K a p i t e l 2 5 D i r a c s

(1)

K a pi te l 2 5

D ir a cs -F unk ti o n

25.1 In tro

IneinerKarto↵elistMassemehroderwenigergleichm

schlussgibtihresogMassedichte,hierbezeichnet%(~x).Definitionsgem ¨aßigverteilt.GenauenAuf-

¨aß

mV:= Z

V %(x)dV(25.1)

dieimVolumenVvorhandeneMasse.

SchrumpftdieKarto↵elzueinemMassepunkt,wirddiegesamteMasseMineinemeinzigenPunktrvereinigt.DieMassedichteistnurf¨urx=rverschiedenvonNull,notiert

%(x)=M(xr),(25.2)

cMartinWilkens3036.Juni2019

(2)

304Diracs-Funktion

wobeiZ

V (xr)dV= ⇢1,fallsr2V0sonst (25.3)

dieDefinitionsgleichungf¨urDiracs-Funktion.d(x-x)

x 1 •

Abb25.1BeliebteKarikaturderDelta-funktion. EineFunktion,derenIntegral

¨ub

erGebiete,dienureinenPunktrnichtenthalten,sonstaberbeliebiggew

¨ahlt

werdenk

PhysikerIngernealsFunktionvor,die ¨onnen,denWertNullergibtstelltmansichals

¨uberallNullist,nurnichtineinemPunkt,

(xr)=0f¨urx6=r.(25.4)

DieGr¨oßedese↵ektivenIntegrationsvolumensinGl.(25.3)istdemnachNull.DenendlichenWertdesIntegralserkl¨artmansichdanndamit,dassdie-Funktionbeix=rdenWert1annimmt,sodassaus0·1etwasEndliches(n

¨amlic

h1)resultiert.

MathematikerInnenknirschenhiermitdenZ

Funktionswert,0·1istschlichtQuark,dahersicherlichkeineFunktionim ¨ahnen:“Unendlich”istkeinakzeptabler

¨ublic

henSinne–sonderneinesogDistribution.Solche(undandere)DistributionenwerdeninderDistributionentheoriestudiert.Dortlerntmandann,dass(xr)eigentlicheinlinearesFunktional,alsoeineAbbildung,diejederbeirstetigenFunktionfihrenWertanderStellerzuweist;inderNotationderPhysikerInnen 1Z(xr)f(x)dV=f(r).(25.5)

Weressichzutraut,darfdieetwasnon-chalante“Definition”(25.4)durchdieGl.(25.5)ersetzen.WirnehmenunsallerdingsdieFreiheit,undredenweiterhinvonder-Funktion,auchwennessichdabeieigentlichumeineDistributionhan-delt.

1AuchdieseNotationm

¨oge nMathematikerInnennicht,suggeriertsiedochdass(xr)soetwaswieeinIntegralkernist,alsowiederumeineFunktion(immathematischenSinne),wassiehaltnichtist.Stattdessenschreibensier[f]=f(r)oder

¨ah

nliches.

6.Juni2019304cMartinWilkens

(3)

25.2Darstellungender-Funktion305

2 5 .2 D a rs te llung e n de r -F unk ti o n

Die-FunktionspieltindertheoretischenPhysikeinehervorragendeRolle.Grundgenug,sichmitihrn

¨aher

auseinanderzusetzen.Dabeiwerdenwirunszun

deneindimensionalenFallbeschr ¨achstauf

¨ank

en,inPhysikerInnen-SprachealsoZ(x⇠)f(x)dx=f(⇠).(25.6)

x-s/2x+s/2x 1/s 8/s

c1 c2 c8

Abb25.2Kastenfunktionennf¨urn=1,2,8. Die-FunktionwirdgernealsLimeseinerFunktionenfolgeaufgefasst.BetrachtenwirzumBeispieleineFolgevonKastenfunktionen,

n(x⇠):= ⇢n/⇠2n x⇠+2n0sonst .(25.7)

