Runde Formen über semilokalen Ringen*

Math. Ann. 193, 21—34(1971)

© by Springer-Verlag 1971

Runde Formen über semilokalen Ringen*

M A N F R E D K N E B U S C H

H e r r n E r n s t W i t t z u seinem 60. G e b u r t s t a g a m 26. J u n i 1971 g e w i d m e t D a s A n a l o g o n z u der v o n A . Pfister e n t d e c k t e n T a t s a c h e , d a ß eine q u a d r a - tische F o r m (1, ax) ® • • • ® (1, ak) ü b e r e i n e m K ö r p e r für beliebiges k „ r u n d " ist ( [ 1 0 ] , T h e o r e m 1), b l e i b t ü b e r j e d e m l o k a l e n R i n g C s o w o h l für nichtausgeartete q u a d r a t i s c h e als a u c h für nichtausgeartete s y m m e t r i s c h b i l i n e a r e F o r m e n r i c h t i g . W i r w e r d e n dies sogar ü b e r n a h e z u j e d e m s e m i l o k a l e n R i n g beweisen, s. T h e o r e m 1.5. F a l l s C l o k a l m i t 2 E i n h e i t ist, w e r d e n w i r d a r a u s folgern k ö n n e n , d a ß die Stufe v o n C , d. h . die k l e i n s t e A n z a h l v o n Q u a d r a t e n i n C , die m a n b e n ö t i g t , u m — 1 als Q u a d r a t s u m m e d a r z u s t e l l e n , eine 2 - P o t e n z ist, sofern — 1 ü b e r h a u p t Q u a d r a t s u m m e ist (vgl. [9, 10]). Ist 2 n i c h t E i n h e i t , so b r a u c h t dies n i c h t w a h r z u sein, w i e s c h o n C = Z/4Z zeigt. D o c h k ö n n e n i m l o k a l e n F a l l e für die Stufe neben 2r, oo h ö c h s t e n s n o c h W e r t e 2r — 1 auftreten.

W e i t e r v e r a l l g e m e i n e r n w i r d e n S a t z v o n W i t t [ u n v e r ö f f e n t l i c h t ] , d a ß das A n n u l l a t o r i d e a l eines r u n d e n q u a d r a t i s c h e n R a u m e s b i n ä r erzeugt w i r d , a u f s e m i l o k a l e R i n g e . L e i d e r scheint ü b e r die A n n u l l a t o r i d e a l e der r u n d e n b i - l i n e a r e n R ä u m e ü b e r l o k a l e n R i n g e n , i n denen 2 n i c h t E i n h e i t ist, nichts b e k a n n t z u sein.

A u s der T a t s a c h e , d a ß die F o r m e n (1, aj® ••• ® (1, ak) r u n d s i n d , lassen sich a u c h ü b e r s e m i l o k a l e n R i n g e n die b e k a n n t e n F o l g e r u n g e n ü b e r die S t r u k t u r des W i t t r i n g e s W(C) z i e h e n ( [ 1 1 ] , v g l . [ 7 , 1 4 ] ) . W i r w e r d e n uns h i e r ü b e r j e d o c h k u r z fassen, w e i l es i n z w i s c h e n einen elementareren Z u g a n g z u Pfisters S t r u k t u r s ä t z e n ü b e r s e m i l o k a l e n R i n g e n gibt, s. [ 3 ] .

A l l e i n dieser A r b e i t wiedergegebenen Beweise w u r d e n 1967/68 ü b e r K ö r p e r n v o n W i t t gefunden. D a s meiste w u r d e i n z w i s c h e n i n [ 7 ] u n d [14]

dargestellt. B e i der Ü b e r t r a g u n g der W i t t s c h e n Beweise a u f s e m i l o k a l e oder a u c h n u r l o k a l e R i n g e treten technische K o m p l i k a t i o n e n auf. D e r L e s e r m ö g e sich k l a r m a c h e n , wie elegant u n d ü b e r a u s k u r z alle Beweise w e r d e n , w e n n m a n s i c h a u f d e n K ö r p e r f a l l b e s c h r ä n k t .

Ich danke Herrn Prof. Witt herzlich für anregende Gespräche und Einsicht in seine Manu- skripte.

Bezeichnungen. C ist stets e i n semilokaler R i n g , d . h . e i n k o m m u t a t i v e r R i n g m i t E i n s e l e m e n t , der n u r e n d l i c h viele m a x i m a l e Ideale . . . mf besitzt.

W i r setzen o h n e wesentliche E i n s c h r ä n k u n g der A l l g e m e i n h e i t i m m e r v o r a u s ,

* Der Hauptteil dieser Arbeit wurde, neben anderen Resultaten, bereits in dem Bericht [6]

skizziert.

d a ß C k e i n e I d e m p o t e n t e n =#0,1 besitzt. M i t r b e z e i c h n e n w i r das R a d i k a l ( = D u r c h s c h n i t t d e r m,), m i t C * d i e E i n h e i t e n g r u p p e v o n C . U n t e r e i n e m (symmetrisch) bilinearen Raum E ü b e r C verstehen w i r einen freien, endlich erzeugten C - M o d u l E, versehen m i t einer s y m m e t r i s c h e n b i l i n e a r e n F o r m B\E x E->C. W i r b e s c h r e i b e n E h ä u f i g d u r c h d i e W e r t e m a t r i x (B(eⁱ,e^J)) z u einer B a s i s e^u ... eⁿ. D e r R a u m E (oder d i e F o r m B) h e i ß e nicht entartet, falls die D e t e r m i n a n t e dieser M a t r i x eine E i n h e i t ist. E i n b i n ä r e r nichtentarteter R a u m h a t eine M a t r i x ^ j , für d i e w i r k u r z A(oc, ß) schreiben. D a b e i m u ß 1 — ccße C * sein. E i n b i l i n e a r e r R a u m E h e i ß e eigentlich, falls E nichtentartet ist u n d das v o n d e n W e r t e n B(x, x) m i t x e E i n C erzeugte I d e a l m i t C ü b e r e i n - s t i m m t . D a n n besitzt E eine O r t h o g o n a l b a s i s , d . h . ist z u e i n e m R a u m (X^l-" ± ( A „ ) m i t A , G C* i s o m o r p h ( [ 4 ] , L e m m a 5.4.1^L). F ü r eine solche o r t h o g o n a l e S u m m e s c h r e i b e n w i r a u c h D e r R a u m E h e i ß t meta- bolisch, falls £ o r t h o g o n a l e S u m m e b i n ä r e r R ä u m e d e r G e s t a l t A(a, 0) ist (vgl. [4]), hyperbolisch, falls d a b e i ü b e r d i e s alle K o e f f i z i e n t e n a = 0 g e w ä h l t w e r d e n k ö n n e n . {Ist 2 e C * , so ist j e d e r m e t a b o l i s c h e R a u m h y p e r b o l i s c h , s. [4].}

U n t e r e i n e m quadratischen Raum E ü b e r C verstehen w i r einen freien endlich erzeugten C - M o d u l E, versehen m i t einer q u a d r a t i s c h e n F o r m q, d . h . einer A b b i l d u n g q:E-> C, so d a ß für x, y e E, k e C g i l t : q(X x) = k²q{x), q(x + y)

= q(x) + q(y) + B(x, y) m i t b i l i n e a r e r F o r m B. W i r beschreiben E oft d u r c h die W e r t e t a b e l l e [ a0] , aü\ = q{e^, aij: = B(ei,eJ) für / + / , z u einer B a s i s {et} v o n E ü b e r C . D e r q u a d r a t i s c h e R a u m E h e i ß e mc/tf entartet, falls £ n i c h t entartet ist.

