Pr¨ufung von R. Jeltsch ge-L A TEX am 3. M¨arz 2003

2002

Pr¨ufung von R. Jeltsch ge-L ^A TEX am 3. M¨arz 2003

1

1.1

det(A) − |{z} λ

=1

E =

0 − 1 2

− 1 2 − 4 2 − 4 a − 1

= ( − 1)( − 4)2 + 2( − 1)( − 4) − ( − 1)( − 1)(a − 1) − (2 2 2)

= 9 − a = 0 ^! ⇒ a = 9

⇒ A =



 1 − 1 2

− 1 3 − 4 2 − 4 9





1.2

cond _x (A) = k A ^{− 1} k x k A k x = κ k A k 2 =

q

max | EW vonA ^T A |

Da A symmetrisch ist λ ² _A = λ _A T A (), wir suchen also max | A | und max | A ^{− 1} | χ _A = (1 − λ)(3 − λ)(9 − λ) + 8 + 8 − (1 − λ)16 − (9 − λ) − 2(3 − λ)2

= − λ ³ + 13λ ² − 18λ + 6

Da ein EW = 1 Polynomdivision mit (λ − 1)

⇒ (λ − 1)( − λ ² + 12λ − 6)

⇒ λ _{A 1} = 1

λ _{A 2} = − 12 + √ 120

− 2 = 6 + √ 30 λ _{A 3} = − 12 − √

120

− 2 = 6 − √ 30

⇒ max | EW | = 6 + √

30

1

1

λ _A − 1

2 = 1

6 + √ 30 λ _A −1

3 = 1

6 − √ 30

⇒ max | EW | = 1 6 − √

30 cond ₂ (A) =

6 + √

30 1

6 − √

30 = 6 + √

30 2

6 − √ 30

6 + √ 30

= 11 + 2 √

30 ≈ 21.95 1.3

R =



 r 11 r 12 r 13

0 r ₂₂ r ₂₃ 0 0 r ₃₃



 =



 

√ a ₁₁ ^a _r ¹²

11

a 13

r 11

0 p

a ₂₂ − r ₁₂ ^{2 a 23 −} _r ^{r 12 r 13}

22

0 0 p

a 33 − r ² ₁₃ − r ₂₃ ²



 



 



√ 1 ⁻ ₁ ^{1 2} ₁

0 p

3 − ( − 1) ^{2 − 4 −} √ ^{( − 1)2} 2

0 0

q

9 − 2 ² − ( − √ 2) ²



 

 =





1 − 1 2 0 √

2 − √ 2

0 0 √

3





1.4

cond ₂ (R) = q

max | EW von(R ⁻¹ ) ^T R ⁻¹ | q

max | EW vonR ^T R |

= p

max | EW vonA ⁻¹ | p

max | EW vonA |

= ?

rq

max | EW von(A ⁻¹ ) ^T A ⁻¹ | rq

max | EW vonA ^T A |

= rq

max | EW von(A ⁻¹ ) ^T A ⁻¹ | q

max | EW vonA ^T A |

= p

cond ₂ (A)

Der Schritt bei ? folgt aus 1.2 da eine Cholesky-Zerlegung nur m¨oglich ist,

wenn die Matrix symmetrisch positiv definit ist.

2

2.1

i x 0 − 4 1 − 1

2 4

Inverseinterpolation

i y f _i f [y _i , y _i+1 ] f[y _i , y _i+1 , y _i+2 ] 0 − 4 1

1 − 1 2 → ^{& 1} ₃

2 4 3 → ^{& 1} ₅ → ^& − ₃₀₀ ¹

Newton Polynom 1 + 1

3 (x + 4) − 5

300 (x + 4)(x + 1) ausgew¨artet an der Stelle x = 0 ⇒ 34 15 2.2

1

n + 1! max

x∈[−4,4] | f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) || Π ⁿ _i=0 (x − x i ) |

