Ein lineares Gleichungssystem hat die Form a
1,1x
1+ · · · + a
1,nx
n= b
1.. . .. . .. . .. . .. . .. . a
m,1x
1+ · · · + a
m,nx
n= b
m⇐⇒ Ax = b
mit einer Koeffizientenmatrix A = (a
j,k), zu bestimmenden Unbekannten x
kund einer rechten Seite b.
Das lineare Gleichungssystem ist homogen, wenn b = (0, . . . , 0)
t, andernfalls bezeichnet man es als inhomogen.
Besitzt das lineare Gleichungssystem keine L¨ osung (im Allgemeinen f¨ ur
m > n), so nennt man es ¨ uberbestimmt. Man spricht in diesem Fall auch
von einem Ausgleichsproblem. Ein lineares Gleichungssystem mit keiner
eindeutigen L¨ osung (im Allgemeinen f¨ ur m < n) wird als unterbestimmt
bezeichnet.
Beispiel
Approximation eines H¨ ohenprofils einer Etappe der Tour-de-France aus den Daten
x
j0 13 31 67 80 95 124 144 164 h
j399 562 397 1326 290 752 252 1130 1190
0 50 100 150
0 500 1000 1500
2 / 9
h(x) ≈ p(x) = X
k=1
c
kp
k(x) mit Exponentialfunktionen
p
k(x) = exp(−(x − x
k)
2/100) als Basisfunktionen
Vorteil der Basiswahl: starkes Abklingen von p
kf¨ ur |x − x
k| → ∞ keine globale Auswirkung von ¨ Anderungen
Interpolationsbedingungen h
j= p(x
j) =
n
X
k=1
c
kp
k(x
j), j = 1, . . . , n
⇐⇒ lineares Gleichungssystem
Ac = b
mit a
j,k= p
k(x
j) und b
j= h
jBeispiel
Elektrischer Schaltkreis
x
k: Kreisstr¨ ome mit Fließrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn R
j,k: gemeinsamer Widerstand der j -ten und k-ten Schleife
U
j: angelegte Spannungen
Ohmsches und Kirchhoffsches Gesetz lineares Gleichungssystem X
j∼0
x
jR
j,0+ X
j∼k
(x
j− x
k)R
j,k= U
jj ∼ k: j -te und k -te Schleife haben einen gemeinsamen Widerstand durchflossen vom Strom x
j− x
kR
j,0, j ∼ 0: Widerst¨ ande, die nur in der j -ten Schleife liegen
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150 −70 −80 0 0
−70 120 −10 −40 0
−80 −10 160 0 −70
0 −40 0 130 −30
0 0 −70 −30 190
x
1x
2x
3x
4x
5
=
110
0 0 0
−220
Diagonale: Summe der zu einer Schleife geh¨ origen Widerst¨ ande a
j,k: negativer gemeinsamer Widerstand der Schleifen j und k L¨ osung
x =
1.0157 0.5641 0.0358
−0.0940
−1.1595
L¨ osungsmenge eines linearen Gleichungssystems
Die L¨ osungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems Ax = (0, . . . , 0)
t,
mit einer m × n-Koeffizientenmatrix A ist ein Unterraum U des Vektorraums der n-Tupel (x
1, · · · , x
n)
t, U = Kern A.
Besitzt das inhomogene lineare Gleichungssystem Ax = b
eine L¨ osung v, so gilt f¨ ur die allgemeine L¨ osung x ∈ v + U , d.h. die L¨ osungsmenge ist ein affiner Unterraum.
Insbesondere kann also ein inhomogenes lineares Gleichungssystem entweder keine (6 ∃v ), eine (U = {0}) oder unendlich viele (dim U > 0) L¨ osungen besitzen.
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(i) F¨ ur L¨ osungen x, y des homogenen linearen Gleichungssystems gilt A(x + y ) = Ax + Ay = (0, . . . , 0)
t+ (0, . . . , 0)
t= (0, . . . , 0)
tA(sx ) = sAx = s(0, . . . , 0)
t= (0, . . . , 0)
t,
d.h. die L¨ osungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems bildet einen Unterraum U .
(ii) F¨ ur eine L¨ osung v des inhomogenen linearen Gleichungssystems Ax = b gilt
A(x − v) = Ax − Av = b − b = (0, . . . , 0)
t, d.h. u = x − v ∈ U .
L¨ osungsmenge v + U (affiner Unterraum)
Beispiel
Verschiedene Typen linearer Gleichungssysteme (i) Eindeutige L¨ osung:
0 2 1 3
x
1x
2= 4
5
⇐⇒ + 2x
2= 4 x
1+ 3x
2= 5 x
2= 2, x
1= −1
(ii) Unendlich viele L¨ osungen:
0 1 1 1 1 0
x
1x
2x
3
= 1
1
⇐⇒ x
2+ x
3= 1
x
1+ x
2= 1
x
2= t = ⇒ x
3= 1 − t, x
1= 1 − t, d.h. x = (1, 0, 1)
t| {z }
v
+ t(−1, 1, −1)
t| {z }
∈U
U : L¨ osungsraum des homogenen Gleichungssytems (dim U = 1, Gerade mit Richtung (−1, 1, −1)
t)
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