E i n n i c h t entarteter b i n ä r e r q u a d r a t i s c h e r R a u m h a t eine W e r t e t a b e l l e ^ ^ D a f ü r s c h r e i b e n w i r k u r z A[OL, /*]. D a b e i m u ß 1 -4<xße C * sein. O r t h o g o n a l e

S u m m e v o n K o p i e n v o n A [ 0 , 0 ] b e z e i c h n e n w i r als h y p e r b o l i s c h e R ä u m e . N e b e n d e m T e n s o r p r o d u k t b i l i n e a r e r R ä u m e ( [ 2 ] , § 1, Def. 11) h a b e n w i r a u c h z u e i n e m b i l i n e a r e n R a u m (E, BJ u n d e i n e m q u a d r a t i s c h e n R a u m (F, q²) e i n T e n s o r p r o d u k t E® F. D i e s ist d e r M o d u l E®CF, versehen m i t d e r q u a d r a t i - schen F o r m q, d i e f o l g e n d e r m a ß e n c h a r a k t e r i s i e r t w e r d e n k a n n : q(x®y)

= Bx(x, x) q2(y) f ü r beliebige xe E,yeF; d i e B i l i n e a r f o r m z u q ist das T e n s o r - p r o d u k t B^Y ®B² (z. B . [ 1 ] , S. 145). Ist 2eC*, so s t a m m t j e d e s y m m e t r i s c h e B i l i n e a r f o r m B v o n g e n a u einer q u a d r a t i s c h e n F o r m q her, n ä m l i c h q(x)

= 1/2 B(x, x), u n d es besteht k e i n U n t e r s c h i e d z w i s c h e n b i l i n e a r e n u n d q u a d r a - t i s c h e n R ä u m e n .

F ü r d i e q u a d r a t i s c h e n b z w . b i l i n e a r e n F o r m e n a l l e r auftretenden R ä u m e s c h r e i b e n w i r u n t e r s c h i e d s l o s q b z w . B, solange k e i n e V e r w i r r u n g entstehen k a n n . D i e z u einer s y m m e t r i s c h e n B i l i n e a r f o r m B g e h ö r i g e N o r m f o r m B(x, x) b e z e i c h n e n w i r i m a l l g e m e i n e n m i t n(x). D i e o r t h o g o n a l e S u m m e v o n r K o p i e n

1 Wie mir verschiedene Herren freundlicherweise mitteilten, fehlt in der letzten Aussage des Lemmas 5.4.1 und einem Teil von § 5.5 aus [4] irrtümlich die Voraussetzung, daß C keine nicht- trivialen Idempotente hat.

eines R a u m e s E b e z e i c h n e n w i r m i t r x E. A l l e i n dieser A r b e i t betrachteten R ä u m e w e r d e n stillschweigend als nicht entartet vorausgesetzt, sofern n i c h t a u s d r ü c k l i c h etwas anderes gesagt w i r d . E i n R a u m E h e i ß e isotrop, falls er einen V e k t o r x m i t q(x) = 0 b z w . n(x) = 0 e n t h ä l t , der sich z u einer B a s i s v o n E e r g ä n z e n l ä ß t . Sonst h e i ß e E anisotrop.

§ t. Konstruktion runder R ä u m e

Sei E q u a d r a t i s c h e r o d e r b i l i n e a r e r R a u m . E* bezeichne d i e M e n g e der strikt anisotropen V e k t o r e n , d . h . der xeE m i t q(x)eC* b z w . n{x)eC*. M i t N(E) b e z e i c h n e n w i r die G r u p p e der Ähnlichkeitsnormen v o n E, d. h . die G r u p p e aller x e C * m i t E^(A)®E. W i r nennen m i t W i t t E rund, falls q(E*) = N(E) b z w . n(E*) = N(E) ist.

N.B. A l l g e m e i n gilt für bilineares £ : I s t len(E*), so ist N(E)Cn(E*). Ist n(E*) C N(E), n(E*) =# 0, s o ist 1 e n(E*), also E r u n d . E n t s p r e c h e n d für q u a d r a - tisches E.

Beispiele LI. (vgl. [ 7 ] , S. 23, 24). E i n b i n ä r e r b i l i n e a r e r o d e r q u a d r a t i s c h e r R a u m ist genau d a n n r u n d , w e n n er d i e 1 darstellt. R u n d e R ä u m e E einer ungeraden D i m e n s i o n n> 1 k ö n n e n n u r selten auftreten: D a N(E) = C*² ist ( m a n betrachte d i e D e t e r m i n a n t e v o n E), m u ß E^n x (1) sein u n d ü b e r d i e s jede E i n h e i t v o n C, d i e s i c h als S u m m e v o n n Q u a d r a t e n schreiben l ä ß t , selbst Q u a d r a t sein. Z u m i n d e s t bei l o k a l e m C folgt d a r a u s leicht, d a ß ü b e r h a u p t jede E i n h e i t , die Q u a d r a t s u m m e ist, e i n Q u a d r a t ist. D a s s p ä t e r e K o r . 1.4 zeigt, d a ß dies a u c h b e i s e m i l o k a l e m C sicher r i c h t i g ist, w e n n alle | C / m^f| > 3 s i n d .

Satz 1.2. Die Anzahl | C / m , | der Elemente jedes Restklassenkörpers C / m , möge mindestens 3 sein. Dann gilt für beliebiges aeC*: Ist F ein runder bilinearer oder quadratischer Raum, so ist (1, a)®F ebenfalls rund.

F ü r d e n B e w e i s b e n ö t i g e n w i r

Hilfssatz 1.3. Sei F quadratischer oder bilinearer Raum, k,\ie N(F), a e C * ,

£,neC. Ist e: = £²Ä + n²afi Einheit, so ist e Ähnlichkeitsnorm von (\,a)®F.

Beweis (Witt). E s ist

(A, ap)^(e)®(\,akn).

M a n tensoriere beide Seiten m i t F.

W i r b r a u c h e n s p ä t e r S a t z 2.2 v o r a l l e m für d e n F a l l , d a ß alle C / m , m i n - destens 7 E l e m e n t e enthalten. D a s w i r d i m T e i l a) des folgenden Beweises o h n e besondere M ü h e gezeigt. D e n k o m p l i z i e r t e r e n T e i l b) k a n n der L e s e r z u n ä c h s t ü b e r s c h l a g e n .

Beweis von Satz 1.2. a) I m b i l i n e a r e n F a l l e ist z u zeigen, d a ß für beliebige x,y F das E l e m e n t Q(X, y)\ = n(x) + an(y) i n N(E) liegt, sofern es E i n h e i t ist.

N a c h H i l f s s a t z 1.3 ist es k l a r , w e n n ü b e r d i e s n(x) u n d n(y) E i n h e i t e n s i n d . Ist dies n i c h t d e r F a l l , so k ö n n e n w i r z u g(x, y) eine E i n h e i t der G e s t a l t £2 + an2

m i t £, neC m u l t i p l i z i e r e n u n d b r a u c h e n uns n u r d a v o n z u ü b e r z e u g e n , d a ß das P r o d u k t i n N(E) liegt, d e n n a u c h £2 + an2 ist Ä h n l i c h k e i t s n o r m . M a n

verifiziert sofort, d a ß

Q(X, y) (i2 + an2) = g(£x - any, £y

+

ist. W i r w o l l e n <!;, n so w ä h l e n , d a ß neben £² + AT/² a u c h n(£x — any) u n d n(£y + nx) E i n h e i t e n s i n d . D a n n s i n d w i r a u f g r u n d des Hilfssatzes fertig. W i r h a b e n a l s o für jedes m a x i m a l e Ideal m , die B e d i n g u n g e n

Z² + an²$0 (rtii)

Z²n(x)-ak£n + a²n²n(y)$0 (m.)