3

3.1

Fehler von: T(n) wenn I = √ ² π

R f (x) dx : mit f (x) = e ^{− x 2}

= | I − T (n) | ≤ h ²

12 (b − a) 2

√ π max

x ∈ [a,b] | f ⁰⁰ (x) | Anzahl St¨ utzstellen = n

h = b − a n gesucht: g(x, ) = n

f ⁰ (x) = − 2xe ^{− x 2} ⇒ f ⁰⁰ (x) = (4x ² − 2)e ^{− x 2} ≤

x − 0 n

2

12 (x − 0) 2

√ π max

x ∈ [a,b] | (4x ² − 2)e ^{−x 2} |

⇒ ( − 2x ² + 2x + 1)xe ^{−x 2} = 0 ^!

⇒ x = 0 ⇒ x = 0

⇒ e ^{− x 2} = 0 ⇒ x = ∞

⇒ − 2x ² + 2x + 1 = 0 ⇒ x = − 2 ± √ 12

− 4 = 1 2 ±

√ 12 4 Einsetzen der Resultate in max _x∈[a,b] | f (x) ⁰⁰ | ergibt x = 0 als L¨osung und

| f (0) ⁰⁰ | = 2.

≤

x − 0 n

2

12 (x − 0) 2

√ π 2 = x ³ 3 √

πn ² ⇒ n ≥ s

x ³ 3 √

π 3.2

n ≥ s

x ³ 3 √

π = s

1 ³ 3 √

π0.02 ≈ 3.07 ⇒ n = 4 I = 2

√ π Z

f(x) dx mit f(x) = e ^{− x 2}

f (0) = 1 f

1 4

= e ^{− 16 1} ≈ 0.939 f

1 2

= e ^{− 1 4} ≈ 0.779 f

3 4

= e ^{− 16 9} ≈ 0.570 f (1) = e ^{− 1} ≈ 0.368

T _normal (n) = b − a n

1

2 f (x ₀ ) +

n − 1

X

i=1

f (x _i ) + 1 2 f(x _n )

!

ohne 2

√ π

⇒ 2

√ π 1 4

1

2 1 + e ^{− 16 1} + e ^{− 1 4} + e ^{− 16 9} + 1 2 e ^{− 1}

≈ 0.838 ± 0.02

4

4.1

Periodischer Spline M 0 = M n



 

 

 

 

 



2 λ ₁ 0 · · · 0 µ ₁

µ 2 2 . .. 0

0 . .. ... .. .

.. . . .. ... 0

0 . .. 2 λ _n−1

λ n 0 . .. 0 µ n 2



 

 

 

 

 





 

 

 

 

 

 M ₁

.. . .. . .. . .. . M _n



 

 

 

 

 



=



 

 

 

 

 

 d ₁

.. . .. . .. . .. . d _n



 

 

 

 

 



µ _i = h _i

h _i + h _i+1 = 1

2 λ _i = 1 − µ _i = 1 2

d _i = 6

h _i f [x _i , x _i+1 , x _i+2 ]) ⇒ d ~ =



 



− 9

− 15 3

− 21



 



Schema der dividierten Differenzen

x _i f _i f[x _i , x _i+1 ] f [x _i , x _i+1 , x _i+2 ] 0 − 2

1 ⁵ ₂ → ^{& 9} ₂

2 4 → ^{& 3} ₂ → ^& − ³ ₂

3 ¹ ₂ → ^& − ⁷ ₂ → ^& − ⁵ ₂

4 − 2 → ^& − ⁵ ₂ → ^{& 1} ₂

5 ⁵ ₂ → ^{& 9} ₂ → ^{& 7} ₂

6 4 → ^{& 3} ₂ → ^& − ³ ₂

.. . .. . .. . .. .

