Gedankenpurzelbäume in der Elektrischen Impedanztomografie

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Gedankenpurzelb¨ aume in der Elektrischen Impedanztomografie

Dr. Andreas Helfrich-Schkarbanenko

Karlsruher Institut f¨ur Technologie (KIT) Institut f¨ur Angewandte und Numerische Mathematik 4

4.Oktober 2012, Treffpunkt AMMO, Bielefeld

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Ausgangslage - eine Ungleichung

Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum

Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Randwertproblem aus der Elektrostatik zur Konduktivit¨atsgleichung

−∇ ·(γ∇u) = 0 in Ω γ∂νu = g auf∂Ω.

−∇n·(γn∇nun) = 0 in Ωn⊂Rⁿ, n= 2,3

Potentialtheorie liefert Fundamentall¨osungen zu

−4nΦn(x) = δn(x), x ∈Rⁿ: Φ2(x) = − 1

2πlnkxk, Φ3(x) = 1 4πkxk.

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Randwertproblem aus der Elektrostatik zur Konduktivit¨atsgleichung

−∇n·(γn∇nun) = 0 in Ωn⊂Rⁿ, n= 2,3

Potentialtheorie liefert Fundamentall¨osungen zu

−4nΦn(x) = δn(x), x ∈Rⁿ: Φ2(x) = − 1

2πlnkxk, Φ3(x) = 1 4πkxk.

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Randwertproblem aus der Elektrostatik zur Konduktivit¨atsgleichung

−∇n·(γn∇nun) = 0 in Ωn⊂Rⁿ, n= 2,3

Potentialtheorie liefert Fundamentall¨osungen zu

−4nΦn(x) = δn(x), x ∈Rⁿ: Φ2(x) = − 1

2πlnkxk, Φ3(x) = 1 4πkxk.

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Messdaten ˜u3

T[˜u3] = ˜u3u2 u3

2D Algorithmus

2D Algorithmus

3D Algorithmus C

B

A

kF2(γ)[g]−˜u3k kF2(γ)[g]−T[˜u3]k kF3(γ)[g]−˜u3k

Sackgasse Abk¨urzung vonC Standardweg

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Messdaten ˜u3

T[˜u3] = ˜u3u2 u3

2D Algorithmus

2D Algorithmus

3D Algorithmus C

B

A

kF2(γ)[g]−˜u3k kF2(γ)[g]−T[˜u3]k

kF3(γ)[g]−˜u3k

Sackgasse Abk¨urzung vonC

Standardweg

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Messdaten ˜u3

T[˜u3] = ˜u3u2 u3

2D Algorithmus

2D Algorithmus

3D Algorithmus C

B

A

kF2(γ)[g]−u˜3k

kF2(γ)[g]−T[˜u3]k

kF3(γ)[g]−˜u3k Sackgasse

Abk¨urzung vonC

Standardweg

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Messdaten ˜u3

T[˜u₃] = ˜u₃^u2

u3

2D Algorithmus

2D Algorithmus

3D Algorithmus B C

A

kF2(γ)[g]−u˜3k

kF2(γ)[g]−T[˜u3]k

kF3(γ)[g]−˜u3k Sackgasse

Abk¨urzung vonC

Standardweg

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Messdaten ˜u3

T[˜u₃] = ˜u₃^u2

u3

2D Algorithmus 2D Algorithmus 3D Algorithmus B C

A

kF2(γ)[g]−u˜3k

kF2(γ)[g]−T[˜u3]k

kF3(γ)[g]−˜u3k Sackgasse

Abk¨urzung vonC

Standardweg

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Messdaten ˜u3

T[˜u₃] = ˜u₃^u2

u3

2D Algorithmus 2D Algorithmus 3D Algorithmus B C

A

kF2(γ)[g]−u˜3k kF2(γ)[g]−T[˜u3]k kF3(γ)[g]−˜u3k

Sackgasse Abk¨urzung vonC Standardweg

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

I Vorteil: 8-9 mal schneller als 3D Algorithmus

I Nachteil: ungenauer als 3D Algorithmus

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

I Randwertproblem aus der Elektrostatik zur Konduktivit¨atsgleichung

−∇n·(γn∇nun) = fn in Ωn⊂Rⁿ, n=2,3

I Idee: 2D PDGL an die 3D PDGL anpassen. (Annahme: γn≡1)

−42u2(x) +h(x) = δ2(x), −43u3(x) = δ3(x)

I Einsetzen der Fundamentall¨osung Φ3|_R²_×{0}in die 1. Gleichung liefert h(x) = 1

2πkxk³.

I Achtung: h∈/H¹(Ω2)! D.h. schwache Formulierung ex. nicht.

I F¨ur hinreichend glattef2 isth∗f2∈H¹(Ω2). Somit die FEM anwendbar.

I Beachte: hist nicht angepasst anγ2 und∂Ω2.