?n{y)+Kfi +n²n(x)$0 (m^f)

z u e r f ü l l e n m i t d e r A b k ü r z u n g ! = 2B(x, y). N a c h d e m chinesischen Restsatz k ö n n e n w i r d i e R e s t k l a s s e n v o n r / m o d m , b e l i e b i g v o r s c h r e i b e n , h a b e n also n u r gewisse U n g l e i c h u n g e n i n K ö r p e r n z u erfüllen. Ist /i(x)^=0, /?(>') ^ 0 m o d m „ so w ä h l e n w i r £ = 1 , ^ = 0 m o d m , - . Sei jetzt n(x) = O m o d m , , also s i c h e r l i c h n(y) ^ 0 (m^t). W i r m ü s s e n £ 0 w ä h l e n u n d w ä h l e n , o h n e eine C h a n c e z u ver- spielen, £ = 1 . D a n n ist m o d m , z u e r f ü l l e n : n²^—a~\ nan(y)^X, n^O, ln^ —n(y). D a s geht, falls | C / m^f| > 5 ist, u n d ü b r i g e n s a u c h für C / m — F ^ w e i l d a n n X = 0 (m£) ist. G a n z e n t s p r e c h e n d erledigt m a n d e n q u a d r a t i s c h e n F a l l , falls alle | C / m , | > 5 s i n d . M a n lese ü b e r a l l q(x) statt n(x) u n d h = B(x, y).

D e r F a l l C / mf = F 4 b l e i b t jetzt offen.

b) W i r b l e i b e n z u n ä c h s t b e i m q u a d r a t i s c h e n F a l l . D u r c h o b i g e U m f o r m u n g der vorgegebenen E i n h e i t q(x) + aq(y) k o n n t e n w i r erreichen, d a ß a n a l l e n m , m i t | C / m^t| > 5 g i l t : q(x) ^ 0, q(y) ^ 0. A n d e n anderen m , k ö n n e n w i r erreichen, d a ß wenigstens q(x) ^ 0 ist. = 1, n = 0 falls q(x) ^0;^ = 0,n = \ sonst.} D a m i t w i r d q(x) z u einer E i n h e i t . D a F r u n d ist, gibt es ein z e F m i t q(y) = q(x) q(z), also

q(x) + aq(y) = q(x) [1 + aq(zj] .

N a t ü r l i c h ist q(x) a u c h Ä h n l i c h k e i t s n o r m v o n £ . E s fehlt d e r N a c h w e i s , d a ß 1 + aq(z) e N(E) ist. N a c h H i l f s s a t z 1.3 d ü r f e n w i r d a z u \+aq{z) m i t einer E i n h e i t 1 + a£2q(w) m i t £eC,weF* m u l t i p l i z i e r e n . I m folgenden bezeichne a eine Ä h n l i c h k e i t s t r a n s f o r m a t i o n v o n F m i t d e r N o r m q(w). N u n gilt für jedes solche P a a r £, w :

[1 + aq(zy] [1 + a£2qMl = q(x') + aq(y') m i t

x' = q(w)~ 1 a(w) - a£a(z), / = z + f w . In der T a t ist

q(x') = 1 - a£B(z, w) + a²£²q(z)q(w), q[y')=q(z) + SB(z, w) + £²<z(w).

D u r c h geeignete W a h l v o n £eC u n d we F w o l l e n w i r erreichen, d a ß q(x'), q(y') u n d n a t ü r l i c h q(w) u n d 1 + fl£2g(w) E i n h e i t e n s i n d . D a n n s i n d w i r fertig.

N a c h d e m c h i n e s i s c h e n Restsatz k ö n n e n w i r w m o d m ^ F u n d £ m o d m , b e l i e b i g

v o r s c h r e i b e n . Ist g ( z ) ^ 0 ( m , ) , so s c h r e i b e n w i r ^ = 0(m^f-) u n d w m o d m ^ F als i r g e n d einen a n i s o t r o p e n V e k t o r v o n F / m , F v o r . Sei jetzt m^t e i n m a x i m a l e s Ideal, für das q(z) = 0 ( mt) ist, a l s o insbesondere | C / mf| ^ 5. W i r k ö n n e n d i m F > 2 voraussetzen, d e n n für d i m F ^ 2 l ä ß t s i c h b e k a n n t l i c h a u f E eine (assoziative) M u l t i p l i k a t i o n x • y e r k l ä r e n , so d a ß q(x • y) = q(x) q(y) für x, y e E gilt, u n d E ist e r s i c h t l i c h r u n d . Ist z e m , F , so k o m m e n w i r m i t £ = 1 u n d einer geeigneten V o r s c h r i f t für q(w) m o d m , z u m Z i e l , d e n n der R a u m F / m , F stellt jedes E l e m e n t

=}=0 v o n C / m^t- d a r (z. B . [ 8 ] , S. 157). Sei jetzt z £ m.-F u n d z das B i l d v o n z i n F / n ^ F . W i r k ö n n e n i n F = F/miF eine Z e r l e g u n g _ F = H1G finden m i t einer h y p e r b o l i s c h e n E b e n e H, die z e n t h ä l t . D e r R a u m G hat n i c h t die D i m e n s i o n 1.

D a s ist k l a r , falls C / m , = F ⁴ ist, w e i l F n i c h t entartet ist. I n d e n v e r b l e i b e n d e n F ä l l e n | C / m^f| = 3,5 sieht m a n es s o : F / r F = f ^ F / m ^ F ist r u n d e r R a u m ü b e r C / r .

j

A l s o ist F / mfF r u n d e r R a u m ü b e r C / m , . D i e A n n a h m e d i m F = 3 w i d e r s p r ä c h e unserem B e i s p i e l 1.1, w e i l i n F³, F ⁵ n i c h t jede Q u a d r a t s u m m e Q u a d r a t ist.

D a h e r ist der R a u m G u n i v e r s e l l . M a n w ä h l e n u n £ = 1 m o d m , u n d w m o d m , F als E l e m e n t v o n G m i t geeigneter V o r s c h r i f t für q(w).

D e r b i l i n e a r e F a l l geht entsprechend. M a n lese ü b e r a l l n statt q u n d 2B

statt B. q.e.d.

B e i D u r c h s i c h t des soeben g e f ü h r t e n Beweises stellt m a n fest, d a ß nirgends ausgenutzt w u r d e , d a ß - e t w a i m q u a d r a t i s c h e n F a l l e - q(x) + aq(y) eine E i n h e i t ist, s o n d e r n nur, d a ß für jedes m , mindestens eines der E l e m e n t e g(x), g(y) nicht

i n m , liegt. D a s f ü h r t uns a u f ein i n § 4 b e n ö t i g t e s

Korollar 1.4. Sei F ein runder quadratischer Raum und ae C*. Weiter seien Vektoren x,ye F mit q(x)C + q(y)C = C gegeben.

(i) Ist d i m F > 2 und \C/m{\ > 2 für alle mp so gibt es ein Produkt c von Ein- heiten der Gestalt £²q(u) + n²q(v) mit u,ve F* und ^neC, so daß

c(q(x) + aq(y)) = q(x') + aq(y') mit x' e F * , y' e F * ist.

(ii) Dies bleibt auch für d i m F 5^2 richtig, falls | C / m^f| > 3 für alle m,- ist.

Die Analoga zu (i), (ii) gelten auch für einen runden Bilinearraum F. Man lese überall n statt q.

