Übungen

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Funktionen 4: Quadratische Funktionen, Extremwertaufgaben

1. Bestimmen Sie e so, dass der Graph von f(x) = x2_{+e durch P geht.}

a) P(2/6) b) P(–2/–6)

2. a) Bei einem Quadrat der Seitenlänge x cm werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge 1 cm herausgeschnitten. Es bleibt eine Fläche mit dem Inhalt A übrig. Wie lautet die Funktion A(x)? b) Bei einem Quadrat der Seitenlänge x cm wird die eine Seite um 2 cm verlängert, die andere um 2

cm verkürzt. Welche Funktion A(x) gibt den Flächeninhalt des entstehenden Rechtecks an?

3. a) Eine Funktion der Form f(x) = (x–d)2 _{nimmt für x = –1 und x = 9 den gleichen Funktionswert an.}

Für welchen x–Wert nimmt f ihr Minimum an?

b) Welche Funktion f(x) = (x–d)2 _{hat den Scheitelpunkt S(–2/0)?}

4. Bestimmen Sie denjenigen x–Wert, für welchen die beiden Funktionen f und g den gleichen Funktionswert annehmen.

a) f(x) = (x–1)2_{, g(x) = (x+4)}2 _{b) f(x) = (x–4)}2_{, g(x) = x}2_{–4 c) f(x) = (x–a)}2_{, g(x) = (x–b)}2

5. Der Graph von f(x) = x2_{+bx+c hat den Scheitelpunkt S. Berechnen Sie die Parameter b und c.}

a) S(1/2) b) S(4/–3)

6. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Funktion f.

a) f(x) = x2_{+10x+1 b) f(x) = x}2_{–8 c) f(x) = x}2_–10x+25

7. Bestimmen Sie d und e so, dass der Graph von f(x) = (x–d)2_{+e durch P und Q geht.}

a) P(–3/5), Q(5/5) b) P(–1/1), Q(1/–3)

8. Bestimmen Sie a so, dass der Graph von f(x) = ax2 _{durch P geht.}

a) P(3/3) b) P(–2.5/25)

9. Berechnen Sie das Maximum resp. das Minimum der Funktion. Für welches x nimmt sie es an? a) f(x) = 3x2_{–6x+3 b) g(x) = 0.2x}2_{–2x+2 c) u(t) = –t}2_+4t–2

10. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Funktion. Welche Richtung und Form hat die Parabel im Vergleich zur Normalparabel? Zeichnen Sie die Parabel!

a) f(x) = 0.5x2_{–5x–1 b) g(x) = 0.4x}2_{+2.4x–0.6 c) h(x) = 8x–x}2

d) r(t) = 3–2t2 _{e) s(t) = –0.5t}2_{+t+8 f) u(t) = 1.5t}2_–12t+24

11. Der Graph einer Funktion f(x) = ax2_{+bx+c hat den Scheitel S und geht durch den Punkt P. Bestimmen}

Sie die Parameter a, b und c!

a) S(1/4), P(3/0) b) S(–1/–5), P(3/11) c) S(10/–1), P(9/2)

12. Der Graph einer Funktion f(x) = ax2_{+bx+c geht durch die Punkte P, Q und R. Bestimmen Sie die}

Funktionsgleichung!

13. a) Für welche Zahl ist das Produkt aus der Hälfte der Zahl und der um 10 vergrösserten Zahl am kleinsten? Gib dieses Minimum an!

b) Für welche beiden Zahlen, von denen die eine um 2 grösser ist als die andere, ist das Produkt am kleinsten?

14. Bei einem Turnier spielen alle n Teams ein Hin- und ein Rückspiel. Welche Funktion s(n) gibt die Zahl der Spiele s für n Teams an?

15. Ariane will für ihr Meerschweinchen aus 17 m Maschendraht ein Gehege mit möglichst grossem Flächeninhalt bauen. Für eine Seite kann sie die Hauswand benützen. Wie muss Sie die Abmes-sungen wählen?

16. Eine Elektronikfirma verkauft monatlich 1'000 Stück eines Bauteils zu einem Stückpreis von Fr 10.–. Eine Markforschung hat ergeben, dass sich der Absatz bei einer Preissenkung von Fr –.10 pro Stück um 20 Stück monatlich erhöhen würde. Bei welcher Preissenkung werden die Einnahmen am grössten?

17. Ein Kino hat bei einem Eintrittspreis von Fr 8.– durchschnittlich 240 Besucher. Würde der

Ein-trittspreis um Fr –.50 erhöht, so ginge die Besucherzahl um 10 zurück. Bei welchem EinEin-trittspreis sind die Einnahmen am grössten?

18. Wie müssen Sie die Koordinaten von P wählen, damit das Rechteck möglichst grossen Flächeninhalt hat?

5 7

P

19. Der Umfang des Kirchenfensters beträgt 6 m. Für welche Grundkante wird die Glasfläche am grössten?

x

Lösungen

1a) 2, b) –10; 2a) A(x) = x2_{–4, b) A(x) = x}2_{–4; 3a) 4, b) f(x) = (x+2)}2_{; 4a) –1.5, b) 2.5, c) x = (a+b)/2;} 5a) f(x) = x2_{–2x+3, b) f(x) = x}2_{–8x+13; 6a) (–5/–24), b) (0/–8), c) (5/0); 7a) d = 1, e = –11, b) d = 1, e = –3;} 8a) 1/3, b) 4; 9a) Min(1/0), b) Min(5/–3), c) Max(2/2);

10a) S(5/–13.5), a=0.5, b) S(–3/–4.2), a=0.4, c) S(4/16), a=–1, d) S(0/3), a=–2, e) S(1/8.5), a=–0.5, f) S(4/0), a=1.5; 11a) f(x) = –x2_{+2x+3, b) f(x) = x}2_{+2x–4, c) f(x) = 3x}2_{–60x+299; 12a) f(x) = 2x}2_{+8x+6, b) f(x) = –0.5x}2_+x+9.5; 13a) x = –5, –12.5, b) –1, 1; 14) s(n) = n2_{–n, 15) 4.25 m · 8.5 m;}

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Funktionen 4a: Quadratische Funktionen

1. Die Parabel y = –2x2_{+4x+3 wird}

a) an ihrem Scheitelpunkt, b) an der x–Achse, c) an der y–Achse

gespiegelt. Wie lautet die Gleichung der gespiegelten Parabel?

2. Zwei Punkt bewegen sich mit konstanten Geschwindigkeiten auf zwei zueinander senkrechten Geraden. Im Zeitpunkt, in dem A den Schnittpunkt erreicht, ist B noch 8 m davon entfernt. 5 s später erreicht B den Schnittpunkt, sein Abstand von A misst dann 6 m. Wann ist der Abstand zwischen A und B am kleinsten und wie gross ist dieser minimale Abstand?

Hinweis: Untersuchen Sie das Quadrat des Abstandes! (Warum kommt man auch so auf die richtige Lösung?)

3. Mit einem Faden der Länge u soll der Umfang eines Kreissektors gebildet werden. Für welchen Radius und Zentriwinkel wird die Sektorfläche maximal?

4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion zuerst von Hand, dann mit dem Rechner. a) f(x) = |x2_{–4x| b) f(x) = x}2_–4·|x|+4

c) f(x) = |x2_{–4x|+4 d) f(x) = x}2_–|4x–4|

Lösungen

1a) y = 2x2_{–4x+7; b) y = 2x}2_{–4x–3; c) y = –2x}2_{–4x+3. 2) 3.2 s nachdem A am Schnittpunkt ist, 4.8 m.} 3) r = u/4, α = 2 rad ≈ 115°.