Funktionales Programmieren Teil 8 Carl Philipp Reh

Funktionales Programmieren

Teil 8

Carl Philipp Reh

Universit¨at Siegen

31. August 2020

Semantik der Fakult¨ at

Sei wieder fact :Z⊥→Z⊥ definiert als

fact(x) =







⊥ falls x=⊥, 1 falls x<0, x! falls x≥0.

Einerekursive Implementierung von fact in Haskell k¨onnte folgendermaßen aussehen:

f a c t :: Int - > Int

f a c t x = if x <= 0 t h e n 1

e l s e x * f a c t ( x - 1)

Wegen dem rekursiven Aufruf h¨angt die Semantik von f a c t von sich selbst ab. Wie gehen wir damit um?

Semantik der Fakult¨ at

Betrachten wir wieder die Kettec(i) = facti, wobei fact_i:Z⊥→Z⊥ f¨ur i ∈N definiert ist als

fact0(x) =⊥

fact_i+1(x) =







⊥ falls x=⊥oderx >i, 1 falls x<0,

x! falls 0≤x≤i.

In Haskell k¨onnte man f¨ur endlich vielei jeweils fact_i ohne

Rekursion¨uber f a c t _ i :: Int - > Int implementieren mit f a c t _ 0 x = u n d e f i n e d

f a c t _ { i +1} x = if x <= 0 t h e n 1

e l s e x * f a c t _ i ( x - 1)

Semantik der Fakult¨ at

Wir haben zum Beispiel, dass

f a c t _ 1 x = if x <= 0 t h e n 1

e l s e x * f a c t _ 0 ( x - 1) f a c t _ 2 x = if x <= 0 t h e n 1

e l s e x * f a c t _ 1 ( x - 1)

f a c t _ { i +1} ist also die Funktion, wo die Rekursioni mal aufgefaltet wurde. Deshalb berechnet f a c t _ { i +1} die Fakult¨at

”bisi“, also facti+1. Solch eine Implementierung w¨urde nat¨urlich unendlich viel Code ben¨otigen.

Stattdessen betrachten wir die Funktion r f a c t, die es uns erlaubt, von f a c t _ i zu f a c t _ { i +1} zu gelangen, also die Rekursion einmal aufzufalten. Diese Funktion erh¨alt im Gegensatz zu f a c t die rekursiv aufzurufende Funktion als Parameter.

Semantik der Fakult¨ at

r f a c t :: ( Int - > Int ) - > ( Int - > Int ) r f a c t f x = if x <= 0 t h e n 1

e l s e x * f ( x - 1)

Wir erhalten f¨ur JrfactK: (Z⊥→Z⊥)→(Z⊥→Z⊥), dass

JrfactK(f)(x) =







⊥ fallsx =⊥,

1 fallsx ≤0,

x·f(x−1) fallsx >0.

Wir k¨onnen nun f a c t _ i erhalten, indem wir r f a c t i mal auf u n d e f i n e d anwenden, also

f a c t _ 0 = u n d e f i n e d

f a c t _ 1 = r f a c t u n d e f i n e d

f a c t _ 2 = r f a c t ( r f a c t u n d e f i n e d ) ...

Fixpunkte

Die Idee ist nun, dass man immer weiter r f a c t anwendet, also die Rekursion immer weiter auffaltet, und so irgendwann bei f a c t ankommt. Intuitiv ist man mit dem Prozess erst fertig, wenn man eine Funktionf erh¨alt, sodass JrfactK(f) =f gilt. Das heißt, dass f einFixpunkt von JrfactKist. In dem Fall kann n¨amlich ein weiteres Anwenden von r f a c t nichts

”neues“ mehr bringen.

Die Fakult¨at ist ein solcher Fixpunkt vonJrfactK, da sie folgende Gleichung erf¨ullt:

JrfactK(fact)(x) =







⊥ falls x=⊥,

1 falls x≤0,

x·fact(x−1) falls x>0.

Dies kann man nachrechnen, indem man die Definition von fact einsetzt.

Fixpunkte

Funktionen k¨onnen aber mehrere Fixpunkte haben. Zum Beispiel betrachten wir

n o n t e r m :: Int - > Int

n o n t e r m x = n o n t e r m ( x + 1)

Wir k¨onnen auch hier die Rekursion als Parameter ¨ubergeben und erhalten:

r n o n t e r m :: ( Int - > Int ) - > ( Int - > Int ) r n o n t e r m f x = f ( x + 1)

Die Forderung f¨ur einen Fixpunkt f vonJrnontermKist also, dass f(x) =f(x+ 1) f¨ur allex ∈Zgilt. Das heißt, es mussf(y) =f(z) f¨ur alley,z ∈Zgelten. Außerdem gilt f(⊥) =f(⊥+ 1) =f(⊥), also wird ¨uberf(⊥) nichts gefordert.