Beweis, (i) w u r d e i m B e w e i s v o n Satz 1.2 gezeigt, desgl. (ii), sofern sogar

| C / mf| > 5 für alle m , ist. U m (ii) unter der jetzigen s c h w ä c h e r e n V o r a u s s e t z u n g einzusehen, gehen w i r d e n T e i l b) des Beweises v o n Satz 1.2 n o c h e i n m a l d u r c h . W i r hatten ein vorgegebenes E l e m e n t 1 + aq(z) m i t einer E i n h e i t 1 + a£2q(w) z u m u l t i p l i z i e r e n , so d a ß für alle m , neben g ( w ) ^ 0 , 1 + a£²q(w)^0 n o c h

l - f l £ f l ( z , w) + a2eq(z)q(w)$0 q(z) + ZB(z, w) + £²< 2 ( w ) ^ 0

m o d m^f erfüllt werden. Jetzt h a b e n w i r uns n u r n o c h i m F a l l e d i m F ^ 2 ü b e r die V o r s c h r i f t a n einer Stelle m , m i t IC/m,! = 4 oder 5 G e d a n k e n z u m a c h e n ,

a n d e r ü b e r d i e s q(z) = 0(m,) ist. H a t z i n F / m^tF das B i l d z = 0, so k o m m e n w i r auf die B e d i n g u n g e n q(w) =|= 0, £ ^ 0 , 1 + a £2g ( w ) ^ 0, d i e sich e r s i c h t l i c h e r f ü l l e n lassen. Sei jetzt z 4= 0. D a n n l ä ß t s i c h z z u e i n e m h y p e r b o l i s c h e n V e k t o r p a a r z^x = z, z² e r g ä n z e n u n d dieses V e k t o r p a a r s p a n n t F = F / m , F auf. M i t U r b i l d e r n z^x =z, z² i n F setzen w i r a n : w = ^ Z j + A²z², f = 1, u n d h a b e n z u e r f ü l l e n : x ^ O , A2E£ 0 , l + f l ^ A a ^ O , l - a ^ O , l + A ^ O . D a s ist m ö g l i c h , falls

| C / m⁸. | ^ 4 ist.

D e r b i l i n e a r e F a l l , i n d e m n u r n o c h m , m i t \C/mi\ = 5 z u betrachten s i n d ,

geht entsprechend. q.e.d.

A l s bilineare Pfist er- Räume b e z e i c h n e n w i r d i e R ä u m e (1) u n d (1, a!) ® • • • (g) (1, m i t a, e C * , /c b e l i e b i g ^ 1. A l s quadratischen Pfister-Raum b e z e i c h n e n w i r d a s P r o d u k t P ® 93 eines b e l i e b i g e n b i l i n e a r e n P f i s t e r - R a u m e s m i t e i n e m b i n ä r e n q u a d r a t i s c h e n R a u m 93, der d i e 1 darstellt.

Theorem 1.5. a) Jeder quadratische Pfisterraum ist rund.

b) Jeder bilineare Pfisterraum P über einem lokalen Ring ist rund.

c) Jeder bilineare Pfisterraum P über einem semilokalen Ring C mit I C / m J > 2 für alle m , ist rund.

d) Über einem beliebigen semilokalen Ring ist das doppelte 2xP jedes bilinearen Pfisterraumes rund.

Beispiel 1.6. F ü r j e d e 2-Potenz 2^m ist d i e M e n g e G²™ a l l e r E i n h e i t e n v o n C , die S u m m e n v o n 2m Q u a d r a t e n s i n d , ü b e r j e d e m s e m i l o k a l e n R i n g C eine G r u p p e .

Beweis von Theorem 1.5. N a t ü r l i c h ist a u f g r u n d v o n S a t z 1.2 n u r n o c h etwas z u zeigen, falls | C / m , | = 2 für mindestens e i n m , ist. W i r w o l l e n aber S a t z 1.2 n u r i n d e m w e s e n t l i c h einfacheren F a l l e , d a ß alle | C / m^f| > 5 s i n d , a u s n u t z e n .

D a s P o l y n o m f(T) = T³ -I- 6 T² — T + 1 ist, w i e leicht z u sehen, ü b e r a l l e n K ö r p e r n JFq m i t q^5 i r r e d u z i b e l . W i r b e t r a c h t e n d i e ganze k u b i s c h e E r - w e i t e r u n g D = C[T]l(f{T)) = C[t] v o n C , w o b e i t d i e Restklasse v o n T be- zeichne. A u c h D ist e i n s e m i l o k a l e r R i n g , d e n n ü b e r j e d e m m a x i m a l e n Ideal k ö n n e n h ö c h s t e n s 3 m a x i m a l e Ideale v o n D liegen. D hat aber keine R e s t k l a s s e n k ö r p e r m i t weniger als 7 E l e m e n t e n . S e i n u n E e i n b i l i n e a r e r o d e r q u a d r a t i s c h e r P f i s t e r r a u m ü b e r C. D a n n ist D 0 E e i n P f i s t e r r a u m ü b e r D ,

c

also r u n d . F ü r e i n vorgegebenes E l e m e n t Xen(E*) b z w . q(E*) ist also D ( X ) F ^ D ( x ) [ ( > l ) ® F ] . W i r b e t r a c h t e n n u n d i e V e r l a g e r u n g dieser beiden

c c

R ä u m e n a c h C b e z ü g l i c h d e r C - L i n e a r f o r m s.D^C, definiert d u r c h s ( l ) = 1, s(t) = s(t²) = 0 (vgl. [13]), d . h . w i r gehen v o n d e n D - w e r t i g e n F o r m e n dieser R ä u m e d u r c h H i n t e r s c h a l t e n v o n s z u C - w e r t i g e n q u a d r a t i s c h e n b z w . b i l i n e a r e n F o r m e n ü b e r . D a d u r c h ergibt s i c h eine Isometrie

s^#( D ) ( X ) F ^ ( D ) ( X ) W ® F . c c c

H i e r bezeichnet s+(D) d e n C - V e k t o r r a u m D m i t der B i l i n e a r f o r m s(xy). D i e s e r R a u m h a t b e z g l . der B a s i s 1, - f , t² d i e G e s t a l t ( 1)1/ 1 ( 0 , 6). W i r e r h a l t e n also, d a ß k Ä h n l i c h k e i t s n o r m des R a u m e s £ 1/ 1 ( 0 , 6 ) ® E = F ist. B e t r a c h t e n w i r

z u n ä c h s t d e n q u a d r a t i s c h e n F a l l ! A(0, 6 ) ® E ist e i n h y p e r b o l i s c h e r R a u m x A [ 0 , 0 ] m i t r = d i m £ (z. B . [ 1 ] , S. 141, L e m m a 2.1).

W i r e r h a l t e n

E1 r x A [0, 0 ] ^ (A) ® £ 1 r x A [ 0 , 0 ] .

D a für q u a d r a t i s c h e R ä u m e b e i s e m i l o k a l e m C d i e K ü r z u n g s r e g e l gilt ( [ 5 ] , v g l . [12]), ist £ ^ ( A ) ® £ , was z u zeigen w a r . S e i n u n E b i l i n e a r . D i e v o n d e n N o r m e n aller xe E a d d i t i v erzeugte G r u p p e g £ u m f a ß t d i e N o r m g r u p p e g ( , 4 ( 0 , 6 ) ® £ ) = 2 C . D a h e r ist F = £ l r x A(0,0) ( [ 4 ] , L e m m a 6.1.2). W i r e r h a l t e n also

E1 r x A (0,0) ^ (A) ® £ 1 r x A ( 0 , 0 ) .

