MMD Mechatronische Maschinendynamik

MMD Maschinendynamik

_b^e

Prof. Dr.-Ing. Utzv. Wagner Sommersemester 2015

Lösungsvorshlag zur Klausur vom 04.08.2015

Lösungsvorshlag

Theorieaufgaben [ 10Punkte ℄

Aufgabe T1 [ 1 Punkt ℄

Wie ist der qualitative Zusammenhang zwishen der Vorspannkraft

T

^{und der W}ellenausbrei- tungsgeshwindigkeit

c

^{bei einer Saite mit konstanter Masse pro Länge}

µ

^{? Kreuzen Sie den}

rihtigen Verlaufan.

c c

c

T T

T

X

Aufgabe T2 [ 1 Punkt ℄

Eine ideale Flüssigkeit strömt wie skizziert durh ein

RohrmitvariablemQuershnitt.Kreuzen Siedierihtige

Aussage fürdieKraft

F

^{an, diedas System imGleihge-}

wiht hält.

F = 0 F > 0 F < 0

X

A

1

A

2

F F

v

1

v

2

̺

Aufgabe T3 [ 1 Punkt ℄

Eine Pumpesollbenutzt werden,um eineidea-

le Flüssigkeit wie abgebildet aus dem oenen

Reservoir gegen die Shwerkraft zu fördern. In

welher Höhe

h

0 ^{muss die Pumpe angebraht}

werden, wenn der Druk am Einlauf der Pum-

pe

p

^{� unddie}Flieÿgeshwindigkeit

v

^{� betragen}

sollundder Umgebungsdruk einheitlih

p

0 ^be-

trägt?

Gegeben:

p

^�,

v

^�,

h

0^,

p

0^,

g

^,

̺

g h

0

p

0

p

^�,

v

^�

̺

Nebenrehnung:

p

0

= p

^�

+ 1

2 ̺v

²�

+ ̺gh

0

Aufgabe T4 [ 1 Punkt ℄

Für einmehanishes System liefertdas Prinzip vonHamilton folgendenAusdruk:

δ

t¹

Z

t0

1 2

Z

l

0

� µ w ˙

²

− EIw

^′′

− F w

^′2

dx dt +

t¹

Z

t0

M δw

^′

(l, t) dt = 0.

Für welhe(s) der nahfolgend skizzierten Systeme ergibt sih dieser Ausdruk im Prinzipvon

Hamilton? Kreuzen Siean.

EI

^,

µ EI

^,

µ EI

^,

µ EI

^,

µ

F F

F F

M M

M

M

x x x x

z, w(x, t) z, w(x, t) z, w(x, t) z, w(x, t)

l 2 l

2

X

Aufgabe T5 [2 Punkte ℄

Geben Sie allegeometrishen und dynamishen Randbedingungenfür den skizzier-

ten Euler-Bernoulli-Balkenan.

x

z, w(x, t) EI, ρ, A, l

d w(0, t) = 0 w

^′

(0, t) = 0

w

^′′

(l, t) = 0 w

^′′′

(l, t) =

^dw(l,t)˙_EI

Aufgabe T6 [2 Punkte ℄

Skizzieren SiefürdiebeidenEuler-Bernoulli-Balkenjeweilsdieersteund diezweiteEigenform.

a)

b)

1.Eigenform 2.Eigenform

Aufgabe T7 [ 1 Punkt ℄

Eine Transversalwelleläuft ineiner Saite mitder Wellenausbreitungsgeshwindigkeit

c

^{aufdieLagerungbei}

x = 0

^{zu. IhrMaximum bendet sihzur Zeit}

t

₀

= 0

^bei

x = l

^.

SkizzierenSie imrehten DiagrammdieVershiebung

w(x, t

1

)

^{zur Zeit}

t

1

=

^2l_c ^.

l

w(x, t

0

) l w(x, t

1

)

c x x

Aufgabe T8 [ 1 Punkt ℄

Eineinseitigfesteingespannter EulerBernoulli-

Balken besitzt die abgebildete 2. Eigen-

form

W

2

(x)

^{bei der zweiten} Eigenkreisfre- quenz

ω

2 ^{und wird mit einer} Strekenlast

q(x, t) = ˆ q(x) cos(ω

₂

t)

^{bzw. miteiner Einzellast}

F (t) = ˆ F cos(ω

2

t)

^zu Shwingungen angeregt.

l x ˆ l W

₂

(x)

Kreuzen Sie dieBelastung(en) an, diedabei nihtzu Resonanz führt/führen.

l l ˆ l l

ˆ

q(x) q(x) ˆ F ˆ

X

Aufgabe 1 [ 10Punkte ℄

Die skizzierte Saite (Länge

l

^{, Masse}

pro Länge

µ

^{) wird durh die Kraft}

T

vorgespannt.

