Fachbereich Mathematik Dr. Robert Haller-Dintelmann Daniel Henkel
TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT
A
WS 2009/10 30.11.2009
H¨ ohere Mathematik 1
7. ¨ Ubung
Gruppen¨ ubungen
Aufgabe G19
Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
a)
∞
X
n=1
n 4n2+n.
b)
∞
X
n=1
n!
nn.
c)
∞
X
n=1
cos(nπ) + sin(nπ)
2n .
Aufgabe G20
F¨ur welchex∈R konvergieren die folgenden Reihen?
a)
∞
X
n=0
(−1)n· 4 4nx2n.
b)
∞
X
n=2
xn n(n−1). Aufgabe G21
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Reihen und untersuchen Sie die Reihen auch auf den R¨andern des Konvergenzintervalls auf ihr Verhalten. (Hinweis: Der Konver- genzradius l¨asst sich auch durch ̺ = limn→∞¯
¯
¯
an an+1
¯
¯
¯ bestimmen, falls dieser Grenzwert existiert.)
a) P∞
n=0 (2x)n
n! . b) P∞
n=2 n+1 n2−1x2n.
Haus¨ ubungen
Aufgabe H19
Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
a)
∞
X
n=1
1 +n2 n2 .
b)
∞
X
n=0
(n!)2 (2n)!.
c)
∞
X
k=1
k+ 1 k3+k2+ 1.
Aufgabe H20
Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe durch g¨unstige Zerlegung des Bruches (vgl. Beispiel 4.5.3 des Skriptes).
∞
X
k=1
1 4k2−1.
Aufgabe H21
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Reihen und untersuchen Sie die Reihen auch auf den R¨andern des Konvergenzintervalls auf ihr Verhalten.
a)
∞
X
n=1
n!xn.
b)
∞
X
n=1
1 n2nxn.
c)
∞
X
n=1
2n n2+ 1x3n.
d) Geben Sie eine Potenzreihe mitx0 = 0 und Konvergenzradius 3 an, die in 3 konvergiert und in −3 divergiert.