A u f g r u n d einer V e r a l l g e m e i n e r u n g des O ' M e a r a s c h e n K ü r z u n g s s a t z e s ( [ 4 ] , S a t z 6.1.3) e r h a l t e n w i r E ^ (A) ® £ , falls C l o k a l ist, u n d a u c h bei s e m i l o k a l e m C , sofern E e i n E l e m e n t 2rj m i t 77 e C * darstellt. D i e s ist sicher der F a l l , w e n n E

das d o p p e l t e 2 x P eines Pfisterraumes ist. q.e.d.

§ 2. Nullteiler und nilpotente Elemente in W(C) (vgl. [3, 7, 11, 14])

I n diesem P a r a g r a p h e n seien alle R ä u m e b i l i n e a r ( u n d n i c h t entartet). W i r n e n n e n z w e i R ä u m e £ , F ü b e r u n s e r e m s e m i l o k a l e n R i n g C äquivalent u n d s c h r e i b e n E~~F, w e n n es m e t a b o l i s c h e R ä u m e M , N gibt m i t E±M ^F ±N.

D i e M e n g e W ( C ) a l l e r Ä q u i v a l e n z k l a s s e n ist e i n R i n g ( K o m p o s i t i o n e n v o n _L, ® i n d u z i e r t ) , u n d h e i ß t der W i t t r i n g v o n C (s. [4]). D a s negative z u einer Ä q u i v a l e n z k l a s s e (E) w i r d d a b e i d u r c h d e n R a u m — E r e p r ä s e n t i e r t , der aus E d u r c h Ä n d e r u n g der B i l i n e a r f o r m B z u — B entsteht. F ü r eine n a t ü r l i c h e Z a h l r > 0 s c h r e i b e n w i r für d e n R a u m r x( — E) a u c h (— r) x E. F ü r r — 0 bezeichne r x E d e n N u l l r a u m .

Theorem 2.1. Jedes Torsionselement der additiven Gruppe von W(C) hat als Ordnung eine 2-Potenz.

U m dies z u beweisen, b e n ö t i g e n w i r z u n ä c h s t einen

Hilfssatz 2.2. E und M seien Räume über C. Die von den Normen von E additiv erzeugte Normgruppe qE umfasse g M ; M und ELM seien metabolisch.

Dann ist kx E metabolisch für jedes k ^ 3.

Beweis. E s ist ELM ^ Elr x A(0,0) m i t r = d i m M (s. [ 4 ] , 6.1.2). W i r k ö n n e n a l s o M = r x ,4(0,0) v o r a u s s e t z e n . S e i x1 ? . . . , x2 n eine B a s i s v o n E u n d cct = n(xt). M a n ü b e r l e g t s i c h leicht, d a ß für k ^ 2 die m e t a b o l i s c h e n R ä u m e k x Elkr x A ( 0 , 0 ) u n d

2n

1 A(oLi9 0 ) 1 [/er + (k - 2) ri] x ,4(0,0)

i = 1

dieselbe N o r m g r u p p e h a b e n . D a i n b e i d e n R ä u m e n mindestens eine h y p e r - b o l i s c h e E b e n e e n t h a l t e n ist, s i n d sie i s o m o r p h (s. B e w e i s v o n [ 4 ] , 6.2.1). F ü r

/ c ^ 3 e r h ä l t m a n n u n m i t d e m v e r a l l g e m e i n e r t e n K ü r z u n g s s a t z v o n O ' M e a r a ( [ 4 ] , 6.1.3):

kxE^ 1 /!(«,•, 0 ) l ( f c - 2) n x 4 ( 0 , 0 ) . q.e.d.

i = i

Beweis von Theorem 2.1. W i r d e n k e n uns e i n vorgegebenes T o r s i o n s - element v o n W(C) d u r c h einen e i g e n t l i c h e n R a u m E = (a^ an) r e p r ä s e n t i e r t . Z u j e d e m fl-Tupel e = (ex, . . . , £ „ ) v o n V o r z e i c h e n et = ±1 b i l d e n w i r den R a u m

n

7c(e,a):= (g) (1,8,-a,.).

/ = i

E r s i c h t l i c h ist (at) ® n(e, a) ^ (ef) ® 7r(e, a) für 1 ^ / <; n. D a h e r gilt

£ ® 7r(e, a) — <p(e) x 7r(ß, a) (2.3) m i t cp(e): = — + en.

A u s (2.3) e r h a l t e n w i r d u r c h S u m m a t i o n ü b e r alle n - T u p e l 8

2" x E - 1 (p(e) x TT(£, Ö) . (2.4)

r.

E s g e n ü g t z u zeigen, d a ß jedes 7c(e, a) m i t cp(£)4=0 i n W ( C ) als O r d n u n g eine 2 - P o t e n z hat. N a c h (2.3) ist n(e, a) ein T o r s i o n s e l e m e n t . W i r h a b e n uns d a m i t a u f den F a l l z u r ü c k g e z o g e n , d a ß E v o n der F o r m n(e, a) ist.

Sei a l s o E e i n P f i s t e r r a u m u n d m x E ~ 0 m i t m > 0. W i r k ö n n e n einen R a u m M : = 4 ( 0 , ^ ) 1 • • • 1 4 ( 0 , br)

finden, so d a ß m x ELM m e t a b o l i s c h ist. Z u j e d e m r - T u p e l n = (nl,... nr) v o n V o r z e i c h e n b i l d e n w i r den R a u m

r

i = 1

F ü r jedes n ist

g [ M ® n(n, &)] = 97T(^, ft) C g [ £ ® rcfa, fc)] ,

a l s o n a c h H f s . 2.2 der R a u m 3m x E ® 7r(^y, b) m e t a b o l i s c h . Sei 2N > 3m. N a c h T h e o r e m 1.5 d) ist 2N x E®n(n, b) e i n r u n d e r R a u m . E r e n t h ä l t einen T e i l r a u m der G e s t a l t (A, - A ) m i t A e C * , besitzt a l s o ( - 1 ) als Ä h n l i c h k e i t s n o r m . F ü r jedes rj ist s o m i t 2N+1 x £ ® 7r(yy, fc) m e t a b o l i s c h . S u m m a t i o n ü b e r alle rj ergibt

2iv + r + i x £ _ o . q.e.d.

W i e bei Pfister ( [ 1 1 ] , S. 120) l ä ß t s i c h a u c h hier das soeben bewiesene T h e o r e m v e r s c h ä r f e n z u

Satz 2.2. In W(C) gibt es keine Nullteiler ungerader Dimension.

Satz 2.3. (vgl. [ 1 1 ] , S a t z 17, S a t z 22). Das Nilradikal von W(C) besteht aus den Torsionselementen gerader Dimension.

Beweis (Witt). W i r setzen s t i l l s c h w e i g e n d alle auftretenden R ä u m e als eigentlich v o r a u s .

a) S e i d i m £ = 2m, 2^Mx £ ^ 0 . W i r zerlegen £ i n R ä u m e £ , = (£>;)®(1,a,) (i = 1,... m). E s ist

Ef<»⁺¹>^2^ltx(b?)®Eⁱ, also £ f("+1)® £ ~ 0 . D a h e r £ ® <m" + 2> - 0 .

b) S e i £^{( 8 ) r}~ 0 u n d £ ^ ( t f¹, a j m i t ^ e C * . W i r zeigen, d a ß £ ein T o r s i o n s - element v o n W(C) liefert. M i t d e n i m B e w e i s v o n T h e o r e m 2.1 e i n g e f ü h r t e n

H i l f s r ä u m e n 7t(e, ä) gilt n a c h (2.3)

(p(e)r x n(e, a) ~ £ ®r ® rcfo a) ~ 0 .

