Munich Personal RePEc Archive
Loss of Load Probability of a Power System
Pillai N, Vijayamohanan
Centre for Development Studies, Prasanth Nagar, Ulloor, Trivandrum, Kerala, India
1 February 2008
Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/6953/
MPRA Paper No. 6953, posted 01 Feb 2008 10:36 UTC
!
" #
$ % &
' ()*
$ !
+ , -
. ,
/
0 -
# 1
!
!
$ 0
#
2
' *
0
0
' *
#
2
2
3
!
"
4 5
,
6 ,
! ,
& %
!
7 5
2
& ' *
8 ,
% ,
)
,
#
!
2 +
)
9 ,
: +
# ; ,
-
< = < = < = < = :
!
!
! - -
!
2
6 ' *
&
4 - '
* ' * !
, ' $ *
!
$ 2' * -
' - * 2'∞* !
>
!
' * ? ' *
'@* ? ' *
∞
→
!
- - - - !
A %
- - - -
! '
* - !
! - - λ
' $ * ' * ' * ?
− λ
λ B : ! 8λ ' $ * )
λ " -
- - ';!!)* λ% ,
!
' *
' * ' * ? '− 8λ* !
− '− 8λ*
C
& µ - -
' * ' *
?
− µ µ
B : # 8µ
µ ' * ';4!* ! ;!!)
;4! - - - ';! )*
& ' DCE 6 C* 7 , & ' DCD 6 /*
' * ?
µ λ
λ +
F λ µ
µ
+
− + µ λ
! - , ' *
!
'∞* ?
µ λ
λ +
?
6 -
' * -
'∞* ' DD/ 6 9* !
' * ?
− + + +
+ ' *
* '
*
' λ µ λ µ
λ µ
λ µ
- ' - *
'∞* ? µ λ
µ +
?
G ' * ' ? : *
< = : < = ; ,
' *
' *
::' * ! ' * ? ' * ::' * ? ' * !
' < = < = < = < = *
; , H
: ' * ? . ::' * ?
µ λ
λ µ λ
λ
− +
+
+
−
µ λ
:' * ? . ' * ?
µ λ
µ µ λ
µ
− +
+
+
−
µ λ
# ?
! : ' ? * ? : % ::' ? * ? ::% :' ? * ?
:% ' ? * ?
I → ∞ ,
- ' - * ; , H
∞
→
::' * ? ::'∞* ?
∞
→
:' * ? :'∞* ? ? µ8'λFµ*
')51*
∞
→
' * ? '∞* ?
∞
→
: ' * ? : '∞* ? ? λ8'λFµ*
E
: :
:
8 8
8
= +
= +
= +
µ λ
λ µ
λ µ
: :
:
8 8
8
= +
= +
= +
µ λ
µ µ
λ λ
? ' * ' ? : *
) :? 8λ : ? 8µ :: ? . : ? . :
8λ 8µ !
;!!) ;4!
!
# λ µ
- - ' * - - ' * , !
, "
' * '∞*
' * '∞* λ µ
I ,
, ';(0* λ µ
'J DCC*
! , ';(0* λ µ
- - -
' / K * - - ' / K * 2
! , + & ' DCG 6
E* H
D
;(0 ;!!) 'λ*H λL ?∑ 8 ?
;(0 ;4! 'µ*H µL ?∑ 8 ?
! ,
λ µ
! ;(0 L ?
∑ ∑
∑
+
! ;(0 L ?
∑ ∑
∑
+
! - ' - * ,
')51* = -
G/: %
)51 ? 8
! 2 ? . )51
2 ' * < = ' *
∑ ∑
= =
−
= M M
# ? / ? :
: :
:
= +
: : : :
= +
: :
:
/ :
= +
:
: ' *
!
!
)51 ? K
? K
, :
? . H
* '
! ?
H =
∑
%
!
! ' *
? ' N ? K / ! , /
' *
- 0
' ? . * %
': *
! ! "
! #
? F /F KKF
7
1
!
