Abiturprüfung Berufliche Oberschule 2013 mathphys-online

Abiturprüfung Berufliche Oberschule 2013

Mathematik 13 Technik - B I - Lösung

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Teilaufgabe 1.0

Zum 40-jährigen Firmenjubiläum des Bestehens der Beruflichen Oberschule ARCUS werden 250 Ehrengäste eingeladen. Speziell für die Ehrengäste findet ein Empfang mit dem Kultusminister statt. Aus den Erfahrungen der letzten Jahre wird angenommen, dass die Ehrengäste die Einladung mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% annehmen. Die Schule verfügt über eine Aula, die bei aus- reichender Beinfreiheit Platz für 175 Stühle bietet.

Teilaufgabe 1.1 (4 BE)

Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die 175 Stühle nicht ausreichen.

X: Anzahl der Ehrengäste, die kommen, unter n 250. Wahrscheinlichkeit: p 0.75

Erwatungswert: μ n p μ187.5

Standardabweichung: σ n p (1 p) σ 6.847 >3, Näherung möglich

P X( 175)=1P X( 175) 1 Φ 175187.5 0.5 6.847

 



 





= =1 Φ(1.75)=1(1 Φ(1.75))

P X( 175)=0.96

Mathcad-Lösung:

kumulative standardisierte Normalverteilung: P x( ) knorm x( )

ka 175 xa kaμ0.5

σ Gleitkommazahl 3  1.75



Pa^ P xa

 

Berechnen Sie die Anzahl der zusätzlich mindestens benötigten Stühle für den Empfang, wenn das Risiko, zu wenig Stühle aufgestellt zu haben, höchstens 1% betragen soll.

P X( k)0.01 ⇔ 1 P X( k)0.01 ⇔ P X( k)0.99 TW

Φ k187.50.5 46.875

 



 



k187.50.5 46.875

2.326



k2.326 46.875187.50.5k202.925 ⇒ kmin 203

203 175 28 Es müssen mindestens 28 zusätzliche Stühle aufgestellt werden.

Mathcad-Lösung: α 0.99

inverse kumulative standardisierte Normalverteilung: t k( ) qnorm k 0(  1)

kα t( )α 2.326

t0 k( ) kμ0.5

σ Gleitkommazahl 5 0.14606 k 27.313



k0 t0 k( )=kα0.14606 k  27.313=2.3263478740408416 auflösen k

Gleitkommazahl 6 202.926



Ergebnis: k0 202.926

Teilaufgabe 1.3 (4 BE)

Eine Überlegung des Schulleiters ist, dass es nicht gut aussieht, wenn bei dieser Veranstaltung zu viele Ehrenplätze leer bleiben. Daher möchte er wissen, in welchem Bereich die zu erwartende Anzahl der Ehrengäste liegt. Bestimmen Sie den Bereich J = { x ∈ IN | xμ σ }, in dem die zu erwartende Anzahl der Ehrengäste liegt. Berechnen Sie auch die Wahrscheinlichkeit P J( ).

Untere Grenze: μσ 180.653 Obere Grenze: μσ 194.347

μσ Xμ σ Gleitkommazahl 3 181.0X194.0

⇒ J = { 181 182 ...194 }

P J( ) =P 181( X194)=P 194( ) P 180( ) Φ 194 μ0.5 σ

 



 



180 μ 0.5 σ

 



 





=

...=Φ(1.022)Φ(1.022)=Φ(1.022) (1Φ(1.022))=2Φ(1.022) 1

...=2 0.84614  1=0.692

Mathcad-Lösung:

k1 180 x1 k1μ0.5

σ Gleitkommazahl 3  1.02



P1^ P x1

 

σ Gleitkommazahl 3  1.02



P2^ P x2

 

Teilaufgabe 2.0

Die ARCUS-Schule führt zu Beginn jeden Schuljahres bei allen neu aufgenommenen Schülern der technischen Ausbildungsrichtung (T-Schüler) eine Test durch, um Schüler ausfindig zu machen, die gemeinsam in sogenannten Computerklassen unterrichtet werden können. Erfahrungsgemäß sind im Schnitt 15% der Schüler der Ausbildungsrichtung Technik für die Computerklasse geeignet.

Teilaufgabe 2.1 (11 BE)

Berechnen Sie unter dieser Voraussetzung die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

A: Unter den 212 getesteten T-Schülern befinden sich genau 30 geeignete.

B: Unter den 212 getesteten T-Schülern sind mindestens 20, höchstens aber 40, die für die Computerklassen geeignet sind.

C: Der achte zufällig getestete Schüler ist der erste geeignete.

Gegeben: n 212 p 0.15

X: Anzahl der für die Computerklasse geeigneten Technik-Schüler.