Gegeben:

T

^,

l

^,

µ

A B

T

x

z, w(x, t) l

a) Geben SiedieFeldgleihungunddieRandbedingungenan. Wiegroÿ istdieWellenausbrei-

tungsgeshwindigkeit

c

^?

Ergebnisse:

Feldgleihung:

w(x, t) ¨ − c

²

w

^′′

(x, t) = 0

¹

Randbedingungen:

w(0, t) = w(l, t) = 0

¹

Wellenausbreitungsgeshwindigkeit:

c = q

T

µ ¹

b) Bestimmen SiedieEigenkreisfrequenzen.

Nebenrehnung:

Ansatz:

w(x, t) = W (x)p(t)

Lösung:

W (x) = A cos(

^ω_c

x) + B sin(

^ω_c

x)

Anpassenan Randbedingungen:

W (0) = A = 0 −→ A = 0

¹

W (l) = B sin(

^ω_c

l) = 0 −→ sin(

^ω_c

l) = 0 −→

^ωk

c

l = kπ, k = 1, 2, . . .

¹

Eigenkreisfrequenzen:

ω

k

=

^kπc_l

, k = 1, 2, . . .

) Es seien nun die folgendenAnfangsbedingungen für

t = 0

^gegeben:

w(x, 0) = w

0

(x) = (

− a cos

8π(

^x_l

−

¹₂

)

+ a

^{für 1}₂

l < x <

³₄

l

0

^sonst

˙

w(x, 0) = v

0

(x) = 0

Skizze für

w

0

(x) :

w

0

(x)

1

x

4

l

¹₂

l

³₄

l l

2a

Die Wellenausbreitungsgeshwindigkeit

c

^{wird nun als bekannt} vorrausgesetzt. Skizzieren Siedie Auslenkungder Saitezum Zeitpunkt

t = l/4c

^{und zum Zeitpunkt}

t = 3l/4c

^.

Skizzen:

w(x,

_4c^l

)

1

x

4

l

¹₂

l

³₄

l l

2a

1

w(x,

_4c^3l

)

1

x

4

l

¹₂

l

³₄

l l

2a

1

d) Für kleine Zeiten

t

^{kann die Vershiebung}

w(x, t)

^{mit der Formel}

w(x, t) = 1

2



w

₀

(x − ct) + w

0

(x + ct) + 1 c

x+ct

Z

x−ct

v

0

(ξ) dξ





berehnet werden.Biszu welher Zeit

t

^{∗ istdieseLösung gültig?Geben Sie}

w(x, l/8c)

^an.

Nebenrehnung:

w(x,

_8c^l

)

1

x

4

l

¹₂

l

³₄

l l

2a

t

^∗

=

_4c^{l 1}

w(x, l/8c) =

 

 

 



 

 

 

−

¹

2

a cos h 8π

x+l/8

l

−

¹

2

i

+

¹₂

a,

^{falls 3}₈

l ≤ x ≤

⁵

8

l

−

¹

2

a cos h 8π

x−l/8

l

−

¹

2

i

+

¹₂

a,

^{falls 5}₈

l ≤ x ≤

⁷

8

l 0,

^sonst

2

Aufgabe 2 [ 11Punkte ℄

Die Durhbiegung des skizzierten Balkens (Länge

2l

^{, Masse pro Länge}

µ

^, Biegesteigkeit

EI

⁾

wird im Bereih

0 ≤ x ≤ l

^durh

w

1

(x, t)

^{und im Bereih}

l ≤ x ≤ 2l

^durh

w

2

(x, t)

^beshrie-

ben. Der Balken wird an der Stelle

x = l

^{durh eine Feder} (Federsteigkeit

c

^{, entspannt für}

w

1

(l, t) = w

2

(l, t) = 0

^{) gestützt und trägtan dieser Stelleeine Punktmasse}

m

^.

Gegeben:

EI

^,

l

^,

µ

^,

m

^,

c x

l l

c m

z, w

1

(x, t), w

2

(x, t)

a) Skizzieren Sie die zwei Shwingformen mit den niedrigsten Eigenkreisfrequenzen (ohne

Rehnung).

Skizzen:

2l x

2l x

1

b) Geben Sie die Feldgleihungen für

w

1

(x, t)

^{im Bereih}

0 ≤ x ≤ l

^und

w

2

(x, t)

^{im Bereih}

l ≤ x ≤ 2l

^an.