D i e 7r(£, ä) m i t cp(e) 4= 0 s i n d also T o r s i o n s e l e m e n t e . N a c h (2.4) ist a u c h £ i n W(C) T o r s i o n s e l e m e n t .

§ 3. Stufe eines lokalen Ringes

I n diesem A b s c h n i t t sei C e i n l o k a l e r R i n g m i t m a x i m a l e m Ideal m . Satz 3.1. Es sei 2eC* und E ein isotroper bilinearer Pfister-Raum über C.

Dann gibt es einen Pfister-Raum P mit £ = (1, — 1 ) ® P .

Beweis. S e i £ = (1, tfi)® ••• ® (1, aⁿ) u n d o h n e E i n s c h r ä n k u n g n>\. W i r benutzen i m folgenden den R a u m V: = (Z2)n ü b e r d e m K ö r p e r Z2 m i t 2 E l e m e n - ten als Indexmenge. S e i e ^{l 9} e ⁿ d i e S t a n d a r d b a s i s v o n V. Z u j e d e m V e k t o r x = e^it + +e^ir(i^l< -• <i^r) bezeichne a^x das P r o d u k t a^tl... a^ir. N a c h V o r a u s - setzung gibt es eine G l e i c h u n g

I a^xu^2x=0 (3.2)

xeV

m i t E l e m e n t e n u^x v o n C , die n i c h t alle i n m liegen. W i r n o r m i e r e n die G l e i c h u n g so, d a ß u⁰ = 1 ist. F ü r eine beliebige H y p e r e b e n e W v o n V bezeichne E^w d e n i n £ einbettbaren P f i s t e r - R a u m _L (a^x) u n d cw das v o n Ew dargestellte E l e m e n t

xeW

y axu\. M i t b e l i e b i g g e w ä h l t e m xeV\W u n d ebenfalls v o n Ew dargestelltem

xeW

dw l ä ß t s i c h (3.2) s c h r e i b e n als G l e i c h u n g cw + axdw = 0 .

Ist für mindestens eine H y p e r e b e n e W d a s E l e m e n t c^w E i n h e i t , so s i n d w i r fertig: E^w h a t ~a^x = c^wd^^x a l s Ä h n l i c h k e i t s n o r m , also ist £ = (1, a^x)® E^w

= (1, — 1 ) ® Ew. E s k ö n n e n aber n i c h t alle cw i n m liegen. D e n n d a n n erhielte m a n d u r c h S u m m a t i o n ü b e r alle W:

( 2 " - l ) c⁰+ ( 2 " -¹- l ) X c^xem

x±0

m i t c^x\ = a^xu^x. A u s (3.2) w ü r d e 2^n_1c⁰e m folgen, i m W i d e r s p r u c h z u c⁰ = l

u n d 2 e C * . q.e.d.

A u s diesem S a t z 3.1 folgt sofort (Pfister, W i t t ) Satz 3.3. Sei 2e C* und E ein Pfister-Raum.

(i) E ist genau dann Torsionselement in W(Q, wenn ein Vielfaches r x E den Raum — E enthält.

(ii) Hat E die Ordnung 2^ß+1 in W{C) mit fi ^ 0, so ist 2" x £ das kleinste Viel- fache von E, das — E enthält.

Beweis. Ist - E i n 2* x E enthalten, so ist - 1 e N(2^k x £ ) , also 2 *^{+ 1} x E ~ 0.

U m g e k e h r t folgt aus 2 "^{+ 1} x E ~ 0 wegen 2 e C , d a ß 2^M x E s 2" x ( - £ ) ist, u n d s o m i t , d a ß - E i n 2^M x £ e i n b e t t b a r ist. D a m i t ist (i) k l a r , sogar ü b e r e i n e m s e m i l o k a l e n R i n g C m i t 2 e C * . Z u m B e w e i s v o n (ii) ist n u r n o c h a u s z u s c h l i e ß e n , d a ß —E i n (2^M — 1) x E e n t h a l t e n ist. W ä r e dies n u n der F a l l , so w ä r e 2^M x £

i s o t r o p , a u f g r u n d unseres Satzes 3.1 a l s o s c h o n 2^M x E — 0. q.e.d.

A l s Stufe eines l o k a l e n R i n g e s C b e z e i c h n e n w i r d i e kleinste Z a h l 5, z u der eine R e l a t i o n

- l = c² + - . . + c^{s 2}

m i t c , e C existiert (s = oo, falls —1 n i c h t Q u a d r a t s u m m e ) . D e r S p e z i a l f a l l E = (1) v o n S a t z 3.3 besagt, d a ß i m F a l l e 2 e C * der R i n g C g e n a u d a n n e n d l i c h e Stufe s hat, w e n n die G r u p p e W(C) e n d l i c h e n E x p o n e n t e n h hat, u n d d a ß s d a n n

h . die 2 - P o t e n z — i s t .

Ist 2 G m , u n d 5 e n d l i c h , 2^k~¹ < 5 g 2 \ so k ö n n e n w i r i m m e r n o c h folgern, d a ß W(Q e n d l i c h e n E x p o n e n t e n h hat, d e r 2k+1 teilt. M i r ist j e d o c h n i c h t k l a r , o b d a r ü b e r h i n a u s e i n Z u s a m m e n h a n g z w i s c h e n der Stufe u n d Eigenschaften v o n W(C) besteht. F o l g t aus einer R e l a t i o n 2f cx ( l ) ~ 0 , d a ß ü b e r h a u p t e i n Vielfaches r x ( l ) das E l e m e n t - 1 d a r s t e l l t ? D i e Stufe b r a u c h t a u c h keine

2 - P o t e n z z u sein, wie s c h o n d e r R i n g Z / 4 Z d e r Stufe 3 zeigt.

Hilfssatz 3.4. Sei 2em und r eine 2-Potenz. Dann folgt aus einer Relation x2 H + x\r = 0 mit Elementen xt e C , die nicht alle in der gleichen Kongruenz- klasse m o d m liegen, daß die Stufe s^r ist.

Beweis. G i b t es eine T e i l s u m m e v o n r Q u a d r a t e n i n x² + ••• + x\^r, d i e eine E i n h e i t e ist, so ergibt unsere R e l a t i o n n a c h D i v i s i o n d u r c h e eine D a r s t e l l u n g v o n - 1 als S u m m e v o n r Q u a d r a t e n , d e n n n a c h 1.6 ist G^r eine G r u p p e . L i e g e n aber alle T e i l s u m m e n v o n r G l i e d e r n aus x\ + •• • + x f^r *^{n m}>^{s o m}ü s s e n alle x ,

z u e i n a n d e r m o d m k o n g r u e n t sein. D i e s e r F a l l w u r d e ausgeschlossen. q.e.d.

Satz 3.5. Sei 2 e m . C habe endliche Stufe s. Dann hat s die Gestalt 2k oder 2 * - l .

Beweis. S e i 2^k~¹ < s g 2^k. W i r h a b e n eine R e l a t i o n l + x ^ - h - - . - h x2 + 1= 0 .

Ist s ^ 2^{f c}- 2 , so k ö n n e n w i r H i l f s s a t z 3.4 a n w e n d e n m i t x^s + ² = ••• =*2r = 0-

W i r erhalten d e n W i d e r s p r u c h s^2^k~^l. q.e.d.

