Kapitel 6: Quadratische Gleichungen

Kapitel 6: Quadratische Gleichungen

1. D

G

Allgemeine Form

Eine Gleichung, die man auf die Form

𝑎 ∙ 𝑥²+ 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 = 0 𝑚𝑖𝑡 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑢𝑛𝑑 𝑎 ≠ 0 umformen kann, nennt man quadratische Gleichung mit den Koeffizienten 𝑎, 𝑏, 𝑐.

Bemerkung: Voraussetzung einer quadratischen Gleichung ist nur, dass die Variable a ungleich 0 ist, d.h. der Term mit 𝑥² darf nicht wegfallen! Hingegen dürfen die Variablen b und c auch 0 sein.

2. L

G

Zum Lösen quadratischer Gleichungen können je nach Art verschiedene Methoden angewendet werden. Es werden drei (bzw. vier) verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen unterschieden. Die Voraussetzung mit 𝑎 ≠ 0 𝑢𝑛𝑑 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ bleibt bestehen.

Fall 1: 𝑎 ∙ 𝑥²+ 𝑐 = 0 (𝑏 = 0) Fall 2: 𝑎 ∙ 𝑥²+ 𝑏 ∙ 𝑥 = 0 (𝑐 = 0)

Fall 3a: 𝑎 ∙ 𝑥²+ 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0) Fall 3b: 𝑥²+ 𝑝 ∙ 𝑥 + 𝑞 = 0 (𝑎 = 1, 𝑏 = 𝑝, 𝑐 = 𝑞)

2.1 L

G

Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei reelle Lösungen besitzen!

2.2 D

Q

Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl x, ist jene nicht negative Zahl, die zum Quadrat wieder x ergibt.

√𝑥 = √𝑥² = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎² (𝑎, 𝑥 ∈ ℝ. 𝑎 ≥ 0, 𝑥 ≥ 0)

Die Wert innerhalb einer Quadratwurzel darf NIE negativ sein!!!

Bsp. 1) Berechne das Ergebnis.

√1 = √25 = √81 = √169 =

√4 = √36 = √100 = √196 =

√16 = √64 = √144 = √10000 =

2.3 Fall 1 (𝒃 = 𝟎) 𝑎 ∙ 𝑥 ² + 𝑐 = 0

Aufgabe: Finde alle reellen Zahlen, die mit sich selbst multipliziert 16 ergeben.

Durch Ausprobieren erkennt man, dass sowohl (−4) als auch (+4) zum Quadrat 16 ergeben.

(+4)²= 4 ∙ 4 = 16 (−4)²= (−4) ∙ (−4) = 16 Die Lösungsmenge ist daher gegeben durch: 𝐿 = {−4; +4}

ACHTUNG: Quadratwurzelziehen ist KEINE Äquivalenzumformung, da man dadurch nur positive Lösungen erhalten würde (wir würden die Lösung -4 verlieren).

𝑥 = √16 ⇔ 𝑥 = 4

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Definition: Diskriminante D

Die Diskriminante D ist der Term unter der Wurzel und gibt an, wie viele reelle Lösungen eine quadratische Gleichung besitzt.

𝑎 ∙ 𝑥²+ 𝑐 = 0 𝑎 ∙ 𝑥²= −𝑐 𝑥²= −𝑐

𝑎 𝑥_1,2= ±√−_𝒂^𝒄

▪ 1. Fall: 𝐷 < 0 – es gibt keine reelle Lösung

▪ 2. Fall: 𝐷 = 0 – es gibt eine reelle Lösung

▪ 3. Fall: 𝐷 > 0 – es gibt zwei reelle Lösung

Erinnerung: Definition WURZEL!!!