Feldgleihungen:

0 ≤ x ≤ l : ¨ w

1

(x, t) +

^EI_µ

w

₁^′′′′

(x, t) = 0

¹

l ≤ x ≤ 2l : ¨ w

2

(x, t) +

^EI_µ

w

₂^′′′′

(x, t) = 0

¹

) Geben Siedie Randbedingungen sowie für dieStelle

x = l

^dieÜbergangsbedingungenan.

Nebenrehnung:

Rand und Übergangsbedingungen:

Randbedingungen:

w

1

(0, t) = 0 w

₁^′′

(0, t) = 0

¹

w

2

(2l, t) = 0 w

₂^′′

(2l, t) = 0

Übergangsbedingungen:

w

1

(l, t) = w

2

(l, t) w

^′₁

(l, t) = w

₂^′

(l, t)

¹

w

^′′₁

(l, t) = w

₂^′′

(l, t)

m w ¨

1

(l, t) + cw

1

(l, t) + EI (w

₂^′′′

(l, t) − w

^′′′₁

(l, t)) = 0

¹

d) BestimmenSiemitderAnsatzfunktion

W (x) = x(2l − x)

^mitHilfedesRayleigh-Quotientens eine obereShrankefürdieniedrigste Eigenkreisfrequenz

ω

1 ^{für denSonderfall}

m = 0

und

c = 0

.

Nebenrehnung:

R

2l 0

EI(W

^′′

(x))

²

dx = 4EI R

2l 0

dx = 8lEI

¹

R

2l 0

µW

²

(x) dx = µ R

2l 0

(4l

²

x

²

− 4lx

³

+ x

⁴

) dx = µl

⁵

(

³²₃

−

⁶⁴₄

+

³²₅

) =

¹⁶₁₅

µl

^{5 1}

Ergebnis:

q q

e) Die jeweils niedrigste Eigenkreisfrequenz wird für dieFälle

• m = 0

^und

c = 0

^mit

ω b

₁

• m > 0

^und

c = 0

^mit

ω

1

• m = 0

^und

c > 0

^mit

ω e

1

bezeihnet. Kreuzen Siedie rihtige(n)Aussage(n) an.

Nebenrehnung:

b ω

1

< ω

1

b ω

1

= ω

1

b

ω

1

> ω

1 ^X

1

b

ω

1

< ω e

1 ^X

b ω

1

= ω e

1

b ω

1

> ω e

1

1

Aufgabe 3 [ 11Punkte ℄

Gegeben istder skizziertebeidseitigfest eingespannte shlanke Euler-BernoulliBalken (Länge

l

^{,MasseproLänge}

µ

^,Biegesteigkeit

EI

^{).DerBalkenistelastishgebettet}(Bettungssteigkeit

c

₀^{) und wird durh eine} Strekenlast

q(x, t)

^{belastet. Mit dem Prinzip von Hamilton sind die}

Feldgleihung sowie dieRandbedingungenzu bestimmen.

Gegeben:

l

^,

µ

^,

EI

^,

c

0^,

q(x, t)

x

z, w(x, t) l

q(x, t)

c

0

a) Geben Sie die kinetishe Energie

T

^{, die} potentielle Energie

U

^{sowie die virtuelle Arbeit}

δW

^der potentiallosen Kräfte und Momentean.

T =

¹₂

R

l 0

µ w ˙

²

(x, t) dx

¹

U =

¹₂

R

l 0

(EIw

^′′2

(x, t) + c

₀

w

²

(x, t)) dx

¹

δW = R

l 0

q(x, t)δw(x, t) dx

¹

b) Geben Siedie geometrishen Randbedingungen an.

geometrishe Randbedingungen:

w(0, t) = 0

w

^′

(0, t) = 0

¹

w(l, t) = 0

w

^′

(l, t) = 0

¹

) BestimmenSiemitdemPrinzipvonHamiltondieFeldgleihungund -fallsexistierend- die

dynamishe(n) Randbedingung(en).

Nebenrehnung:

0 = δ

t1

R

t⁰

1 2

R

l 0

µ w ˙

²

(x, t) dx −

¹

2

R

l 0

(EIw

^′′2

(x, t) + c

0

w

²

(x, t)) dx + R

l 0

q(x, t)δw(x, t) dx

dt

¹

=

t1

R

t0

R

l 0

µ w(x, t)δ ˙ w(x, t) dx ˙ dt −

t1

R

t0

R

l 0

EIw

^′′

(x, t)δw

^′′

(x, t) dx dt −

t1

R

t0

R

l 0

c

0

w(x, t)δw(x, t) dx dt +

t1

R

t⁰

R

l 0

q(x, t)δw(x, t) dx dt

¹

= Z

l

0

[µ w(x, t)δw(x, t) ˙

^t

1

]

t0

dx

| {z }

=0

−

t¹

R

t0

R

l 0

µ w(x, t)δw(x, t) dx ¨ dt

¹

−

t1

Z

t0

[EIw

^′′

(x, t)δw

^′

(x, t)

l

]