F¨ur

wachsendesnschautmanaufimmerschmalerundh

¨oher

werdende,umx=⇠herumzentrierteFunktionsgraphen.ImLimesn!1wirddieKastenfunktionunendlichschmal,limn!1 n(x⇠)=0x6=⇠.(25.8)

DieFl

¨acheunterderKastenfunktionistallerdingsunabh

¨angig

vonnimmerdieGleiche,Z1

1 n(x⇠)dx=1.(25.9)

Insbesondere

limn!1 Zb

a n(x⇠)dx= ⇢1falls⇠2[a,b]0sonst .(25.10)

Manbeachte,dasswirhiermitBedachtnichtgeschriebenhaben Rlimndx=1.WeilebenlimnkeineFunktionimstrengenSinne,w

¨usstemandochgarnicht,

(4)

306Diracs-Funktion

welchenWertdasIntegralvondiesemDingdennaufwiese.LimesbildungundInte-grationvertauschenhierhaltnicht.

Analogl¨aßtsichGl.(25.6)formulieren,

limn!1 Zb

a n(x⇠)f(x)dx= ⇢f(⇠)falls⇠2[a,b]0sonst (25.11)

undmitHilfedesMittelwertsatzesderIntegralrechnungleichtbeweisen,Zb

a f(x)n(x⇠)dx=f(⇣) Zb

a n(x⇠),⇣2[a,b]\[⇠2n ,⇠+2n ](25.12)

F¨ur

n!1ziehtsichdasIntervall[⇠2n ,⇠+2n ]aufeinenPunkt⇠zusammen,undmandarfgetrostersetzenf(⇣)!f(⇠).Liegt⇠imIntervall[a,b],soistderWertdesIntegrals1,sonst0.

Zusammengefasst(x⇠)=limn!1 n(x⇠)(25.13)

wobeiderLimesimSinne(25.11)zuverstehenist(alsoerstIntegration,dannGrenz-wertbildung).

DieDarstellung

¨ub

erdenLimeseinerFolgevonKastenfunktionenistbeileibenichtdieeinzigeM

¨oglic

hkeit,der-FunktionSinnzuverleihen.Inden¨UbungenlerneneSieanderM

¨oglichkeitenkenne,etwaviaGaussfunktionenodervieLorentzfunktionen.

VonhervorragenderBedeutungdieDarstellungZ1

1 e ik(x⇠)dk2⇡ =(x⇠)(25.14)

dieinderTheoriederFouriertransformationeineentscheidendeRolespielt.DerBetragdesIntegrandenist|e ik(x⇠)|=1,wirdalsoinsbesonderef¨urx!±1

(5)

25.2Darstellungender-Funktion307

nichtNull.W

¨ortlic

hgenommenistdasIntegralaufderlinkenSeiteschlicht“ill-defined”(englischf¨ur“sinnlos”)undkannnurdurchzus

¨atzlic

heErl

¨auterungen,

sogRegularisierung,gerettetwerden.

WirkonzentrierenunshieraufdieRegularisierungdurchAbschneiden.DieRegu-larisierungmiteinemGaussschenFaktorbzweinerExponentialfunktion

¨ub

erlassenwirden¨Ubungen.Seialso

sn(x⇠):= Z+n/

n/ e ik(x⇠)dk2⇡ (25.15)

dannlautetdieBehauptung

limn!1 sn(x⇠)=(x⇠),(25.16)

wobeiderGrenzwerterstnachIntegration

¨ub

ereineTestfuntionauszuf

¨uhre

nist. 1/p 6/p

xx-p s1 s6

Abb25.3Sinc-Funktionensnf¨urn=1,6. DasIntegralistschnellberechnet,

sn(x⇠)= sin[n(x⇠)/]⇡(x⇠) .(25.17)

Erinnertmansichjetztan R11 sintt dt=⇡(wasmanjamalimBronsteinnachschla-genkann),erh

¨alt

manZ1

1 sn(x⇠)dx=1,(25.18)

womitzumindestdieBedinung(25.3)erf¨ulltist.