Momentengleichung



 



2 ¹ ₂ 0 ¹ ₂

1

2 2 ¹ ₂ 0 0 ¹ ₂ 2 ¹ ₂

1

2 0 ¹ ₂ 2



 





 

 M ₁ M ₂ M ₃ M ₄



 

 =



 



− 9

− 15 3

− 21



 



 



1

2 2 ¹ ₂ 0 0 ¹ ₂ 2 ¹ ₂

1

2 0 ¹ ₂ 2

 

 ⇒ 0 ^{1 4}

1 4

15

8 1

2 − ¹ ₈

1

2 2 ¹ ₂

− ¹ ₈ ¹ ₂ ¹⁵ ₈

⇒

2

1

0 4 1 4

1 15 2

8 4

− 15 ₁₅ ¹

0 ¹ ₂

1 2 − ¹ ₈

28

15 8

8 15 15 28

15

⇒ 2

1

0 4 1 4

1 15 2

8 4

− 15 ₁₅ ¹

0

1 28 2 15 2 7

1

− 2 ¹ ₈ 8 15 12

7

Vorw¨artseinsetzen



 



1 0 0 0

1

4 1 0 0

0 ₁₅ ⁴ 1 0

1

4 − ₁₅ ^{1 2} ₇ 1



 

 ~y =



 



− 9

− 15 3

− 21



 

 ⇒ ~y =



 



− 9

− ⁵¹ ₄

32

− 5 ¹⁴⁸ ₇



 



R¨ uckw¨artseinsetzen



 



2 ¹ ₂ 0 ¹ ₂ 0 ¹⁵ ₈ ¹ ₂ − ¹ ₈ 0 0 ²⁸ _{15 15} ⁸ 0 0 0 ¹² ₇



 

 M ~ =



 



− 9

− ⁵¹ ₄

32

− 5 ¹⁴⁸ ₇



 

 ⇒ M ~ =



 

 1

− 9 ¹ ₂ 7

− 12 ¹ ₂



 



4.2

Wendestellen S(x)

[x _i−1 ,x _i ] = M _i−1 (x _i − x) ³

6h _i + M _i (x − x _i−1 ) ³ 6h _i + C _i

x − x _i−1 + x _i 2

+ D _i

∀ x ∈ [x i − 1 , x i ]

S ⁰ (x)

[x _i−1 ,x i ] = M _i−1 ( − 3) (x _i − x) ²

6h _i + M _i 3 (x − x _i−1 ) ² 6h _i + C _i S ⁰⁰ (x)

[x i − 1 ,x i ] = M i − 1 6 (x i − x)

6h _i + M i 6 (x − x i − 1 ) 6h _i

⇒ M i − 1 x i − M i − 1 x + M i x − M i x i − 1 = 0

x(M _i − M _{i − 1} ) = M _i x _{i − 1} − M _{i − 1} x _i x = M i x i − 1 − M i − 1 x i

M _i − M _i−1

i = 1 ⇒ x = 25 27 i = 2 ⇒ x = 15 21 i = 3 ⇒ x = i = 4 ⇒ x =

Spline

C _i = ^{f [x i ] −} _h ^{f [x i − 1 ]}

i − ^h ₆ ⁱ (M _i − M _i−1 ) D _i = ^{f [x i ] −} ₂ ^{f [x i − 1 ]} − ^h ₁₂ ^{2 i} (M _i + M _i−1 ) i = 1 ⇒ 0 = ^{5 2 − (} ₁ ^{− 2)} − ¹ ₆ (7 − ( − 20)) ⇒ ¹⁰ ₃

i = 2 ⇒ 6 ⇒ ⁷ ₃

i = 3 ⇒ − 9 ⇒ − ⁷ ₆

i = 4 ⇒ 3 ⇒ − ² ₃

S(x)

[0,1] = − 20 (1 − x) ³

6 + 7 (x − 0) ³

6 + 0(x − 0) + 10 3

5

5.1 5.2

6

6.1 6.2 6.3 6.4

Fehler in dieser Musterl¨osung bitte per e-mail an vordiplome@vmp.ethz.ch melden.

Thomas Kuster

thomas@fam-kuster.ch