Bsp. 2) Löse die folgenden Gleichungen in ℝ. Gib die Lösungsmenge an.

a. 5𝑥²− 80 = 0 b. 5𝑥²= 0 c. 5𝑥²+ 80 = 0

d. 3𝑥²− 48 = 0 e. −2𝑥²+ 98 = 0 f. 7𝑥²− 28 = 0

Bsp. 3) Begründe, warum die Umformung keine Äquivalenzumformung ist.

a. 𝑥²= 100 | √² ⇒ 𝑥 = 10 b. 𝑥 = −3 |² ⇒ 𝑥²= 9

Bsp. 4) Betrachte folgende Gleichungen. Gib jeweils alle Werte für c an, damit die Gleichung (1) keine, (2) genau eine bzw. (3) zwei reelle Lösungen besitzt.

𝑥²= 𝑐

1) Keine reelle Lösung:

𝑥²+ 𝑐 = 0

1) Keine reelle Lösung:

Diskriminante 𝑫 =

𝒂

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2. Lösung 1. Lösung

Bsp. 5) Betrachte die quadratische Gleichung 𝑎 ∙ 𝑥²+ 𝑐 = 0 mit 𝑎, 𝑐 ∈ ℝ. Gib alle Werte für a und c an, damit die Gleichung (1) keine, (2) genau eine bzw. (3) zwei reelle Lösungen besitzt.

Keine Lösung: Genau eine Lösung: Zwei reelle Lösungen:

2.4 Fall 2 (𝒄 = 𝟎) 𝑎 ∙ 𝑥 ² + 𝑏 ∙ 𝑥 = 0

Diese quadratische Gleichung ist recht einfach zu lösen, da der konstante Term c wegfällt. Somit kann die quadratische Gleichung durch Herausheben in zwei Faktoren zerlegt werden.

Produkt-Null-Satz: Das Produkt zweier Faktoren ist immer 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist!

𝑎 ∙ 𝑥²+ 𝑏 ∙ 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 ∙ (𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏) = 0

𝒙_𝟏= 𝟎 𝑎 ∙ 𝑥₂+ 𝑏 = 0 ⟺ 𝒙_𝟐= −𝒃 𝒂

Eine quadratische Gleichung dieser Form besitzt immer zwei reelle Lösungen.

𝒙𝟏 = 𝟎 𝒖𝒏𝒅 𝒙𝟐= −𝒃

𝒂 (𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, 𝒂 ≠ 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟎)

Bsp. 6) Löse die folgenden Gleichungen in ℝ. Gib die Lösungsmenge an.

a. 𝑥²− 8𝑥 = 0 b. 3𝑥²+ 14𝑥 = 0 c. −16𝑥 − 4𝑥²= 0

Bsp. 7) Ein Schüler hat eine quadratische Gleichung auf folgende Art gelöst:

3𝑥²+ 6𝑥 = 0 | ∶ 𝑥 ⇒ 3𝑥 + 6 = 0 | − 6, ∶ 3 ⇒ 𝑥 = −2 Erkläre, warum die Division durch x keine Äquivalenzumformung ist!

Bsp. 8) Stelle eine quadratische Gleichung auf, die die angegebenen Lösungen besitzt.

a. 𝑥1= 0, 𝑥2= 5 b. 𝑥1= 0, 𝑥2= −3 c. 𝑥1= 0, 𝑥2= 15

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2.5 Fall 3: Allgemeine Form und normierte quadratische Gleichung

Beim 3.Fall gibt es nun grundsätzlich keine Vorgaben zu den Parametern 𝑎, 𝑏 𝑢𝑛𝑑 𝑐, die frei gewählt werden können (𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0):

𝑎 ∙ 𝑥

+ 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 = 0

Diese Darstellung wird allgemeine Form genannt und wird mit der großen Lösungsformel gelöst.