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

I Randwertproblem aus der Elektrostatik zur Konduktivit¨atsgleichung

−∇n·(γn∇nun) = fn in Ωn⊂Rⁿ, n=2,3

I Idee: 2D PDGL an die 3D PDGL anpassen. (Annahme: γn≡1)

−42u2(x) +h(x) = δ2(x), −43u3(x) = δ3(x)

I Einsetzen der Fundamentall¨osung Φ3|_R²_×{0}in die 1. Gleichung liefert h(x) = 1

2πkxk³.

I Achtung: h∈/H¹(Ω2)! D.h. schwache Formulierung ex. nicht.

I F¨ur hinreichend glattef2 isth∗f2∈H¹(Ω2). Somit die FEM anwendbar.

I Beachte: hist nicht angepasst anγ2 und∂Ω2.

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

I Randwertproblem aus der Elektrostatik zur Konduktivit¨atsgleichung

−∇n·(γn∇nun) = fn in Ωn⊂Rⁿ, n=2,3

I Idee: 2D PDGL an die 3D PDGL anpassen. (Annahme: γn≡1)

−42u2(x) +h(x) = δ2(x), −43u3(x) = δ3(x)

I Einsetzen der Fundamentall¨osung Φ3|_R²_×{0}in die 1. Gleichung liefert h(x) = 1

2πkxk³.

I Achtung: h∈/H¹(Ω2)! D.h. schwache Formulierung ex. nicht.

I F¨ur hinreichend glattef2 isth∗f2∈H¹(Ω2). Somit die FEM anwendbar.

I Beachte: hist nicht angepasst anγ2 und∂Ω2.

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

I Randwertproblem aus der Elektrostatik zur Konduktivit¨atsgleichung

−∇n·(γn∇nun) = fn in Ωn⊂Rⁿ, n=2,3

I Idee: 2D PDGL an die 3D PDGL anpassen. (Annahme: γn≡1)

−42u2(x) +h(x) = δ2(x), −43u3(x) = δ3(x)

I Einsetzen der Fundamentall¨osung Φ3|_R²_×{0}in die 1. Gleichung liefert h(x) = 1

2πkxk³.

I Achtung: h∈/H¹(Ω2)! D.h. schwache Formulierung ex. nicht.

I F¨ur hinreichend glattef2 isth∗f2∈H¹(Ω2). Somit die FEM anwendbar.

I Beachte: hist nicht angepasst anγ2 und∂Ω2.

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

I Randwertproblem aus der Elektrostatik zur Konduktivit¨atsgleichung

−∇n·(γn∇nun) = fn in Ωn⊂Rⁿ, n=2,3

I Idee: 2D PDGL an die 3D PDGL anpassen. (Annahme: γn≡1)

−42u2(x) +h(x) = δ2(x), −43u3(x) = δ3(x)

I Einsetzen der Fundamentall¨osung Φ3|_R²_×{0}in die 1. Gleichung liefert h(x) = 1

2πkxk³.

I Achtung: h∈/H¹(Ω2)! D.h. schwache Formulierung ex. nicht.

I F¨ur hinreichend glattef2 isth∗f2∈H¹(Ω2). Somit die FEM anwendbar.

I Beachte: hist nicht angepasst anγ2 und∂Ω2.

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

I Randwertproblem aus der Elektrostatik zur Konduktivit¨atsgleichung

−∇n·(γn∇nun) = fn in Ωn⊂Rⁿ, n=2,3

I Idee: 2D PDGL an die 3D PDGL anpassen. (Annahme: γn≡1)

−42u2(x) +h(x) = δ2(x), −43u3(x) = δ3(x)

I Einsetzen der Fundamentall¨osung Φ3|_R²_×{0}in die 1. Gleichung liefert h(x) = 1

2πkxk³.

I Achtung: h∈/H¹(Ω2)! D.h. schwache Formulierung ex. nicht.

I F¨ur hinreichend glattef2 isth∗f2∈H¹(Ω2). Somit die FEM anwendbar.

I Beachte: hist nicht angepasst anγ2 und∂Ω2.

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Ω2:= [−1,1]×[−1,1], Ω3:= Ω2×[−1,1], f2:=f3|Ω₂, γ2≡1, γ3≡1

u2in Ω2 u3 in Ω2× {0} u2^hin Ω2

−∇2·(γ2∇2u2) = f2 −∇3·(γ3∇3u3) = f3 −∇2·(γ2∇2u^h₂)−h∗f2 = f2

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Ausgangslage - eine Ungleichung Datentransformationsmethode - erster Purzelbaum Konstruktive Methode - zweiter Purzelbaum

Beteiligte bei der Datentransformationsmethode:

I Tim Kreutmann, Institut f¨ur Angewandte und Numerische Mathematik 3

I Susanne Schmitt, Institut f¨ur Algebra und Geometrie, AG Inverse Probleme

I Frank Hettlich, Institut f¨ur Algebra und Geometrie, AG Inverse Probleme Beteiligte bei der Konstruktiven Methode:

I Marc Mitschele, Institut f¨ur Analysis

I Sebastian Ritterbusch, Engineering Mathematics and Computing Lab