Dominik Marty 1
Lineares Gleichungssystem
Es geht nun darum zu lernen wie man mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten auflösen kann.
Die Gleichung ax + by = c ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen x und y. Alle Punkte (x/y), die die lineare Gleichung erfüllen liegen auf derselben Gerade.
2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x a
= +
= +
Es gibt zwei Methoden wie man lineare Gleichungssysteme auflösen kann. Zu jeder Methode folgt ein Beispiel und einige Aufgaben zum üben.
1. Das Einsetzungsverfahren
3y = 15x + 9 [I]
11x – 2y = 1 [II]
1. [I] nach y auflösen, also durch 3 teilen:
[I] : 3 y = 5x + 3 [III]
11x – 2y = 1 [II]
2. y in [II] einsetzen:
11x – 2(5x+3) =1
3. Die entstandene Gleichung nach x auflösen
11x – 10x – 6 = 1 x – 6 = 1 | +6 x = 7
4. x = 7 in [III] einsetzen:
y = 5 . 7 + 3 = 38 L = {7;38}
Aufgaben
1) x = 3 – y 2) 2x = 75 – 5y
x – 3y = -25 4x = 6y + 6
3) 6x + 5y = -2 4) 15x + 4y = 18
-3x + 10y = 16 6x + y = 0
Ist ein lineares Gleichungssystem aus 2 linearen Gleichungen mit 2 Variablen. Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems ist die Schnittsmenge der Lösungsmengen der beiden Gleichungen.
y
Dominik Marty 2 2. Das Additionsverfahren
Addiert man die linken und rechten Seiten von zwei Gleichungen, so erhält man eine neue gültige Gleichung. Das Ziel ist, dass so eine Variabel wegfällt. Ist das geschafft, löst man die erhaltene Gleichung nach der übrig gebliebenen Variabel auf.
Beispiel 1
2x – y = 6 [I]
3x + y = 4 [II]
Jetzt addiert man die zwei Gleichungen. Jeweils das, was links des Gleichheitszeichens steht, und dasjenige was rechts des Gleichheitszeichens steht.
2x + 3x – y + y = 10 [III] Das y fällt nun weg!
5x = 10 x = 2 Das x = 2 setzt man nun in [I] ein 2 . 2 – y = 6 y = -2 L = {2, -2}
Beispiel 2
2x – 5y = 6 [I]
3x – 8y = 4 [II]
Wenn man jetzt gleich addiert wie bei Beispiel 1 fällt noch keine Variabel weg. Wie kann man das erreichen? Eine Möglichkeit wäre [I] mit 3 und [II] mit (-2) zu multiplizieren.
6x – 15y = 18 Jetzt kann man wie oben addieren!
-6x + 16y = -8
6x – 6x – 15y + 16y = 18 – 8 [III] Das x fällt nun weg!
y = 10 Das y = 10 setzt man nun in [I] ein 6x – 15 . 10 = 6 x = 28 L = {28, 10}
Aufgaben
1) 6x – 12y = 30 2) 2x – 6y = -8
- 5x + 3y = 18 -3x + 9y = 12
3) 9x + y = 35 4) 260x – 520y = 130 6x + y = 25 5x – 3y = 20