Dividierst du die allgemeine Form durch den Koeffizienten a, erhältst du die normierte Form (𝑎 = 1):

𝑎 ∙ 𝑥²+ 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 = 0 | ∶ 𝑎 𝑎

𝑎∙ 𝑥²+𝑏 𝑎∙ 𝑥 +𝑐

𝑎= 0 x²+𝑏

𝑎∙ 𝑥 +∙𝑐 𝑎= 0 Ersetze nun 𝑝 =^𝑏

𝑎 und 𝑞 =^𝑐

𝑎 um auf folgende Gleichung zu kommen:

𝑥²+ 𝑝 ∙ 𝑥 + 𝑞 = 0 (𝑛𝑜𝑟𝑚𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒 𝐹𝑜𝑟𝑚)

Die normierte quadratische Gleichung wird mit der kleinen Lösungsformel gelöst.

Fall 3a Fall 3b

Allgemeine Form Normierte quadratische Gleichung

𝑎 ∙ 𝑥²+ 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0)

𝑥²+ 𝑝 ∙ 𝑥 + 𝑞 = 0 (𝑎 = 1, 𝑝 =𝑏

𝑎, 𝑐 =𝑞 𝑎) 3𝑥²+ 18𝑥 − 21 = 0 𝑥²+ 6𝑥 − 7 = 0 (𝑑𝑢𝑟𝑐ℎ 3 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑟𝑡)

Große Lösungsformel

𝑥_1,2=−𝑏 ± √𝑏²− 4𝑎𝑐 2𝑎

a. Kleine Lösungsformel

𝑥1,2= −𝑝 2± √(𝑝

2)

2

− 𝑞

b. Ergänzung auf ein vollständiges Quadrat Lösungen

𝒙𝟏=−𝑏 + √𝑏²− 4𝑎𝑐 2𝑎

𝒙_𝟐=−𝑏 − √𝑏²− 4𝑎𝑐 2𝑎

𝒙𝟏= −𝑝 2+ √(𝑝

2)

2

− 𝑞

𝒙𝟐= −𝑝 2− √(𝑝

2)

2

− 𝑞

Bsp. 9) Gegeben ist die Gleichung 4𝑥²+ 16𝑥 − 16 = 0. Forme die Gleichung auf die normierte Form um.

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Definition: Diskriminante D

Die Diskriminante D ist der Term unter der Wurzel und gibt an, wie viele reelle Lösungen eine quadratische Gleichung besitzt.

𝑥_1,2 =−𝑏 ± √𝒃^𝟐− 𝟒𝒂𝒄 2𝑎 𝑫 = 𝒃^𝟐− 𝟒𝒂𝒄

𝑥_1,2= −𝑝 2± √(𝒑

𝟐)

𝟐

− 𝒒

𝑫 = (𝒑 𝟐)

𝟐

− 𝒒 Logische Erklärung – Warum bestimmt die Diskriminante die Anzahl der Lösungen?!

Die Wurzel der Diskriminante wird einmal addiert und einmal subtrahiert. Dadurch ergeben sich folgende Lösungsfälle:

▪ 1. Fall: 𝐷 < 0 – es gibt keine reelle Lösung

Wurzeln sind für negative Zahlen im reellen Zahlenbereich NICHT definiert (Erinnerung: Definitionsmenge von Termen bei Wurzeln). Dadurch kann die quadratische Gleichung keine reellen Lösungen besitzen.

▪ 2. Fall: 𝐷 = 0 – es gibt eine reelle Lösung

Es gilt: √0 = 0. Das Ergebnis bleibt gleich, wenn du nun zu einem Term 0 addierst bzw. subtrahierst.

D.h. ±0 führt genau zu einer reellen Lösung.

▪ 3. Fall: 𝐷 > 0 – es gibt zwei reelle Lösung

Die Wurzel der Diskriminante ist eine positive, reelle Zahl. Addierst du nun diese Zahl zu einem Term, kommt ein anderes Ergebnis dabei heraus, als wenn du sie subtrahierst. Daraus ergeben sich zwei verschiedene Lösungen.

