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Wie rund ist rund?

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Academic year: 2022

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(1)

Wie rund ist rund?

Hans Walser

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20220411-14

(2)

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20220411-14

Rund ohne π

Hans Walser

M NT

(3)

r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

Dimension Inhalt Rand

Intervall 2 2

Kreis 2

Kugel 4

4d-Hyperkugel 2

5d-Hyperkugel 6d-Hyperkugel 7d-Hyperkugel

2 4 3

3 2

1 2

2 4 2 3

8 15

2 5 8 3

2 4 1

6

3 6 3 5

16 105

3 7 16 15

3 6

π π

π π

π π

π π

π π

π π

Was man in der Schule lernt

(4)

r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

Dimension Inhalt Rand

Intervall 2 2

Kreis 2

Kugel 4

4d-Hyperkugel 2

5d-Hyperkugel 6d-Hyperkugel 7d-Hyperkugel

2 4 3

3 2

1 2

2 4 2 3

8 15

2 5 8 3

2 4 1

6

3 6 3 5

16 105

3 7 16 15

3 6

π π

π π

π π

π π

π π

π π

π 2 π 2

(5)

r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

Dimension Inhalt Rand

Intervall 2 2

Kreis 2

Kugel 4

4d-Hyperkugel 2

5d-Hyperkugel 6d-Hyperkugel 7d-Hyperkugel

2 4 3

3 2

1 2

2 4 2 3

8 15

2 5 8 3

2 4 1

6

3 6 3 5

16 105

3 7 16 15

3 6

π π

π π

π π

π π

π π

π π

(6)

r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

Dimension Inhalt Rand

Intervall 2 2

Kreis 2

Kugel 4

4d-Hyperkugel 2

5d-Hyperkugel 6d-Hyperkugel 7d-Hyperkugel

2 4 3

3 2

1 2

2 4 2 3

8 15

2 5 8 3

2 4 1

6

3 6 3 5

16 105

3 7 16 15

3 6

π π

π π

π π

π π

π π

π π

(7)

r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

Dimension Inhalt Rand

Intervall 2 2

Kreis 2

Kugel 4

4d-Hyperkugel 2

5d-Hyperkugel 6d-Hyperkugel 7d-Hyperkugel

2 4 3

3 2

1 2

2 4 2 3

8 15

2 5 8 3

2 4 1

6

3 6 3 5

16 105

3 7 16 15

3 6

π π

π π

π π

π π

π π

π π

Rand nicht
 zusammen- hängend Rund ohne π ?

(8)

Rund ohne π ?

Ansatz: Inhalt = anrn

Rekursion: a1 = 2

an+1 = an 1− t2

n

dt

−1

1

∫ M NT

(9)

r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

Dimension Inhalt Rand

Intervall 2 2

Kreis 2

Kugel 4

4d-Hyperkugel 2

5d-Hyperkugel 6d-Hyperkugel 7d-Hyperkugel

2 4 3

3 2

1 2

2 4 2 3

8 15

2 5 8 3

2 4 1

6

3 6 3 5

16 105

3 7 16 15

3 6

π π

π π

π π

π π

π π

π π

Rand nicht
 zusammen- hängend Rund ohne π ?

(10)

r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

Dimension Inhalt Rand

Intervall 2 2

Kreis 2

Kugel 4

4d-Hyperkugel 2

5d-Hyperkugel 6d-Hyperkugel 7d-Hyperkugel

2 4 3

3 2

1 2

2 4 2 3

8 15

2 5 8 3

2 4 1

6

3 6 3 5

16 105

3 7 16 15

3 6

π π

π π

π π

π π

π π

π π

Rand nicht
 zusammen- hängend Fallunterscheidung: un*gerade

(11)

r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

Dimension Inhalt Rand

Intervall 2 2

Kreis 2

Kugel 4

4d-Hyperkugel 2

5d-Hyperkugel 6d-Hyperkugel 7d-Hyperkugel

2 4 3

3 2

1 2

2 4 2 3

8 15

2 5 8 3

2 4 1

6

3 6 3 5

16 105

3 7 16 15

3 6

π π

π π

π π

π π

π π

π π

Fallunterscheidung: un*gerade

(12)

n ungerade

n = 2m−1 Inhalt = 2

( )

22mmm!! πm−1rn

n gerade

n = 2m Inhalt = m!1 πmrn

Inhalt = Γ

( )

12 n

Γ

( )

n2+1 rn Γ

( )

x = 0 tx−1 e−t dt

∞

∫

Allgemein mit Gamma-Funktion:

