Ubungen zur Thermodynamik ¨

(1)

Ubungen zur Thermodynamik ¨

7. Blatt 1. Juni. 2005

Abgabe 8. Juni, Postfach “Thermo” neben Raum 1.4.16

Magnetisierung eines Paramagneten

1. Die Energie E von N Spins S

n

in einem Magnetfeld H ist durch

E = −µ

N

X

n=1

H · S

n

gegeben. Berechnen Sie die freie Energie F =−k

_B

T ln Z und Magnetisierung M = − (∂F/∂H)

T

(a) f¨ ur I

^SING

spins, d.h., S

n

= ±1 und hat damit nur zwei Orientierungen bez¨ uglich des Mag- netfelds H, entweder parallel oder antiparallel zu H.

(b) f¨ ur H

^EISENBERG

spins, d.h., S

n

= (S

_n^x

, S

_n^y

, S

_n^z

) sind dreidimensionale Vektoren der L¨ ange

|S

n

| = 1. H · S

n

in (∗) ist in diesem Fall das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren S

n

und H, so daß man ¨ uber alle Richtungen der Vektoren S

n

mitteln oder integrieren muß, um die Zustandssumme Z zu berechnen.

Zustandsintegral und Thermodynamische Potentiale f¨ ur das ideale Gas

2. Betrachten Sie zun¨ achst die generellen Formel f¨ ur das Zustandsintegral eines realen Gases

Z (N, V, β) = 1 h

^3N

N !

Z

d

³

x

1

. . . d

³

x

N

d

³

p

1

. . . d

³

p

N

exp (−βH(x

₁

, . . . , x

N

; p

1

, . . . , p

N

)) (∗)

aus N Teilchen derselben Sorte im Volumen V und β = 1/k

B

T . Die Hamiltonfunktion mit Impuls p und Wechselwirkungspotential zwischen den Teilchen V ist

H =

N

X

i=1

p

²_i

2m + 1

2 X

i6=j

V(x

_i

− x

j

) .

Die Ortsintegration ist wegen der Potentiale technisch kaum durchzuf¨ uhren, w¨ ahrend die Im- pulsintegration keine Probleme bereitet. Mit V ≡ 0, dh. f¨ ur ideale Gase, l¨ aßt sich jedoch das Zustandsintegral ohne Schwierigkeiten bestimmen.

(a) Begr¨ unden Sie die Form (∗) der “Zustandssumme”.

(b) Berechnen Sie daraus f¨ ur das ideale Gas die folgende thermodynamische Potentiale:

Freie Energie F = −k

B

T ln Z ,

Innere Energie U , Entropie S und chemisches Potential µ .

Hinweis: Formell gilt f¨ ur die Innere Energie U = −(

_∂β^∂

ln Z )

V

und f¨ ur das Gibbssches Poten- tial G =

_β¹

V (

_∂V^∂

) ln Z)

β

Ubungen zur Thermodynamik ¨

Ubungen zur Thermodynamik ¨

7. Blatt 1. Juni. 2005

Abgabe 8. Juni, Postfach “Thermo” neben Raum 1.4.16

Magnetisierung eines Paramagneten

1. Die Energie E von N Spins S

in einem Magnetfeld H ist durch

E = −µ

X

H · S

gegeben. Berechnen Sie die freie Energie F =−k

T ln Z und Magnetisierung M = − (∂F/∂H)

(a) f¨ ur I

spins, d.h., S

= ±1 und hat damit nur zwei Orientierungen bez¨ uglich des Mag- netfelds H, entweder parallel oder antiparallel zu H.

(b) f¨ ur H

spins, d.h., S

= (S

, S

, S

) sind dreidimensionale Vektoren der L¨ ange

|S

| = 1. H · S

in (∗) ist in diesem Fall das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren S

und H, so daß man ¨ uber alle Richtungen der Vektoren S

mitteln oder integrieren muß, um die Zustandssumme Z zu berechnen.

Zustandsintegral und Thermodynamische Potentiale f¨ ur das ideale Gas

2. Betrachten Sie zun¨ achst die generellen Formel f¨ ur das Zustandsintegral eines realen Gases

Z (N, V, β) = 1 h

N !

Z

d

x

. . . d

x

d

p

. . . d

p

exp (−βH(x

, . . . , x

; p

, . . . , p

)) (∗)

aus N Teilchen derselben Sorte im Volumen V und β = 1/k

T . Die Hamiltonfunktion mit Impuls p und Wechselwirkungspotential zwischen den Teilchen V ist

H =

X

p

2m + 1

2 X

V(x

− x

) .

Die Ortsintegration ist wegen der Potentiale technisch kaum durchzuf¨ uhren, w¨ ahrend die Im- pulsintegration keine Probleme bereitet. Mit V ≡ 0, dh. f¨ ur ideale Gase, l¨ aßt sich jedoch das Zustandsintegral ohne Schwierigkeiten bestimmen.

(a) Begr¨ unden Sie die Form (∗) der “Zustandssumme”.

(b) Berechnen Sie daraus f¨ ur das ideale Gas die folgende thermodynamische Potentiale:

Freie Energie F = −k

T ln Z ,

Innere Energie U , Entropie S und chemisches Potential µ .

Hinweis: Formell gilt f¨ ur die Innere Energie U = −(

ln Z )

und f¨ ur das Gibbssches Poten- tial G =

V (

) ln Z)

− ln Z

mit µ = G/N . M¨ oglicherweise sind andere Beziehungen vorteilhafter.

(c) Wie sehen U , S und µ in ihren “nat¨ urlichen” Variablen aus?

(d) Bestimmen Sie mit den Ergebnissen von (b) Druck und spezifische W¨ arme.