Bsp. 10) Löse die quadratische Gleichung in ℝ mit der kleinen Lösungsformel. Gib die Lösungsmenge an.

a. 𝑥²− 6𝑥 + 5 = 0 b. 𝑥²− 6𝑥 + 9 = 0 c. 𝑥²− 3𝑥 + 9 = 0

Bsp. 11) Löse die quadratische Gleichung in ℝ mit der großen Lösungsformel. Gib die Lösungsmenge an.

a. 3𝑥²− 18𝑥 + 15 = 0 b. 3𝑥²+ 9𝑥 + 6 = 0 c. 2𝑥²+ 3𝑥 + 30 = 0

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Bsp. 12) Bestimme den Wert p so, dass die quadratische Gleichung genau eine reelle Lösung hat.

𝑥²+ 𝑝𝑥 + 25 = 0 𝑥²+ 𝑝𝑥 + 4 = 0

Bsp. 13) Bestimme den Wert q so, dass die quadratische Gleichung genau eine reelle Lösung hat.

𝑥²+ 4𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥²− 2𝑥 + 𝑞 = 0

Überlege zudem: Welche Werte darf q annehmen, dass die Gleichung keine bzw. zwei reelle Lösungen besitzt?

Bsp. 14) Bestimme den Parameter c so, dass die quadratische Gleichung genau eine reelle Lösung besitzt.

4𝑥²+ 12𝑥 + 𝑐 = 0 3𝑥² − 3𝑥 + 𝑐 = 0

Überlege zudem: Welche Werte darf c annehmen, dass die Gleichung keine bzw. zwei reelle Lösungen besitzt?

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Bsp. 15) Bestimme den Parameter b so, dass die quadratische Gleichung genau eine reelle Lösung besitzt.

3𝑥²+ 𝑏𝑥 + 3 = 0 −4𝑥²+ 𝑏𝑥 − 2 = 0

Bsp. 16) Bestimme den Parameter a so, dass die quadratische Gleichung genau eine reelle Lösung besitzt.

𝑎𝑥²+ 4𝑥 + 2 = 0 𝑎𝑥²− 8𝑥 − 8 = 0

Überlege zudem: Welche Werte darf a annehmen, dass die Gleichung keine bzw. zwei reelle Lösungen besitzt?

Variante 2 (Fall 3b): Lösen der normierten quadratischen Gleichung:

Ergänzung auf ein vollständiges Quadrat:

Um eine normierte quadratische Gleichung zu lösen, kann man entweder wie bisher die kleine Lösungsformel anwenden, oder die Gleichung schrittweise auf ein vollständiges Quadrat ergänzen.

Es wird die Gleichung 𝑥²+ 6𝑥 − 7 = 0 sowie die allgemeine Gleichung 𝑥²+ 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 in drei Schritten gelöst. Durch Umformen der allgemeinen Gleichung erkennt man, dass dadurch die kleine Lösungsformel hergeleitet wird.

Vorgehensweise Konkretes Beispiel Allgemein (kleine Lösungsformel)

1. Schritt:

Die Zahl (𝑞) wird (wenn notwendig) auf eine Seite gebracht.

𝑥²+ 6𝑥 − 7 = 0 | + 7 𝑥²+ 6𝑥 = 7

𝑥²+ 𝑝𝑥 + 𝑞 =0 |−𝑞 𝑥²+ 𝑝𝑥 = −𝑞

2. Schritt:

Die linke Seite wird auf ein vollständiges Quadrat ergänzt (so, dass eine binomische Formel angewandt werden kann) und als Binom angeschrieben.

Addiere +(^𝑝

2)² auf beide Seiten

𝑥²+ 6𝑥 = 7 | + (6 2)² 𝑥²+ 6𝑥 + 9 = 16

(𝑥 + 3)²= 16

𝑥²+ 𝑝𝑥 = −𝑞 | + (𝑝 2)² 𝑥²+ 𝑝𝑥 + (𝑝

2)²= (𝑝 2)²− 𝑞 (𝑥 +𝑝

2)

2

= (𝑝 2)

2

− 𝑞

3. Schritt:

Durch Wurzelziehen bzw. Umformen erhält man die Lösungen der Gleichung bzw. die kleine Lösungsformel beim allgemeinen Umformungsschritt.