Binomialverteilung:

PA P X 30= ( = )=B 212 0.15(  30) 212 30

 



 



 30(10.15)^{212 30}

=

Nebenrechnung: combin 212 39(  ) 6.284 10⁴²

PA combin 212 30(  )0.15³⁰0.85¹⁸² PA 0.074 Mathcad-Lösung: Pa dbinom 30 212(  0.15)0.074

μ n p  31.8 σ n p (1 p)5.199 >3, Näherung möglich

PB P 20 X= (  40)=P 40( ) P 19( ) Φ 40 μ 0.5 σ

 



 



19 μ0.5 σ

 



 





=

...=Φ(1.673)Φ(2.366)=Φ(1.673) (1Φ(2.366))=0.9525410.99111=0.94365

Mathcad-Lösung: Pbpnorm 40( μσ) pnorm 19( μσ) 0.93572

PC 0.15 0.85 ⁷ PC 0.04809 Gegenereignis D

nD

= : Unter den ersten acht Schülern ist kein geeigneter.

PnD 0.85⁸ PnD 0.272 1 PnD0.728

Teilaufgabe 2.2 (3 BE)

Die T-Schüler benötigen für den Test durchschnittlich 45 Minuten mit einer Standardabweichung von 3,0 Minuten. Man kann davon ausgehen, dass die von den T-Schülern benötigte Zeit für den Test normalverteilt ist. Um den Schülern entgegen zu kommen, wird die Dauer des Tests auf 50 Minuten festgelegt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein rein zufällig ausgewählter T-Schüler mit dem Test dennoch nicht fertig wird.

Gegeben: μ 45 σ 3 X: benötigte Zeit in Minuten, um fertig zu werden

P X( 50)=1P X( 50) 1 Φ 50 μ σ

 



 





= =1 Φ(1.667)=10.95254=0.04746

⇒ 4,7% der Schüler bewältigen den Test innerhalb von 50 Minuten nicht.

Teilaufgabe 2.3 (5 BE)

Besonders geeignete T-Schüler möchte die ARCUS-Schule durch kostenfrei zur Verfügung gestellte Notebooks fördern. Ein hierfür geeigneter Test, der F-Test, zeigt, dass ein zufällig ausgewählter T-Schüler mit einer Wahrscheinlichkeit von 16% für diese Förderung in Frage kommt. Bei einem für die Computerklasse ungeeigneten T-Schüler zeigt dieser F-Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 6% an, dass der Schüler für die Förderung geeignet ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der F-Test bei einem für die Computerklasse geeigneten T-Schüler positiv ausfällt.

Gegeben:

C: geeignet für die Computerklasse pC 0.16= F: geeignet für die Förderung: p_nC∩F=0.06

PF P= ^C∩F P_nC∩F

! PF 0.15 x=   0.85 0.06 =0.16

Berechnung:

x0 0.15 x  0.85 0.06 =0.16

auflösen x

Gleitkommazahl 30.727

 x0 72.7 %

Bei 72,7% der geeigneten T-Schüler geht der Test positiv aus.

Teilaufgabe 3 (7 BE)

Die ARCUS-Schule bietet seit einigen Jahren das Fach Spanisch als zweite Fremdsprache an. Da die Sprache Spanisch bei Schülern immer beliebter wird, geht die Schule davon aus, dass zum kommenden Schuljahr eine weitere Lehrkraft für Spanisch benötigt wird. Dies ist dann der Fall, wenn der Anteil der Schüler, die das Fach Spanisch belegen, 15% übersteigt (Gegenhypothese).

Daher werden 500 rein zufällig ausgewählte Schüler der 11-ten Klassen befragt, ob sie im nächsten Schuljahr Spanisch wählen werden. Geben Sie die Testgröße und die Nullhypothese an, bestimmen Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf einem Signifikanziveau von 5%

und geben Sie den daraus resultierenden Annahme- und Ablehnungsbereich an.

Testgröße: Anzahl der Schüler, die das Fach Spanisch belegen unter n 500 . Testart: Rechtsseitiger Signifikanztest p 0.15

Nullhypothese H

0: p0 p p0 0.15 Gegenhypothese H₁: p1 p p1 0.15

Annahmebereich: A = { 0 1 2...k } Ablehnungsbereich: A

= { k1k2...100 } Sigifikanzniveau: αS=0.05

P A

 

⇔ P X( k)0.95 ⇔ F A( )0.95 Erwartungswert: μ n p  75 σ n p (1 p)7.984 > 3

Näherung durch Normalverteilung möglich.

Φ kμ0.5 σ

 



 



Tafelwerk: kμ0.5

σ 1.645 auflösen k

Gleitkommazahl 4 87.63k∞

⇒ kmin 88=

Annahmebereich: A = { 0 1 ...88 }

Ablehnungsbereich: A

= { 89 90 ...500 }

Mathcad-Lösung: k qbinom 0.95 500(  0.15)88