Fallunterscheidung: un*gerade

(13)

n ungerade

n = 2m−1 Inhalt = 2

( )

22mmm!! πm−1rn

n gerade

n = 2m Inhalt = m!1 πmrn

Inhalt = Γ

( )

12 n

Γ

( )

n2+1 rn Γ

( )

x = 0 tx−1 e−t dt

∞

∫

Allgemein mit Gamma-Funktion:

Fallunterscheidung: un*gerade

(14)

Inhalt der nd-Hyperkugel mit Radius 1

Max

(15)

Max

Inhalt der nd-Hyperkugel mit Radius 1

M NT

(16)

Max

Inhalt der nd-Hyperkugel mit Radius 1

M NT

KI: Mustererkennung (Krebsdiagnose, ... )

(17)

Kosinus-Spindel

(18)

Kosinus-Spindel

Kosinus-Kurve als Meridian

Drehmodell

(19)

Kosinus-Spindel

Kosinus-Kurve als Meridian

Drehmodell

(20)

Kosinus-Spindel

Kosinus-Kurve als Meridian

Drehmodell

(21)

Kosinus-Spindel

Kosinus-Kurve als Meridian

Drehmodell

(22)

Inhalt = 12 π2 Kosinus-Spindel

Kosinus-Kurve als Meridian

Drehmodell

(23)

Wie rund ist rund?

(24)

von oben von vorne von rechts

Wie rund ist rund?

(25)

Kugel mit leichten Dellen

z

(26)

Kugel mit leichten Dellen

(27)

Rohrpost

Welches ist der größte Körper, der noch durchgeht?

(28)

Rohrpost

Welches ist der größte Körper, der noch durchgeht?

(29)

Schnitt zweier Zylinder

(30)

Schnitt zweier Zylinder

(31)

Schnitt zweier Zylinder

von oben von vorne von rechts

(32)

Volumen

s s z 1

s = 2 1− z2

V = s2dz

−1

1

∫

= 4 1− z2 dz

−1 1

∫

= 163 = 5.3

von oben von vorne von rechts

(33)

Volumen

s s z 1

s = 2 1− z2

V = s2dz

−1

1

∫

= 4 1− z2 dz

−1 1

∫

= 163 = 5.3

von oben von vorne von rechts

(34)

Rund ohne π

V = s2 dz

−1

∫

1 = 4 1− z2 dz

−1

∫

1 = 163 = 5.3

VEinheitskugel = 43 π ≈ 4.189

Einheitskugel, Volumen transzendent irrational

(35)

Wie heißt dieser Körper?

(36)

Gewölbe

(37)

Abwicklung

Parallele Geraden

(38)

Abwicklung

(39)

Abwicklung

(40)

Abwicklung

(41)

Abwicklung

(42)

Sicht von oben

(43)

Abwicklung

(44)

Abwicklung

Rand Sinuskurve

(45)

Rund ohne π

Rand Sinuskurve

S = 8 sin

( )

t dt

0

π

∫

= 16

SEinheitskugel = 4π ≈ 12.566

(46)

Abwicklung

(47)

Abwicklung

M NT

GIS - Geoinformationssystem

(48)

Plattkarte (eurozentrisch)

(49)

Mercator / Sanson: Sinusoidal-Projektion

(50)

Ausschnitt 45°W bis 45°E

(51)

Ausschnitt 45°W bis 45°E

Kein rechter Winkel an der Spitze

Sinuskurve hat zu kleine Amplitude, nämlich π4 ≈ 0.785

(52)

Horizontal strecken

(53)

Abwicklung

(54)

Pseudo-Globus

Modell

(55)

6 Zylinder (12 Schnitze)

V =16 2

( )

− 3 ≈ 4.287 S = 46 2

( )

− 3 ≈12.862

Rund ohne π

(56)

Martin Waldseemüller, 1507

6 Zylinder (12 Schnitze)

M NT

(57)

V = 32 2 3

( )

−1

2 3+ 2+4 ≈ 4.213 S = 96 2 3

( )

−1

2 3+ 2+4 ≈12.639

12 Zylinder (24 Zeitzonen) Rund ohne π

(58)

Rohrpost

Welches ist der größte Körper, der noch durchgeht?