Bemerkung: Ziehst du die Wurzel, musst du ± schreiben, da 2 Lösungen möglich sind:

4 ∙ 4 = 16 𝑢𝑛𝑑 (−4) ∙ (−4) = 16

(𝑥 + 3)²= 16 | ± √² 𝑥 + 3 = ±4 | − 3

𝑥_1,2= −3 ± 4 𝑥₁= −3 + 4 = 1 𝑥₂= −3 − 4 = −7

𝐿 = {−7; 1}

(𝑥 +𝑝 2)

2

= (𝑝 2)

2

− 𝑞 | ± √²

𝑥 +𝑝

2= ±√(𝑝

2)²− 𝑞 | −𝑝 2

𝒙𝟏,𝟐= −𝒑 𝟐 ± √(𝒑

𝟐)^𝟐− 𝒒

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Bsp. 17) Löse die quadratische Gleichung durch Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat.

𝑥²− 10𝑥 + 9 = 0 𝑥²+ 3𝑥 − 28 = 0

2.6 S

V

:

Bei der Definitionsmenge von Bruchtermen hast du bereits den Produkt-Null Satz kennen gelernt.

Erinnerung: Bestimme die Definitionsmenge des folgenden Terms.

𝑇(𝑥) = 2

(𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 3) (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 3) ≠ 0 𝑥 ≠ 2, 𝑥 ≠ −3 → 𝐷 = ℝ \ {−3; 2}

Den Produkt-Null Satz kannst du nun verwenden, um mit Lösungen 𝒙_𝟏 und 𝒙_𝟐 eine normierte quadratische Gleichung aufzustellen:

Beispiel: 𝑥1= 3 & 𝑥2= 4 → (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 − 4) = 0 ⇔ 𝑥²− 7𝑥 + 12 = 0

Mit Hilfe des Produkt-Null Satzes hast du somit eine normierte quadratische Gleichung mit 𝑝 = −7 und 𝑞 = 12 gefunden, die sicher die beiden Lösungen 𝑥₁= 3 und 𝑥₂= 4 besitzt.

Es ist sogar ein weiterer Zusammenhang erkennbar:

(𝑥 − 3) ∙ (𝑥 − 4) = 𝑥²− (3 + 4) ∙ 𝑥 + 3 ∙ 4 = 0

Man erkennt, dass q das Produkt der beiden Lösungen und p die Gegenzahl der Summe der beiden Lösungen ist. Diese Sätze werden Satzgruppe von Vieta genannt:

Satzgruppe von VIETA

Sind 𝒙_𝟏 und 𝒙_𝟐 Lösungen einer normierten quadratischen Gleichung 𝒙^𝟐+ 𝒑𝒙 + 𝒒 = 𝟎, dann gilt:

(𝟏) 𝑥₁+ 𝑥₂= −𝑝 (𝟐) 𝑥₁∙ 𝑥₂= 𝑞 (𝟑) (𝑥 − 𝑥₁) ∙ (𝑥 − 𝑥₂) = 𝑥²+ 𝑝𝑥 + 𝑞

Bsp. 18) Von einer quadratischen Gleichung sind die beiden Lösungen 𝑥₁= −4 und 𝑥₂= 5 bekannt. Bestimme die quadratische Gleichung der Form 𝑥²+ 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 auf zwei verschiedene Arten:

Variante 1: mit Teil 1 & 2 vom Satz von Vieta Variante 2: mit Teil 3 vom Satz von Vieta

Produkt von Linearfaktoren

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Bemerkung zu Satz von Vieta – Teil 3:

Normierte Form: 𝑥²+ 𝑝𝑥 + 𝑞 = (𝑥 − 𝑥₁) ∙ (𝑥 − 𝑥₂) Allgemeine Form: 𝒂𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝒂 ∙ (𝑥 − 𝑥₁) ∙ (𝑥 − 𝑥₂)

Bsp. 19) Zerlege die quadratische Gleichung in ein Produkt von Linearfaktoren.