Fixpunkte

Wir wollen nun, dass f a c t der

”am wenigsten definierte“

Fixpunkt von r f a c t ist. Intuitiv heißt das, dass der Fixpunkt, den wir w¨ahlen, nichts definiert, was nicht aus der Definition von r f a c t kommt. Im Fall von n o n t e r m ist dies also die ¨uberall undefinierte Funktion.

Formal ist einFixpunkteiner Funktion f:D →D ein Element x∈D mitf(x) =x. Sei (D,v_D) eine partielle Ordnung. x heißt kleinster Fixpunkt von f, wenn er kleiner als alle (anderen) Fixpunkte vonf ist, also wenn f¨ur jedes y ∈D mit f(y) =y gilt, dassxv_D y. Wir bezeichnen den kleinsten Fixpunkt von f bez¨uglichv_D (falls dieser existiert) mit µf.

Fixpunktsatz (Teil 1)

Der folgende Satz ist das zentrale Ergebnis ¨uber stetige

Funktionen. Er besagt, dass jede stetige Funktion einen kleinsten Fixpunkt hat und zeigt sogar, wie man diesen erh¨alt.

Satz 11

Sei(D,v_D) eine CPO. Jede stetige Funktion f : [D→D]hat einen kleinsten Fixpunkt. Dieser istµf =tc, wobei c:N→D die Kette c(i) =fⁱ(⊥_D) ist.

Beweis.

Da⊥_D kleinstes Element ist, gilt ⊥_D vf(⊥_D). Per Induktion folgt aus der Monotonie vonf, dassfⁱ(⊥_D)vfⁱ⁺¹(⊥_D) f¨ur alle i ∈N. Somit istc eine Kette. Wir wollen nun zeigen, dasstc =µf.

Fixpunktsatz (Teil 2)

Beweis.

Um zu zeigen, dasstc ¨uberhaupt ein Fixpunkt vonf ist, m¨ussen wir zeigen, dassf(tc) =tc. Zun¨achst gilt, dass f(tc) =t(f ◦c), weilf stetig ist. Es gilt λi.(f ◦c)(i) =λi.fⁱ⁺¹(⊥_D) =λi.c(i+ 1).

Dann istc⁰:N→D mitc⁰(i) =c(i+ 1) =f ◦c auch eine Kette (nach Folgerung??). Des Weiteren gilt tc =tc⁰ (Beweis:

Ubung), woraus wir schließen, dass¨ t(f ◦c) =tc.

Seid ein (anderer) Fixpunkt von f, also f(d) =d. Zu zeigen ist noch, dasstc vd. Es gilt ⊥_D vd. Per Induktion folgt aus der Monotonie vonf, dassfⁱ(⊥_D)vfⁱ(d) f¨ur alle i ∈N. Weild Fixpunkt ist, gilt auchfⁱ(d) =d f¨ur alle i ∈N, alsofⁱ(⊥_D)vd. Damit haben wir, dass Img(c) ={fⁱ(⊥_D)|i ∈N} vd und somit tc vd.

Semantik der Fakult¨ at

Wir wollen nun noch zeigen, dassµJrfactK= fact. Dazu zeigen wir zun¨achst per Induktion, dassJrfactK

i(⊥) = fact_i f¨ur alle i ∈N. Es giltJrfactK

0(⊥) =⊥= fact₀. Sei i ∈N. Dann gilt JrfactK(facti) = facti+1 (Beweis: ¨Ubung). AusJrfactK

i(⊥) = fact_i folgt, dass

JrfactK

i+1(⊥) =JrfactK(JrfactK

i(⊥)) =JrfactK(facti) =Jfacti+1K. Wir erhalten mit dem Fixpunktsatz, dass

µJrfactK=tλi.JrfactK

i(⊥). Außerdem wissen wir bereits, dass tλi.fact_i= fact. Insgesamt erhalten wir also, dass

µJrfactK=tλi.JrfactK

i(⊥) =tλi.facti = fact. Man m¨usste noch zeigen, dassJrfactKstetig ist. Dies erh¨alt man aus der Tatsache, dass Fallunterscheidung, Applikation und die Basisfunktionen wie Vergleiche, Multiplikation, usw. stetig sind.

Fixpunkte

Den kleinsten Fixpunkt von r f a c t kann mannicht ausrechnen, da man r f a c t unendlich oft anwenden m¨usste. Warum ist dies aber kein Problem?

Erstens wollen wir ¨uber diesen Prozess eine mathematische Funktion definieren. Dazu m¨ussen wir diese nicht von einem Programm ausrechnen lassen.

Zweitens gen¨ugt es f¨ur das Ausrechnen einer Stelle der Fakult¨at, r f a c t nurendlich oft anzuwenden, also eine endliche

Approximation vonµJrfactKauszurechnen.