(59)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder

(60)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder

(61)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder

(62)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder

(63)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder

(64)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder

von oben von vorne von rechts

oben

vorne rechts

(65)

Sphärisches Rhombendodekaeder

von oben von vorne von rechts

oben

vorne rechts

(66)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder

Rundes Rhombendodekaeder

(67)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder

Kurze Rhombendiagonalen: Würfelkanten auf Oberfläche

Rundes Rhombendodekaeder

(68)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder Deckgewölbe abgeschnitten

Inkugel

(69)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder Deckgewölbe abgeschnitten

Inkugel

z = 22 ≈ 0.707

(70)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder Deckgewölbe

2 2

VDeckgewölbe = 4 1

( )

− z2 dz

2 2

1

∫

= 83 − 53 2 z = 22 ≈ 0.707

(71)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder Volumen: rund ohne π

2 2

VDeckgewölbe = 4 1

( )

− z2 dz

2 2

1

∫

= 83 − 53 2 z = 22 ≈ 0.707

V = 23 +6 8

3 − 53 2

( )

= 16−8 2 ≈ 4.6863

(72)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder Abwicklung

Rundes Rhombendodekaeder

(73)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder Sinuskurven

Rundes Rhombendodekaeder

(74)

Schnitt dreier orthogonaler Zylinder Oberfläche: rund ohne π

S = 48 sin

( )

t dt

0

π4

∫

= 48− 24 2 ≈14.0589

(75)

Einschaliges Rotationshyperboloid

(76)

Einschaliges Rotationshyperboloid Meridiankurve: gleichseitige Hyperbel

(77)

Einschaliges Rotationshyperboloid

Geradenschar, keine parallelen Geraden Neigungswinkel 45° gegenüber Boden

(78)

Negative Gaußsche Flächenkrümmung Nicht in die Ebene abwickelbar

Als Plakatsäule nicht geeignet

Einschaliges Rotationshyperboloid

Geradenschar, keine parallelen Geraden Neigungswinkel 45° gegenüber Boden

(79)

Les Essarts-le-Roi. Château d'eau Einschaliges Rotationshyperboloid

Geradenschar, keine parallelen Geraden

M NT

(80)

Einschaliges Rotationshyperboloid Zwei Geradenscharen

(81)

Einschaliges Rotationshyperboloid Zwei Geradenscharen

(82)

Einschaliges Rotationshyperboloid Zwei Geradenscharen

Modell

(83)

Einschaliges Rotationshyperboloid Zwei Geradenscharen

Hafenturm

in Kobe (Japan)

M NT

(84)

Einschaliges Rotationshyperboloid

(85)

Einschaliges Rotationshyperboloid

Inhalt = 83π

Doppeltes Kugelvolumen

(86)

Einschaliges Rotationshyperboloid

(87)

Schnitt dreier orthogonaler Hyperboloide

(88)

Schnitt dreier orthogonaler Hyperboloide

(89)

Schnitt dreier orthogonaler Hyperboloide Durchschnitt

Gekrümmtes Rhombendodekaeder

(90)

Schnitt dreier orthogonaler Hyperboloide Durchschnitt

Gekrümmtes Rhombendodekaeder

(91)

Schnitt dreier orthogonaler Hyperboloide Durchschnitt

Gekrümmtes Rhombendodekaeder

(92)

Schnitt dreier orthogonaler Hyperboloide Durchschnitt

Gekrümmtes Rhombendodekaeder

(93)

Vergleich mit Kepler-Stern

Modell

(94)

Vergleich mit Kepler-Stern

Modell

(95)

Modell Vergleich mit Kepler-Stern

Regelfläche

(96)

Schnitt dreier orthogonaler Hyperboloide Regelfläche

Modell

(97)

Hyperboloid-Stern

von oben von vorne von rechts

(98)

Kepler-Stern

von oben von vorne von rechts

(99)

Hyperboloid-Stern

von oben von vorne von rechts

(100)

Was ist denn das?

von oben von vorne von rechts

(101)

Was ist denn das?

Gelochter Würfel

Modell

(102)

Was ist denn das?

Gelochter Würfel

Modell

(103)

Gelochter Würfel

von oben von vorne von rechts

(104)

Was ist denn das?

von oben von vorne von rechts

(105)

Origami-Würfel

Modell

(106)

Gelochter Würfel Volumen = null

(107)

Kepler-Stern

z

(108)

Kepler-Stern

subtraktive Volumenberechnung

VWürfel = 23 = 8 VTetraeder = 13!3 = 61

VKepler-Stern = 8− 24⋅ 16 = 4

z

(109)

1 1

1

z

Kepler-Stern

subtraktive Volumenberechnung

VWürfel = 23 = 8 VTetraeder = 13!3 = 61

VKepler-Stern = 8− 24⋅ 16 = 4

(110)