)51 # - -
H
? /K /K
) /- 3-
$ H
6 /-
6
A A /
2 A A /
A 4 /F
4 A / ?
/F /
2 4 4 4 /
H ? . )51
/
/ 6 3-
6
A A / A 3
2 A A A / 3
/ A A 4 / 3F
A 4 A / 3F
4 A A / 3?
/ 3F / 3F / 3
A / 4 A 4 4 / 3F
4 A 4 / 3F
4 4 A / 3?
/ 3F / 3F / 3
2 4 4 4 4 / 3
H ? . )51
#
' *
? O
? O ' . *
/- ? ∑
≠
− *
' % ? /
3- / ?
∑
≠
≠
− *
' % ? / 3
3- / ?
∑
≠
≠
−
− *' *
' % ? / 3
3
!
!
, 2
! '
* ( - -( (5( #
I
'(5(0* ! (5(
6 ' D9G*
'(46* , 2
) H (
"
6 8 ,
' *
/ EGC:
+
+/
9
= ' ,* '4*
' * ') * !
'4≥ +*
$
, ' *
'4≥+* I , (5(0
!
' * =
) /H 0 (5(
! (5( - - , ) /
, $
$
$
1
#
, '$ % *
4 ,
( ' *
: 3C>
>
%
, ! (5(
H
(5( ?
∑
P
& =
η σ !
' ≥
*
' ≥ * ? − ' Q * ? −φ' *
? ' −η*8σ φ' *
φ' * ? ' /π*− ∫
∞
− '− /8/*
% < =
' ≥ *
!
! (5(
; (5( 3C>
C
!
! - DE: + %
-
>/H9E ') 3* "
') 9* ! 3: /9
/C9D /> ;I%
" # $ # %& ''(!')
( *)+
, -* .+
' ' + '-+
" # - , '')
&
(+
&
) *'+
/ ' '0+
0 0)+
1 2 3 -+
). ((+
& H 7 +
& H 7 +
G
+ & 0 '+&0 * //
GE > !
: &
) >H # , ' * +
DC: DC> DG: DG> DE: DE> DD: DD> /::: /::>
>::
:::
>::
/:::
/>::
3:::
3>::
& H + & 0 & " ' ( ' ( (%
6 0 2 ) " & " ' " * +
!
' # DEG*
! !
'#6* 9GC > ' * E: #6
' E9/ C * G #6 '/:GD /3 * +
A ,
,
#
E
! H 6 : " &
A # 2 4 7 -
6 6 '247 * &
' * ' * R #6 R 247
3 >F3 G > 3G > /E9 G EC CG GD >9 /G D9
& 9 / 9E E/ / 93 33 9D C /G /3
3 > 9> /3G 9 C: // CG >E /E 9G
/ > 3: >G G C: : 9> 9G /E E3
, 9 E 3/ G G C /> C3 93 3C D9
& 3 E >9 /33 9D /C DD 9G 9/ CD
& C >: 3:: 33G G >: D: GG: 3/ >G >D
+ 3 /> G> /CE 9: E 9 9C > 9C
# ,, C 3: GE: /3DG C 3> :D / 9G EE ED >E
# / 3G > G> 3E: / >G EG />9 9> CC D3
! 9GC > >C>: 3 93 CD 3C D / C9 :>
& DE: +
0 DE9-E> & : >
// 4 DGC + =
3 C
' ) >* 5 DD:
#6
!
5
DE:
+ % 8 DE/-
D
E3 C:
" # $
! /C DGE-GD ' /::3-:9*
+ & 0 '+&0 *%
+&0 = $ <' (
$ " (= :
/:: -:/ ' * +&0
', - - .- * ! # # ,, ## '3 *
# DE>-EG
# ' - *
, & 0 #
+&0 %
' ()* $ #
() (5(
%
! - - ';4!% *
: !
/% ';! )* G/:
! ' *
+ , # ,, & #
' D: * 2
' ### # * C % &
/:
'# * )51 : /D !