Beispiel 3.6. A u s g e h e n d v o n d e m R i n g C = Z / 4 Z lassen s i c h leicht l o k a l e R i n g e d e r Stufe 3 m i t g r o ß e n R e s t k l a s s e n k ö r p e r n k o n s t r u i e r e n . W i r betrachten

a l l g e m e i n e r einen l o k a l e n R i n g ( C , m) m i t 2k = k2 = 0 für alle kern. S e i D die L o k a l i s i e r u n g C [ f^x, f „ ]^p des P o l y n o m r i n g e s i n n V a r i a b l e n t^t ü b e r C n a c h e i n e m P r i m i d e a l p , das m C [ r¹, . . . r j u m f a ß t . D a n n ist D eine E r w e i t e r u n g v o n C , welche dieselbe Stufe wie C besitzt. Sei n ä m l i c h

-i=to~7i)

+ -

eine G l e i c h u n g i n D m i t / i , ^ e C [ fl 5. . . f„], # ^ p . M i t e i n e m weiteren n i c h t i n p gelegenen P o l y n o m h h a b e n w i r eine G l e i c h u n g

-(gh)2 = f ? + • • • + / / .

M i t # b z w . / b e z e i c h n e n w i r d i e P o l y n o m e , die aus gh u n d d e n fh entstehen, i n d e m w i r alle G l i e d e r m i t K o e f f i z i e n t e n i n m einfach weglassen. W e g e n unserer V o r a u s s e t z u n g ü b e r m ist g2 = (gh)2, f2 =(fih)2 u n d sicher #=f=0, d a sogar g $ p. W i r vergleichen n u n i n der G l e i c h u n g

- 3²

= /V + -+/7

die K o e f f i z i e n t e n des h ö c h s t e n M o n o m e s b z g l . der l e x i k o g r a p h i s c h e n A n - o r d n u n g , das i n e i n e m der f² w i r k l i c h auftritt, u n d sehen, d a ß — 1 s c h o n i n C S u m m e v o n s oder weniger Q u a d r a t e n ist.

§ 4. Annullatoren runder Formen

W i r n e n n e n z w e i q u a d r a t i s c h e R ä u m e £ , F äquivalent, u n d schreiben E ^ F , falls es h y p e r b o l i s c h e q u a d r a t i s c h e R ä u m e M , N gibt m i t E1M ^ F1N . D i e Ä q u i v a l e n z k l a s s e n aller q u a d r a t i s c h e n R ä u m e ü b e r C b i l d e n eine G r u p p e , die W i t t g r u p p e Wq(C) ( v g l . [ 1 ] , C h a p t e r V ) . Wq(C) ist d u r c h das T e n s o r - p r o d u k t e i n M o d u l ü b e r d e m W i t t r i n g W{Q der b i l i n e a r e n R ä u m e . Jeder q u a d r a t i s c h e R a u m E ist o r t h o g o n a l e S u m m e N1E⁰ eines h y p e r b o l i s c h e n R a u m e s N m i t e i n e m a n i s o t r o p e n R a u m E0 (vgl. [ 4 ] , 3.2.1). D a n u n für q u a d r a - tische R ä u m e ü b e r s e m i l o k a l e m C d i e K ü r z u n g s r e g e l gilt ( [ 5 ] , s. a u c h [12]), ist - wie i m K ö r p e r f a l l e - d i e Ä q u i v a l e n z k l a s s e v o n E d u r c h die I s o m o r p h i e - klasse v o n E⁰ gekennzeichnet. W i r nennen E⁰ einen Kernraum v o n E.

Theorem 4.1. Sei E runder quadratischer Raum über C und E nicht hyper- bolisch. Es gelte eine der folgenden Voraussetzungen:

a) d i m £ > 2, | C / m^f| > 2 für alle m^f;

b) d i m F = 2, IC/m,! > 3 für alle m^f, für jedes m , mit | C / m^f| = 4 ist F / m , F anisotrop.

Behauptung. Das Annullatorideal von (E) e Wq(C) in W(C) wird durch die Räume (1, —k) mit k e N(E) erzeugt.

Beweis. W i r k ö n n e n uns a u f d e n F a l l z u r ü c k z i e h e n , d a ß E a n i s o t r o p ist.

Ist E n ä m l i c h i s o t r o p u n d r u n d u n d E⁰ e i n K e r n r a u m v o n F , so folgt aus N ( £ ) = 4 ( F * ) = C * m i t der K ü r z u n g s r e g e l N(E⁰) = C*⁹ a l s o a f o r t i o r i , d a ß E⁰ r u n d ist.

Sei a b jetzt £ a n i s o t r o p u n d / das v o n d e n (1, — X) m i t Xe N(E) i n W(Q erzeugte Ideal, d a s s i c h e r l i c h i m A n n u l l a t o r i d e a l A n n £ enthalten ist. F ü r beC* u n d eine E i n h e i t c = £2q(x) + bn2q(y) m i t x , y e £ * ; £,rjeC g i l t :

(l,fe) = ( c ) ® ( l , f e ) m o d / . (4.2) In der T a t w i r d E v o n (1, - c ) ® ( l , Z ? ) a n n u l l i e r t (s. H i l f s s a t z 1.3) u n d d a m i t

a u c h v o n d e m d a z u m o d / k o n g r u e n t e n R a u m F = (q(x\bq{y), - c , -bc).

D a d e r T e i l r a u m (q(x),bq(y\ — c) i s o t r o p ist, h a t F d i e G e s t a l t NLG m i t m e t a b o l i s c h e m N u n d b i n ä r e m eigentlichen G , u n d es ist £ = G = 0 m o d / . K o n g r u e n z e n der A r t (4.2) w e r d e n w i r i m folgenden o h n e besondere E r w ä h n u n g h ä u f i g a u s n u t z e n .

A n g e n o m m e n , A n n £ + / . S e i F = (b1, ...,fen) e i n eigentlicher R a u m m i n i - m a l e r D i m e n s i o n n m i t F 0 m o d / , F ® E ~ 0. D e r R a u m (b²,..., &ⁿ) ® £ m u ß einen z u ( — fcj)® £ i s o m o r p h e n K e r n r a u m besitzen. D a h e r gibt es eine G l e i - c h u n g

b^l+b²q(x²)+-+b^Hq{Xn) = 0 (4.3)

mit x , e £ . W i r w o l l e n z u n ä c h s t F m o d u l o / z u e i n e m R a u m F' = (b\, ...,b'n) a b ä n d e r n , so d a ß sogar

fei +fc'² + ••• +K = 0

ist. A u f g r u n d v o n K o r o l l a r 1.4 gibt es ein P r o d u k t c v o n E i n h e i t e n der G e s t a l t

£²q(x) + bi^lb²n²q(y) m i t x , yeE*, ^neC, so d a ß c(b^t +b²q(x²)) s i c h i n der G e s t a l t b^lq(x\)-\-b²q(x²) m i t x '^{1 ?} x'² e £ * schreiben l ä ß t . M i t fej1 = c~ ¹bⁱq(x'ⁱ) (i= 1, 2) gilt n a c h der anfangs g e m a c h t e n B e m e r k u n g

(b^u . . . , bⁿ) = (c -¹ b^x, c -¹ b², b³, • • • b„) = (b\, b'², ft³,... b„)

m o d / u n d es ist fei + b'² -I- b³ q(x³) + ••• +b^bq(xⁿ) = 0. M a n setze d a s V e r - fahren fort.