1 1

1

z

Kepler-Stern

Volumen = halbes Würfelvolumen

VWürfel = 23 = 8 VTetraeder = 13!3 = 61

VKepler-Stern = 8− 24⋅ 16 = 4

(111)

Hyperboloid-Stern

additiv: Kepler-Stern + Zwischenraum

Zwischenraum unter dem hellblauen „Rhombus“

z

(112)

Hyperboloid-Stern

additiv: Kepler-Stern + Zwischenraum Schnitt auf Niveau 0.4

z

(113)

Hyperboloid-Stern

additiv: Kepler-Stern + Zwischenraum Schnitt auf Niveau 0.4

Niveaulinie Hyperboloid-Stern

(114)

Hyperboloid-Stern

additiv: Kepler-Stern + Zwischenraum Schnitt auf Niveau 0.4

Niveaulinie Hyperboloid-Stern und Kepler-Stern

(115)

0 z 1

α

Hyperboloid-Stern

additiv: Kepler-Stern + Zwischenraum Schnitt auf Niveau 0.4

Zwischenraum

(116)

0 z 1

α

Niveau ablesbar 45°-Kanten

Flächenstück gesucht Hyperboloid-Stern

additiv: Kepler-Stern + Zwischenraum Schnitt auf Niveau 0.4

(117)

r = z2 +1

α = π4 − arctan

( )

z

A = 12 r2α − 12 r2sin

( )

α cos

( )

α

VZwischen-

raum

= 48 A z

( )

0

∫

1 dz = −4+8ln 2

( )

VHyperboloid-Stern = 8ln 2

( )

VHyperboloid-Stern = a3ln 2

( )

0 z 1

α

Niveau ablesbar 45°-Kanten

Hyperboloid-Stern

r

(118)

r = z2 +1

α = π4 − arctan

( )

z

A = 12 r2α − 12 r2sin

( )

α cos

( )

α

VZwischen-

raum

= 48 A z

( )

0

∫

1 dz = −4+8ln 2

( )

VHyperboloid-Stern = 8ln 2

( )

VHyperboloid-Stern = a3ln 2

( )

0 z 1

α

Niveau ablesbar 45°-Kanten

Hyperboloid-Stern

r

(119)

r = z2 +1

α = π4 − arctan

( )

z

A = 12 r2α − 12 r2sin

( )

α cos

( )

α

VZwischen-

raum

= 48 A z

( )

0

∫

1 dz = −4+8ln 2

( )

VHyperboloid-Stern = 8ln 2

( )

VHyperboloid-Stern = a3ln 2

( )

0 z 1

α

Niveau ablesbar 45°-Kanten

Hyperboloid-Stern

r

M NT

(120)

r = z2 +1

α = π4 − arctan

( )

z

A = 12 r2α − 12 r2sin

( )

α cos

( )

α

VZwischen-

raum

= 48 A z

( )

0

∫

1 dz = −4+8ln 2

( )

VHyperboloid-Stern = 8ln 2

( )

VHyperboloid-Stern = a3ln 2

( )

0 z 1

α

Niveau ablesbar 45°-Kanten

Hyperboloid-Stern

r

(121)

r = z2 +1

α = π4 − arctan

( )

z

A = 12 r2α − 12 r2sin

( )

α cos

( )

α

VZwischen-

raum

= 48 A z

( )

0

∫

1 dz = −4+8ln 2

( )

VHyperboloid-Stern = 8ln 2

( )

VHyperboloid-Stern = a3ln 2

( )

0 z 1

α

Niveau ablesbar 45°-Kanten

Hyperboloid-Stern rund ohne π

r

(122)

r = z2 +1

α = π4 − arctan

( )

z

A = 12 r2α − 12 r2sin

( )

α cos

( )

α

VZwischen-

raum

= 48 A z

( )

0

∫

1 dz = −4+8ln 2

( )

VHyperboloid-Stern = 8ln 2

( )

VHyperboloid-Stern = a3ln 2

( )

0 z 1

α

Niveau ablesbar 45°-Kanten

Hyperboloid-Stern rund ohne π

r

Anteil am Würfel =

(123)

r = z2 +1

α = π4 − arctan

( )

z

A = 12 r2α − 12 r2sin

( )

α cos

( )

α

VZwischen-

raum

= 48 A z

( )

0

∫

1 dz = −4+8ln 2

( )

VHyperboloid-Stern = 8ln 2

( )

VHyperboloid-Stern = a3ln 2

( )

Hyperboloid-Stern rund ohne π

Anteil am Würfel =

(124)

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