& )51 & #
)51 : /9% # GD
#
E 3D % & #
3
& # 3 %
3 + G- E
! /H ( 2 ) 5 1
;
A ;4! ' * )51 2
3D DG : :>>> : D99>
/ /3 /3 : :3/3 : DCGG
3 G/ >3 : ::G : EDD3
9 G9 GC : :3E : EDC/
> 9: 93 : :>C/ : D93E
C /D :D : :9:9 : D>DC
& 9D >D : :CED : D3
/ E :G : : / : DEEE
3 9: :> : :>>C : D999 9 /:G G/ : /EE> : G >
/9 : : >C : DE99 / > 9E : :/ > : DGE>
3 /C 3D : :3CG : DC33
>3 93 : / 3 : GECD
/ D> EG : 33/ : ECCE
/
, >> CD : :GG3 : D//G
/ /: E3 : :/ED : DG
3 9 E : : DG : DE:3
9 9 : : : DC : DE:9
& G3 >E : /9 : G>ED
/ /G D : GCG : E/33
3 GD 3D : :3 : EEDG
& G >E : : :> : DED>
/ 3G >D : :>// : D9GE
3 33 DC : :9G/ : D>/E
9 9 / : :>G : D9/D
> 9E /G : :CG: : D33:
C >C CG : :GEG : D/ 3
+ >/ : ::/ : DDGD
/ :D : :: > : DDE>
3 : >E : :::E : DDD/
# ,, / 99 : : G3 : DE/G
/ 9> :/ : :C/> : D3G>
3 /> /D : :3> : DC9D
9 D E/ : : 3C : DEC9
> /9 E/ : :39> : DC>>
C 9 E3 : :/:C : DGD9
# 3 G : :933 : D>CG
/ 3E DC : :>9 : D9>D
! 9C /9 : :C9/ : D3>E
# + -
;4! ' )51* )
) & # & ## ,
//
% , #
& # & # )51 -
3
+ 0 +
' )51*
G %
>
8 &
';!!)* 3 . 9 !
. 3
2 ;4! 9C /9
)51 C 9 D3 C I
< = - " C )51
2
C :: ' % C /:: -
:/* )51
C :: × : :C9/8: D3>E ≈ 9/: 2 1 3 />
1 3C> ; ' * 9/:
E: C: 2 $ )51
E:
,
! 3
! ' ? *
4 %
/3
H ,
!
! 3H ! 4
!
A :: : :
: DG> : :/> : DDE> : :: > : ::/G9 / : D>E : :9/ : DDEC : :: 9 : ::/G/
3 : DEC : : 9 : DDE> : :: > : ::/GC 9 : DEG : : 3 : DDE> : :: > : ::/GC
> : DGC : :/9 : DDE> : :: > : ::/G9
C : DCC : :39 : DDEC : :: 9 : ::/G3
& : DE: : :/: : DDE> : :: > : ::/G>
/ : EE9 : C : DDEG : :: 3 : ::/C
3 : DG> : :/> : DDE> : :: > : ::/G9 9 : DD> : ::> : DDE : :: D : ::/GG : D > : :E> : DDEG : :: 3 : ::/CC
/ : D3G : :C3 : DDEC : :: 9 : ::/CD
3 : DC3 : :3G : DDEC : :: 9 : ::/G/
: DD9 : ::C : DDE/ : :: E : ::/GG
/ : DD: : : : : DDE9 : :: C : ::/GC
, : DE/ : : E : DDE> : :: > : ::/G>
/ : D>3 : :9G : DDEC : :: 9 : ::/G
3 : D3/ : :CE : DDEC : :: 9 : ::/CE
9 : D3/ : :CE : DDEC : :: 9 : ::/CE
& : DD9 : ::C : DDE/ : :: E : ::/GG
/ : DD/ : ::E : DDE3 : :: G : ::/GC
3 : DEG : : 3 : DDE9 : :: C : ::/GC
& : EGC : /9 : DDEG : :: 3 : ::/C:
/9
/ : DG9 : :/C : DDEC : :: 9 : ::/G9
3 : DG : :/D : DDEC : :: 9 : ::/G9
9 : DGC : :/9 : DDE> : :: > : ::/G9