EtwasschwierigerdieBedingung(25.4):imGrenzfalln!1oszilliertsn(x⇠)zwarrasendschnell,wirdaberfürx6=⇠nichtNull.AllerdingsgiltfürjedesIntervall[a,b],dasdenPunkt⇠nichtentählt,Zb

a sn(x⇠)dxC/n!0,⇠/2[a,b](25.19)

(6)

308Diracs-Funktion

worinCeinenurvona,b,⇠abh

¨angige

Konstante.MathematikerInnensagen“aufjedemIntervall,das⇠nichtenth

¨alt,

limsn(x⇠)=0fast

¨ub

erall”,unddasist–unterdemSchutzvonIntegralen–

¨aquiv

alent“aufjedemIntervall,das⇠nichtenth

¨alt,

limnsn(x⇠)=0.

2 5 .3 E ig e ns cha ft e n

Die-FunktionweisteineReihevonEigenschaftenauf,diesichunmittelbarausihrerDefinition(25.6)ergeben.

•Parit

¨at

(x)=(x)(25.20)

•MultiplikatonmitFunktion

g(x)(xa)=g(a)(xa)(25.21)

insbesonderex(x)=0.(25.22)

•Variablentransformation

[g(x)]= X

i 1|g 0(xi)| (xxi)(25.23)

wobeidiexiNullstellenderFunktiong(x).WichtigeSpezialf¨allesind

[c(xa)]= 1|c| (xa)(25.24)

(x 2a 2)= 12|a| [(xa)+(x+a)](25.25)

(7)

25.4Mehrdimensionale-Funktionen309

•StammfunktionZx

1 (x 0a)dx 0:=✓(xa)= ⇢0f

¨ur

x<a1f

¨ur x>a (25.26)

bzwddx ✓(xa)=(xa)(25.27)

•Ableitung

0(xa)=(xa) ddx (25.28)

2 5 .4 M e hr di m e ns io na le -F unk ti o ne n

InkartesischenKoordinaten

x=(x,y,z)⌘~x,r=(x0,y0,z0)⌘~r,dV=dxdydz⌘d 3x(25.29)

isto↵ensichtlich

(xr)⌘(~x~r)=(xx0)(yy0)(zz0).(25.30)

InkrummlinigenKoordinaten

x=(u,v,w),r=(u0,v0,w0),dV= @(x,y,z)@(u,v,w) dudvdw(25.31)

Definitionsgem

¨aß

R(xr)f(x)dV=f(u0,v0,w0)wasangesichtsderJacobideter-minanteimVolumenelementdurch

(xr)= 1

@(x,y,z)@(u,v,w) (uu0)(vv0)(ww0)(25.32)

(8)

310Diracs-Funktion

garantiertist.

Spezielf

¨alle

sinddiebeliebtenKugelkoordinaten,

(xr)= 1r2sin# (rr0)(##0)(''0)(25.33)

undZylinderkoordinaten,

(xr)= 1⇢ (⇢⇢0)(''0)(zz0).(25.34)

25.5 -F unk ti o n und G re e ns che F unk ti o ne n

EinewichtigeAnwendungerf¨ahrtdie-FunktioninderTheoriederlinearenDi↵e-rentialgleichungen.BetrachtenwiralsBeispieldengetriebenenharmonischenOszil-latormitD

¨ampfung,

m¨q+m0˙q+m! 20q=F(t),(25.35)

bzwkurz-und-b

¨undig

notiertˆLtq(t)=F(t)(25.36)

worinˆLteinlinearerDi↵erentialoperator,

Lt:=m d 2

dt2 +m0 ddt +m! 20.(25.37)

DieallgemeineL

¨osung

derDGL(25.35)istvonderForm

q(t)=qhom(t)+qspez(t),(25.38)

worinqhom(t)eineL

¨osung

derhomogenenGleichungˆLtqhom(t)=0,undqspez(t)eineL

¨osung

derinhomogenenGleichung,ˆLtqspez(t)=F(t).