0

dt +

t1

Z

t0

[EIw

^′′′

(x, t)δw(x, t)

l

]

0

dt

| {z }

=0

−

t1

R

t⁰

R

l 0

EIw

^′′′′

(x, t)δw(x, t)dx dt

²

−

t1

R

t0

R

l 0

c

0

w(x, t)δw(x, t) dx dt +

t1

R

t0

R

l 0

q(x, t)δw(x, t) dx dt

Ergebnisse:

Feldgleihung:

µ w(x, t) + ¨ EIw

^′′′′

w(x, t) + c

0

w(x, t) = q(x, t)

¹

Aufgabe 4 [8 Punkte ℄

Gegeben ist der skizzierte freie Torsionsstab (Länge

l

^{, Dihte}

ρ

^{, Shubmodul}

G

^{, Polares Flä-}

henträgheitsmoment

I

p^{), der an seinemlinken Ende durh das Moment}

M

l

(t)

^{und anseinem}

rehten Ende durh das Moment

M

_r

(t)

^{belastet wird.}

Hinweis:

sin( − α) = − sin(α)

^und

cos( − α) = cos(α)

^.

Benutzen Sie das vorgegebene Koordinatensystem.

Gegeben:

l

^,

ρ

^,

G

^,

I

p^,

M

l

(t)

^,

M

r

(t)

x

l 2 l

2

ϑ(x, t)

M

_l

(t) M

_r

(t)

a) Geben SiedieFeldgleihungund dieRandbedingungenfür dieTorsionsshwingung

ϑ(x, t)

an.

Nebenrehnung:

Ergebnisse:

Feldgleihung:

ϑ(x, t) ¨ − c

²

ϑ

^′′

(x, t) = 0

^mit

c

²

=

^G_ρ ¹

Randbedingungen:

ϑ

^′

(−

₂^l

, t)GI

_p

= M

_l

(t)

¹

ϑ

^′

(

₂^l

, t)GI

_p

= M

_r

(t)

¹

b) Bestimmen Sie für den Fall der freien Shwingung (

M

l

(t) = M

r

(t) = 0

^{) mit dem Ansatz}

ϑ(x, t) = θ(x) sin(ωt)

^{eine gewöhnlihe} Dierentialgleihung für

θ(x)

^{und geben Sie deren}

allgemeine Lösung sowie diezugehörigen Randbedingungen an.

Nebenrehnung:

Ansatz inFeldgleihung:

− ω

²

Θ(x) sin(ωt) − c

²

Θ

^′′

(x) sin(ωt) = 0

Dierentialgleihung:

Θ

^′′

(x) + (

^ω_c

)

²

Θ(x) = 0

¹

Lösung:

Θ(x) = A cos(

^ω_c

x) + B sin(

^ω_c

x)

¹

Randbedingungen:

Θ( −

₂^l

) = Θ(

^l₂

) = 0

¹

) Als Lösung des Problems aus b) ergeben sih jeweils für

k = 1, 2, . . .

^folgende Eigenkreis- frequenzen

ω

2k−1

, ω

2k ^und Eigenformen

θ

2k−1

(x), θ

2k

(x)

ω

2k−1

= (2k − 1) C, e θ

2k−1

(x) = sin

(2k − 1)π

l x

, ω

2k

= 2k C, b θ

2k

(x) = cos

2kπ l x

.

Geben Sie dieErregerkreisfrequenzen

Ω

1 ^und

Ω

2 ^{an, für die esin den folgenden Fällenzu}

Resonanz kommt:

1.

M

l

(t) = M

0

sin(Ω

1

t), M

r

(t) = M

0

sin(Ω

1

t),

2.

M

l

(t) = M

0

sin(Ω

2

t), M

r

(t) = − M

0

sin(Ω

2

t).

ÜberlegenSiedazu,welhe derEigenformendurhwelhe äuÿerenMomenteangeregtwer-

den können.

Nebenrehnung:

Anshaulih durh Interpretationder Eigenformen:

x 1

Θ

₁

(x)

− l/2 l/2

x 1

Θ

3

(x)

− l/2 l/2

x 1

Θ

₂

(x)

− l/2 l/2

x 1

Θ

4

(x)

− l/2 l/2

Erregerkreisfrequenzen

Ω

1

, Ω

2^:

Ω

1

= ω

2k−1 ¹

Ω = ω