> : DE: : :/: : DDE> : :: > : ::/G>
C : DE3 : : G : DDE> : :: > : ::/G>
+ : > E : 9E/ : DDEDE : :: : : ::/:3
/ : 9: : >DD : DDD:D : :::D : :: E/
3 : GE : E// : DDD39 : :::G : :: 3/
# ,, : D/3 : :GG : DDEC : :: 9 : ::/CG
/ : DGE : :// : DDE> : :: > : ::/G>
3 : DC : :3D : DDEC : :: 9 : ::/G/
9 : D:3 : :DG : DDEG : :: 3 : ::/C9
> : DC : :3D : DDEC : :: 9 : ::/G/
C : D3> : :C> : DDEC : :: 9 : ::/CE
# : DCE : :3/ : DDEC : :: 9 : ::/G3
/ : DG> : :/> : DDEC : :: 9 : ::/G9
! : DGD : :/ : DDE> : :: > : ::/G>
%
! (5(
! 9
' * :
<6 =
7
' *
/>
! 9
− 3 >
3 G > ! < - - =
% > 3/ >
3: 2 '<3 = </ =*
' > * % <3- - =
3 > ' 3 G >
* </- - = / 3 G >
2 -
2 + ' *
' * 5 3 - -
D: ' + # * >
E: ' , # ,, * &
- C:
! 9H 0 (5( 6 &
6 2 2 & 5 (5(
6 6 6
&
' * '/* '3* '9* '>* ? '3* '9* 'C* 'G* 'E* ? '9* 'G*
2 C 3G > : CCG /> :/ / 3/ : : : : ::G
> 3/ > : 3C/ 9 9/C 9C : :G/ : : :
3: : 9> 9 3>/ :3 : >/ : ://
9 / /G > : ::E D : //> : C: : /G9 : ::/
/> : :/DC/ : G9:9 : G : 933 : : 3
// > : ::D>3 : / 9 -: /C : C:3 : ::C
3 3 // > : ::: 9C : ::3/D -: /C : C:3 : :::
/: : :: GE : :3>C/ -: CD : G>> : ::
G > : :: D9 : :39:3 - / : ECD : ::/
/C
> : ::: D9 : ::/D:> - >> : D3D : :::
/ 9 > : ::::3 E : :::9GE - >> : D3D : :::
/ > : ::: G : :: 9C - DE : DGC : :::
: 3 D>30-:> : :::3D> -/ 9 : DD/ : :::
9 G > / :D:0-:C : :::: >G -/ E9 : DDE : :::
> / 3GG0-:C : :::: D -3 /G : DDD : :::
2 C : 9 />:0-:E : -9 / ::: : :::
& 2 9 9E : C EC /D CD / C/ : ::9 : ::3
3 3C : 39: / /9 : >G : /E9 : :DG
/ / /9 : :3DE : D>> - 9D : D3/ : :3G
3 / : :: >: : : E: -3 >9 ::: : ::/
2 9 : /3D0-:> : -> >D ::: : :::
2 3 9> : D/GD 9 GC : D: : E9 : G
/ 3: : :G:9 / - 9G : D/D : :C>
/ > : :: CC : :/9D -3 E9 ::: : ::/
2 3 : /3:0-:> : -C / ::: : :::
2 / 3: : CE/ /: 9C : DC : CD : >
> : /ED> 9 39 - : : E99 : /99
2 / : : :/E9 : -/ DG : DDD : :/E
, 2 9 3/ : EC /G >C : EG : D/ : C>
3 /9 : 3/3 3 E -: CC : G9> : :DD
/ / C : ::C9/ : :3 -/ D : DEC : ::C
3 E : ::: 3 : :: ::3 -3 G/ ::: : :::
2 9 : E C3:0-:G : -> /> ::: : :::
& 2 3 >9 : >>C: 3: :/ 3 > : :: : :::
/ 3C : 3C9E 3 3 -: 9 : >>C : /:3
/ E : :G9C 39 -3 93 ::: : :G>
2 3 : : ::9G: : -C G ::: : ::>