(9)

25.5-FunktionundGreenscheFunktionen311

Stelltmansichnunvor,manhabeeineL

¨osung G(t,t 0)einerverwandtenDGL,

ˆLtG(t,t 0)=(tt 0)(25.39)

sow

¨are

dochdieL

¨osung

von(25.35)bzw(25.36)aufeineeinfacheIntegrationzur¨uckgef¨uhrt,

q(t)=qhom(t)+ Z1

1 G(t,t 0)F(t 0)dt 0.(25.40)

Beweis?AnwendungvonˆLtaufderrechtenSeite,ber

F(t)–undfertigistdieLaube. 111ttachten,dassLG(t,t)F(t)dt=LG(t,t)F(t)dt=(tt)F(t)dt=ˆˆ000000000111RRRthom¨ucksichtigenLq(t)=0,be-ˆ

EineFunktionG(t,t 0)dieeinerinhomogeneDGLmiteiner-FunktionalsInho-mogentit¨stgen

¨ugt,

heißtGreenscheFunktion.DieGreenscheFunktionkannof-fensichtlichmitderAuslenkungeinesHOidentifiziertwerden,demzumZeitpunktt=t 0ein“Einheitskraftstoß”(physikalisch:Hammerschlag)versetztwurde.DerNutzensoeinerGreenschenFunktionliegtaufderHand:kenntmanSie,mussmannichtjedesmalvonneuemeineDGL(25.36)l¨osenwennmandieKraftF(t)aufderrechtenSeite

¨andert.

DieGreenscheFunktionistnichteindeutig:klareSache–addiertmanzueinergegebenenGreenschenFunktioneineL

wiedereineGreenscheFunktion.EineeindeutigeGreenscheFunktionerh ¨osungderhomogenenGleichunghatman

¨alt

mandurchdieZusatzforderungen,meistdasVerhaltenvorbzwnachdemHammerschlagbetre↵end.

BeliebtisthierdiesogretardierteGreensfunktion,bezeichnetGret(t,t 0),wobeidefinitionsgem

¨aß Gret(t,t 0)=0f¨urt<t 0.Physikalisch:derHObefindetsichvordemHammerschlaginRuhe.F

¨urZeitennachdemKraftstoß,t>t,schwingtder 0

(10)

312Diracs-Funktion

HOfrei,allenfallsged

¨ampft, Gret(t,t 0)= (0f

¨ur Zeitent<t 0,

e(tt0)msin[!(tt 0)]f¨urZeitent>t 0. (25.41)

Die“Knickstelle”beit=t 0garantiert,dasssichinderAnwendungvonLtdie-Funktion(tt 0)ergibt.

.Aufgabe25-1(Deltafolge)(4Punkte)

BeweisenSie,dassdieFunktionenfolge

gn(x⇠):= rn2⇡2 exp ⇢n (x⇠) 2

22 ,n=1,2,...(25.42)

imLimesn!1eineDarstellungder-Funktionvermittelt,l¨assignotiert

(x⇠)=limn!1 rn2⇡2 exp ⇢n (x⇠) 2

22 .(25.43)

Hinweis:MachenSiesicheinBildderFolge;

¨ub

erzeugenSiesichdavon,dass Rgn(x⇠)dx=1undlimn!1gn(x⇠)=0f¨urx6=⇠.

.Aufgabe25-2(RegularisierungmitExponentialfunktion)

InderVorlesungsindSiemiteinemIntegral Re ikxdkkonfrontiertworden,undSiehabengelernt,dassoeinIntegralerstregularisiertwerdenmuss,bevoresweiterverarbeitetwerdenkann.HierbetrachtenwirdieRegularisierungmiteinerExpo-nentialfunktionimIntegranden.

(11)

25.5-FunktionundGreenscheFunktionen313

BeweisenSie,dassdieFolgevonIntegralen

ln(x⇠):= Z1

1 e ik(x⇠)|k|/ndk2⇡ ,n=1,2,...(25.47)

imLimesn!1eineDarstellungder-Funktionevermittelt,l¨assignotiert

(x⇠)=limn!1 ln(x⇠)= Z1

1 e ik(x⇠)dk2⇡ .(25.48)

(12)

314Diracs-Funktion