Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 12.06.2012 Mathematisches Institut
Prof. Dr. Christian Lubich
8. ¨Ubungsblatt zur Numerik instation¨arer Differentialgleichungen
Aufgabe 20:
Untersuchen Sie die von Neumann-Stabilit¨at f¨ur das Zentrierte-Differenzen-Schema:
un+1j −unj
τ =cunj+1−unj−1 2h und f¨ur die Friedrichs-Methode
un+1j −12[unj+1+unj−1]
τ =cunj+1−unj−1
2h .
Aufgabe 21:
F¨ur die W¨armeleitungsgleichung ut=uxx benutzen Sie die Crank-Nicholson Methode
un+1j −unj
τ = 1
2
un+1j+1 −2un+1j +un+1j−1
h2 +unj+1−2unj +unj−1 h2
! .
Untersuchen Sie den Wachstumsfaktor, die Stabilit¨at und Ordnung des Schemas.
Aufgabe 22:
Untersuchen Sie den Wachstumsfaktor, die Stabilit¨at und Ordnung der Crank-Nicholson Methode f¨ur die Schr¨odinger-Gleichung ut=iuxx. Zeigen Sie die Erhaltung der`2-Norm:
∞
X
j=−∞
|un+1j |2 =
∞
X
j=−∞
|unj|2.
Besprechung in den ¨Ubungen am 19.06.2012
Die ¨Ubungen finden jeweils dienstags von 16–18 Uhr im Raum S9 statt.
