazu ein negativer Schlupf

aufaddiert. Das entstehende Gleichungssystem hat dann folgende Form:

∂L

∂m_a=0,1−0,04m_a−0,0084m_b−λ+u_a=0 (32)

∂L

∂m_b=0,05−0,0084m_a−0,0049m_b−λ+u_b=0 (33)

∂L

∂λ =−m_a−m_b+1−uλ=0 (34) Werden die Gleichungen nun nach ui hin umgestellt, ergibt sich für den komplementären Schlupf:

−u_a⋅m_a=0 (35)

−u_b⋅m_b=0 (36) u_λ⋅λ=0 (37) Es gilt also:

−u_a⋅m_a−u_b⋅m_b+u_λ⋅λ=0 (38)

Für die Big-M-Methode bedeutet das lediglich, dass die jeweilige Variable⁷ bei keiner Iteration gleichzeitig mit ihrem eigenen Schlupf in der Basis stehen darf. Variablen, die nicht in der Basis stehen sind Null. Falls diese Situation nach dem Vorgehen des primalen Simplex Algorithmus aber als nächste Iteration vorgeschrieben wäre, würde einfach die zweitbeste Variable genommen.

Alle Gleichungen müssen primal zulässig sein und alle Gleichun- gen, die dann noch eine negative Schlupfvariable aufweisen, bekom- men zusätzlich noch eine künstliche Variable si. Diese künstlichen Variablen stellen sicher, dass genügend Einheitsvektoren vorhanden sind, um allen Strukturvariablen eine Lösung geben zu können. Das Gleichungssystem erhält danach folgende Form:

0,04m_a+0,0084m_b+λ−u_a+s_I=0,1 (39) 0,0084m_a+0,0049m_b+λ−u_b+s_II=0,05 (40)

m_a+m_b+u_λ=1 (41)

7 Bei der linearen Optimierung wird von Strukturvariablen gesprochen, diese sind im obigen Beispiel ma, mb und λ.

Bei Gleichungen als Nebenbedingungen würde kein Schlupf ui, wohl aber eine künstliche Variable si eingefügt.

Das so entstandene Gleichungssystem kann jetzt in ein Tableau eingesetzt werden:

ma mb λ ua ub uλ sI sII bi

sI 0,04 0,0084 1 -1 0 0 1 0 0,1

sII 0,0084 0,0049 1 0 -1 0 0 1 0,05

uλ 1 1 0 0 0 1 0 0 1

M -0,0484 -0,0133 -2 1 1 0 0 0 -0,15

Die M-Zeile ergibt sich aus der Summe der Elemente aus den Zeilen der jeweiligen Spalte darüber, in denen eine künstliche Variable existiert. Für die Spalte ma wird die 0,04 aus der ersten Zeile, da sich in der selben Zeile eine künstliche Variable befindet, mit der 0,0084 aus der zweiten Zeile, in der sich ebenfalls eine künstliche Variable befindet addiert und mit -1 multipliziert. Die Lösung des Problems, unter Beachtung des komplementären Schlupfes, errechnet sich wie bei dem primalen Simplex Algorithmus. Sobald eine der künstlichen Variablen die Basis verlassen hat wird diese weggestrichen. Die Lösung ist erreicht, sobald alle si die Basis verlassen haben und die M- Zeile zu Null geworden ist. Eigentlich müsste die -2 in die Basis aufgenommen werden, allerdings würde dann λ und uλ gleichzeitig in der Basis vorhanden sein, was nach der Bedingung des komplementären Schlupfes (37) verboten ist. Deswegen wird die nächstbeste -0,0484 genommen.