& 2 C 3:: : G/9/ / G /C GG : :3E : :/E
> />: : /9 / C: 3: -: : : >:9 : //
9 / /:: : :3/3 C 9C - GD : DC3 : :3
3 3 >: : :://: : 33: -3 >G ::: : ::/
/ 9 :: G D C0-:> : ::GD/ -> 3> ::: : :::
> >: 3C30-:C : ::::CE -G 9 ::: : :::
2 C : G E 0-:D : -E D/ ::: : :::
/G
+ 2 3 G> : DD>C G9 CG : CD : /9> : /99
/ >: : ::99/ : // -: 3: : C E : ::3
/ /> C :D0-:C : ::: >3 - 3: : D:3 : :::
2 3 : / >G30-:D : -/ /D : DED : :::
# ,, 2 C GE: : E/D C9C G/ / >9 : ::C : ::>
> C>: : >EC :3 :G : 9/ : 33G : :>3
9 / >/: : : E C C/ - G: : D>> : :
3 3 3D: : :::99C : G9 -3 E ::: : :::
/ 9 /C: E D390-:C : ::/3/3 -> D3 ::: : :::
> 3: D :E90-:E : :::: / -E :> ::: : :::
2 C : 3 CG90- : : - : G ::: : :::
# 2 / G> : D:9D CG EG G : :99 : :3D
3G > : :D/G 3 9E - >> : D3D : :EG
2 / : : ::/39 : -9 E/ ::: : ::/
! (5( '(46*
= !
= +
!
: /:: -:/
% '!
>* ! + '
H 93 CR% *
# ,, ' H D ER*
' *
' *
φ' * ! . φ' * ' *
'! 9* ! C D
/E ,
% < - - =
G , #
E9
! -
:
! 9 !
C . & & # ,, & #
2 /> +
) , D
E G 5
- -
' * !
- - 2
- ) +
, -
-
# , >:
G E:
3 . # #
- E:
. D:
/D
!
! 9
& (5( %
(5(
: ! > ) (5( : 3D
3D
5 9 >
%
: & ' :3 *
, 'DD * 0
- !
-
(5( %
(5( -
5 +
(5( - !
(5( '/3 * # ,, '/> * 2
(5( : (5( : /: G3 3
> 3
! >H ( ( 0 2 6
4 0
' * (
; &4 4 8S R #6
/9 : > E/ : :C3 // D> /> :/ CC G
& 3/ CD > E> : 3E >: 3E /D CD C EC
3D 3/ C 39 : /3E EC E3 9 GC D/ GD
/> CC G C/ : 3EE 9 9C /: 9C CE /
3:
, /G 99 > // : /G DE G> /G >C EC
& 3C GG > 9E : /E/ :3 :G 3: :/ >> C:
& /C /3 3 C: : E3 CC G / G /C G/ 9/
+ >G C /> / : /9G D: :C G9 CG DD >C
# ,, C/9 / C 3D : :G: /> 9D C9C G/ E/ D
# >> 33 9D : /D 9G :C CG EG D: 9D
& E9 D : /: G3 /E E :3 GD DD
! > : '
% '>* ! 9*% >
E: H & &
&
, ) E:
,
- 2
!
) A &
' * : '
2 -# $ , DE H E* !
& ' ! DG>* -
- - :-
!
- + =
(5(
!
3
+ G3 ,
,
4
* 6 7 ' D9G* T7 1 6 4
; = +)) " ( ( CC 93D->:
/* 7 , S + & 2 4 ' DCD* -
- * - " 2 S , 6 /
3* + ; 7 & 2 ' DCG/ - - " * ' ( ( ## /
0 " S , 6 E
9* ' DD// ' ( 0 *0 " ! * ) " "
1 " # "! ( " - " & " ' ( A 4
! A ; 6
>* & ; ( ' DCE* " ( 2 ) ! " ! " -
; 7 -" S , 6 C
3/
C* ! ; ( ' DG>* T! 0 2 ( 1
0 7 & = - . 3 " * ) ( C CGD-
D9
G* U 2 -# $ , ' DE * ) " ) "! 4 " 2
) (% ( ! ;#! 6 (
E* J ' DCC* <# ; ( , 0 = ( *
- ' ( ( 3G G99