𝑥²− 𝑥 − 12 = 0 3𝑥²− 12𝑥 − 15 = 0

Bsp. 20) Stelle die normierte quadratische Gleichung auf und gib p,q bzw. beide Lösungen an.

a. 𝑥₁= −3; 𝑝 = −4 b. 𝑥₂= −12; 𝑞 = 48 c. 𝑝 = −3; 𝑞 = 2

Bsp. 21) Gegeben ist eine normierte quadratische Gleichung. Ergänze die leeren Felder der Tabelle.

Gleichung p q 𝑥₁ 𝑥₂

𝑥²+ 𝑥 − 20 = 0

-10 9

-21 -3

-6 -3

2.7 Q

B

𝑥²−1−^2𝑥+4

𝑥−1 = 2. Welche Werte darf x nicht annehmen?

1. Bestimme die Definitionsmenge.

Der Nenner darf nicht 0 sein:

▪ 1. Nenner: 𝑥²− 1 ≠ 0 ⇔ (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1) ≠ 0 𝒙 ≠ 𝟏 & 𝒙 ≠ −𝟏

▪ 2. Nenner: 𝑥 − 1 ≠ 0 ⇔ 𝒙 ≠ 𝟏

𝑫 = ℝ \ {−𝟏; +𝟏}

2. Bestimme den gemeinsamen Nenner: Zerlege die Nenner in möglichst viele Faktoren.

1. Nenner: 𝑥²− 1 = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1) 2. Nenner: (𝑥 − 1)

Gemeinsamer Nenner: (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1)

3. Erweitere auf den gemeinsamen Nenner. 3𝑥 + 3

(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1)−(2𝑥 + 4) ∙ (𝑥 + 1)

(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1) =2 ∙ (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1) (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1) 4. Multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner

die Bruchgleichung – die Nenner fallen weg.

Multipliziere die Gleichung auf beiden Seiten mit (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1):

(3𝑥 + 3) − (2𝑥 + 4) ∙ (𝑥 + 1) = 2 ∙ (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1)

5. Vereinfache den Term auf 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

3𝑥 + 3 − (2𝑥²+ 4𝑥 + 2𝑥 + 4) = 2 ∙ (𝑥²− 1) 3𝑥 + 3 − 2𝑥²− 6𝑥 − 4 = 2𝑥²− 2

−4𝑥²− 3𝑥 + 1 = 0

6. Löse die quadratische Gleichung.

Wende die große Lösungsformel an:

𝑥_1,2=3 ± √9 + 16

−8 =3 ± 5

−8 𝑥₁= 8

−8= −1 𝑥2=−2

−8=1 4

7. Bestimme die Lösungsmenge.

Da −1 in der Definitionsmenge nicht enthalten ist, darf diese Lösung nicht verwendet werden. Es gilt:

𝑳 = {𝟏 𝟒} Bsp. 22) Löse die Bruchgleichung mit 𝐺 = ℝ auf einem Zettel und gib die Definitionsmenge an.

a. ^3𝑥+3_𝑥+2 =^𝑥+1

𝑥−2 b. ²⁰

𝑥−1+⁵⁰

𝑥 = ¹⁰⁵

𝑥+2 c. _(𝑥−2)^{3∙(𝑥3−3𝑥−2)}_2∙(𝑥+2)−^3𝑥−8

𝑥−2 =^2𝑥−5

𝑥²−4

2.8 A

G

Stelle als quadratische Gleichung mit der Variable x dar. Berechne die Lösung.

a. Das Produkt zweier benachbarter natürlicher Zahlen ist 72.

Berechne die Zahlen.

b. Das Produkt einer Zahl mit der um 5 vergrößerten Zahl ist um 84 kleiner als das doppelte Quadrat der Zahl.

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