W i r k ö n n e n a l s o a n n e h m e n , d a ß f ü r unseren R a u m F = (b^x ...,bⁿ) d i e S u m m e bl H +bn = 0 ist. S e i eu ...,<?„ eine O r t h o g o n a l b a s i s v o n F m i t H(e.) = &.. W i r w o l l e n d e n i s o t r o p e n V e k t o r 14 = ^ + • • • + £ „ i n eine meta- b o l i s c h e E b e n e i V c f einbetten, so d a ß das o r t h o g o n a l e K o m p l e m e n t N1 = G e i g e n t l i c h ist. E s ist d a n n F = NLG u n d w i r erhalten d e n g e w ü n s c h t e n W i d e r - s p r u c h G ® £ — 0 z u r M i n i m a l i t ä t v o n d i m £ . D i e s e s P r o b l e m ist l ö s b a r , w e n n es für jedes m a x i m a l e I d e a l m v o n C gelingt, das B i l d u e F/mF i n eine m e t a - b o l i s c h e E b e n e v o n F/mF m i t e i g e n t l i c h e m o r t h o g o n a l e n K o m p l e m e n t e i n z u - betten, u n d das w i e d e r u m ist genau d a n n m ö g l i c h , w e n n es einen z u u o r t h o - g o n a l e n a n i s o t r o p e n V e k t o r i n F/mF gibt.

A n g e n o m m e n , für e i n m a x i m a l e s Ideal m seien alle z u ü o r t h o g o n a l e n V e k t o r e n i s o t r o p . Insbesondere s i n d d i e B i l d e r d e r V e k t o r e n fc,-xf — fe/X; für i =t= j alle i s o t r o p , d . h . b^t = — ft, m o d m . D a s i c h e r l i c h n^3 ist, m u ß lern u n d

b^l = -"=bⁿ m o d m sein. I n diesem F a l l e ist B ( w , x )² = n(x) b^x für alle xeE u n d unsere A u f g a b e t a t s ä c h l i c h u n l ö s b a r .

W i r m ü s s e n also d e n R a u m F = (b^u ...,bⁿ) z u v o r m o d / so a b ä n d e r n , d a ß

n

i m m e r n o c h £ b{= 0 ist, aber für k e i n m m i t lern alle bt z u e i n a n d e r k o n g r u e n t i

s i n d . D a z u gehen w i r z u n ä c h s t z u (b^ ¹)®F ü b e r , n e h m e n also o h n e E i n s c h r ä n - k u n g der A l l g e m e i n h e i t bx = 1 a n . Sei c eine E i n h e i t der G e s t a l t £,2q{x) + n2b2q{y) m i t x , y G E*, ^neC. D a n n ist

c(l + b2) = q(x') + b2qty)

m i t x ' = £ x — 7jb2y> / = + A n g e n o m m e n , q(x') u n d s i n d E i n h e i t e n . D a n n gilt m i t b\=c~lq(x'\ b'2 = c~1b2q(y') wie o b e n :

F = {c~l,c~ lb2,

fo

,...,

fe

,...,

m o d / u n d es ist n ^ 3 u n d a u c h

b\ +b'2+bz + . . . + fc„ = 0 .

W i r w o l l e n n u n X J G £ * u n d £, G C so w ä h l e n , d a ß neben d e n für alle m a x i - m a l e n Ideale m z u e r f ü l l e n d e n B e d i n g u n g e n q(x') 0, q(y') ^ 0, c ^ 0, a n d e n m m i t 2 G m z u s ä t z l i c h nicht b\ = b'2 = b3 ist. D a n n s i n d w i r fertig. Ist 2 £ m oder nicht 1 = b² =. ^3, so k o m m e n w i r m i t 1, i r g e n d w e l c h e n a n i s o t r o p v o r - geschriebenen B i l d e r n für x , y i n E/mE u n d f/ = 0 z u m Z i e l . S e i jetzt m e i n m a x i m a l e s Ideal m i t 1 =b² = b³(m) u n d 2G m . D e r R a u m E = E/mE e n t h ä l t eine E b e n e ^ 4 [1,5] m i t z u n ä c h s t b e l i e b i g e m aeC/m, das w i r aber d u r c h A b ä n d e r u n g des entsprechenden Basiselementes d e r E b e n e i m m e r z u #=0 m a c h e n k ö n n e n , w e i l \C/m\ > 2 ist. W i r schreiben die B i l d e r v o n x , y i n E/mE als V e k t o r e n m i t d e r W e r t e t a b e l l e 4 [1,5] v o r u n d weiter £ = 1. D a n n h a b e n w i r für das B i l d rj v o n n i n C / m folgende V o r s c h r i f t e n :

l+5*y2=N0, l + r j + ä ^ + O , >j=N0,

w o b e i d i e F o r d e r u n g rj=\= 0 g l e i c h w e r t i g z u b\ ^ 1 ist. D i e s e V o r s c h r i f t e n lassen sich für | C / m | > 4 , also ^ 8 , e r s i c h t l i c h e r f ü l l e n u n d für | C / m | = 4 genau d a n n , w e n n 5=f= 1 ist. Sei jetzt \C/m\ = 4 . Ist d i m £ > 2 , so ist £ = 4 [ 1 , 5 ] ± G m i t u n i - versellem G , u n d w i r k ö n n e n diese Z e r l e g u n g leicht so a b ä n d e r n , d a ß 5 #= 1 ist.

Ist d i m £ = 2 u n d 5 = 1, s o ist £ = 4 [ 0 , 0 ] u n d m a n sieht leicht, d a ß d e r hier

eingeschlagene W e g k e i n e n E r f o l g hat. q.e.d.

Bemerkung 4.4. Ist C ein K ö r p e r , so s i n d d i e ü b e r C i n T h e o r e m 4.1 g e m a c h - ten E i n s c h r ä n k u n g e n ü b e r f l ü s s i g . E s ist d a n n n ä m l i c h a p r i o r i k l a r , d a ß der b i l i n e a r e R a u m F i m Beweis a n i s o t r o p sein m u ß , a u c h für C h a r a k t e r i s t i k 2.

I n d e r G l e i c h u n g (4.3) k a n n m a n d i e G l i e d e r m i t g(x,) N i c h t e i n h e i t , also = 0, weglassen u n d sofort d e n W i d e r s p r u c h h e r b e i f ü h r e n [ W i t t , u n v e r ö f f e n t l i c h t ] . Ü b e r e i n e m K ö r p e r C d e r C h a r a k t e r i s t i k 2 w i r d a u c h d e r A n n u l l a t o r eines r u n d e n Bilinearraumes E d u r c h eigentliche b i n ä r e R ä u m e erzeugt. D i e s ergibt sich ä h n l i c h d e m soeben s k i z z i e r t e n Beweis, w e i l jetzt a u c h i n jeder Ä h n l i c h - keitsklasse v o n B i l i n e a r r ä u m e n genau eine I s o m o r p h i t k l a s s e v o n a n i s o t r o p e n

3 M a t h . A n n . 193

34 M . Knebusch: Semilokale Ringe

R ä u m e n liegt ( [ 4 ] , 8.2.1, [15]). { Ü b e r b e l i e b i g e n l o k a l e n R i n g e n m i t 2 N i c h t - einheit b r a u c h t das n i c h t der F a l l z u sein, s. z. B . [ 4 ] , 9.3.8.}

A u s T h e o r e m 4.1 folgt m i t S a t z 1.2, d a ß e i n T o r s i o n s e l e m e n t der W i t t - g r u p p e Wq(C), das d u r c h e i n e n r u n d e n R a u m r e p r ä s e n t i e r t w e r d e n k a n n , 2 - P o t e n z - O r d n u n g hat, sofern alle | C / m , | > 2 s i n d . M e i n e s W i s s e n s ist i m F a l l e 2 £ C * n i c h t b e k a n n t , o b jedes T o r s i o n s e l e m e n t v o n Wq(C) 2 - P o t e n z - O r d n u n g hat.

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Dr. Manfred Knebusch Mathematisches Institut der Universität des Saarlandes BRD-6600 Saarbrücken 15, Bau 27 Deutschland

(Eingegangen am 15. Dezember 1970)