Die nachfolgenden Iterationen führen zum optimalen Ergebnis:

ma mb λ ua ub uλ sI sII bi

sI 0 -0,0316 1 -1 0 -0,04 1 0 0,06

sII 0 -0,0035 1 0 -1 -0,0084 0 1 0,0416

ma 1 1 0 0 0 1 0 0 1

M 0 0,0351 -2 1 1 0,0484 0 0 -0,1016

Jetzt darf λ in die Basis aufgenommen werden.

ma mb λ ua ub uλ sI sII bi

sI 0 -0,0281 0 -1 1 -0,0316 1 -1 0,0184

λ 0 -0,0035 1 0 -1 -0,0084 0 1 0,0416

ma 1 1 0 0 0 1 0 0 1

M 0 0,0281 0 1 -1 0,0316 0 2 -0,0184

s^II wegstreichen, da es die Basis verlässt!

ma mb λ ua ub uλ sI sII bi

ub 0 -0,0281 0 -1 1 -0,0316 1 -1 0,0184

λ 0 -0,0316 1 -1 0 -0,04 1 0 0,06

ma 1 1 0 0 0 1 0 0 1

M 0 0 0 0 0 0 1 1 0

sI wegstreichen, da es die Basis verlässt! M Zeile wegstreichen!

Das Endergebnis ist:

ma=1

Nach dieser Methode geht Wertpapier a zu 100% in das Portfolio ein, da ein Hinzumischen des Wertpapieres b zu einer Verschlechterung im Sinne des Nutzens führen würde. Die 0,06=λ stellen die Strafkosten bei Abweichung von der optimalen Gewichtung dar. Die 0,0184=ub

zeigen, dass die Restriktion mb≥0 in diesem Beispiel nicht bindend ist.

Nachfolgend werden die Ergebnisse der drei, immer restriktiver wer- denden, Methoden grafisch unterschieden.

7 Abschließender Vergleich der Methoden

Punk 1 in Abb. 7 ist der unrestringierte Extremwert. Punkt 2 ist der Sattelpunkt der Lagrangefunktion unter der Restriktion ma+mb=1.

Punkt 3 ist das optimale Portfolio, bei dem zusätzlich noch Leerkäufe und Leverages verboten sind. In diesem Fall macht es keinen Unter- schied, ob ma+mb≤1 oder ma+mb=1 bemüht wurde. In der Optimie- rungspraxis kommt es, wie auch in diesem Beispiel gezeigt, nicht selten zu einer optimalen Gewichtungsempfehlung einiger Anlagen von Null. Es ist also denkbar, dass von einem Investment Opportunity Set von beispielsweise 30 Assets nur wenige übrig bleiben, die letzt-

endlich die Nutzenfunktion optimieren. Diesem Problem kann mit Mindestanforderungen an die einzelnen Assets entgegen gewirkt werden. Würde z. B. die weitere Nebenbedingung mb≥0,05 eingefügt, würde die optimale Gewichtung zu 95% aus a und zu 5% aus b bestehen.

Abbildung 7 optimale Ergebnisse nach den drei Methoden.

Wie aber ist ein Ergebnis zu interpretieren, bei dem sich die Gewichtungen nicht zu eins summieren? Die Antwort liegt auf der Hand, denn eine Empfehlung, weniger als 100% des Vermögens einzu- setzen, bedeutet ein für den Investor im Nachhinein doch nicht mehr zu empfehlendes „Investment Opportunity Set“. Ein solches Portfolio ist schlicht und einfach zu riskant. Der übrige Teil sollte daher in risiko- ärmere Wertpapiere investiert werden. Im Portfolio fehlen demnach risikoarme Assets. Wenn risikoarme Wertpapiere hinzu gemischt werden, ist das Portfolio für das entsprechende Individuum besser geeignet. Wird einem mit dem Wolfe Algorithmus zu optimierenden

Portfolio ein risikoloses Wertpapier hinzu gemischt, so sucht der Algorithmus den nutzenoptimalen Punkt. Dieser liegt, immer auf der Kapitalmarktlinie, da jeder Punkt darunter bei einem risikoaversen Investor, der ja trotzdem Rendite wünscht, ineffizient und daher nicht optimal wäre. Der Wolfe Algorithmus führt also auch was die Tobin Separation angeht, bei endlich vielen Vermögenswerten, zu optimalen Ergebnissen.

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