8. Klasse. FA 5 Exponentialfunktion fix) = a bzw. fix) = a - mit GlddiOt^

(1)

FA 5 Exponentialfunktion fix) = a ■ bzw. fix) = a - mit

a,b e G R

la. Eigenschaften von f(x) = b*

Alle Funktionswerte sind positiv.

^ Alle Graphen gehen durch den Punkt (0|1).

Ist b>l. dann ist f streng monoton steigend ->lst.O<b<l^dann ist f streng monoton

fallend.

Ist b=l. dann ist F konstante

Die Graphen der Funktionen f und g mit fix) = und 5'(a:) = sind

symmetrisch bezüglich der y-Achse.

t(o) = b^/(

Yo\Ä)

\ \ t 1

m

_\

rw

_{^ \}

-

_0-

^{T'' f}

/

\ \ ¹

\ \ ®' j

\ \ i

\ \ j /

\\ ^ ^//

0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1-

GlddiOt^

Ib. Eigenschaften von f (x) = a • b*

Alle Funktionswerte sind positiv.

Alle Graphen gehen durch den Punkt (0|a). .■). ^ Die Graphen der Funktionen f und g mit ^

Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x) = a • b'' und

g(x) = a ■ Q) sind symmetrisch bezüglich der y-Achse.

Ist b>l dann steigt f umso schneller je größer b ist.(y = 3* wächst schneller als y = 2*) Ist 0<b<l dann fallt f umso schneller je kleiner b ist. (y = fallt schneller als y = )

(2)

Maturavorbereitung 8. Klasse

2. Interpretation der Werte a und b wenn f(x) = a ■ b* V

f(0)=a, a ist also der y-Achsenabschnitt _ ?Cx* 2) X Y

0^ f(x+l)=f(x)-b 'X f(x+2)=f(x)-b^ "*• allgZnem:

^ Vergrößert man das Argument um 1, dann ändert sich der Funktionswert auf das b-fache.

' Vergrößert man das Argument um 2, dann ändert sich der Funktionswert auf das b^-fache.

-^Vergrößert man das Argument um h. dann ändert sich der Funktionswert auf das b^-fache.

3. Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = a • e^*, A e K.

In den Naturwissenschaften kommt der Euler'schen Zahl eine besondere Bedeutung zu. Daher

verwendet man neben der Darstellung f(x) = a ■ b* auch die Darstellung f(x) = a • e^ '^, A 6 U.

statt A t<

g.Bo 3aklg»_rw?i..<Ai^^lvskj;

Üjia.

3

^{a • b'^ =}a • e^"' , S ■ «' 'f

Daher: _{b =}_{e^ "}

e- VbroQuag^ ^

Inb = Ine'^

Inb = A • Ine in b = A

^ &U\

4. Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren

Viele Prozesse, wie Bakterienwachstum, Luftdruckänderung, Kapitalentwicklung, radioaktiver Zerfall ändern sich^xgonentiell.

Man nennt sie exppnentielle Wachstums-oder Abnahmeprozesse..

Dazu verwendet man eine spezielle Schreibweise:

> f

1 N(t) = No'bS'

oder

iN(t) = No'e^^j

• — "IS ^ %

N(t) = No-b^ N(t) = No •

Exponentielles Wachstum b >4 A>0

Exponentielie Abnahme 0 < b < 1 A<0

(3)

(4)

Maturavorbereitung ^8.^Klasse

5. Halbwertszeit und Verdoppelungszeit mit N(t) = Nq ■ e^'

Wenn ein exponentieller Prozess vorliegt, versteht man unter der Haibwgijjgggi^gflg^gijjiach der

N '

sich ~ ^ ^

Unter der Verdonneltungszeit versteht man i£iie_ZeitJiach der sich N(;Q verdoppelt, also

N{t) = 2No

Halbwertszeit berechnen:

(%]' li^a

\w (<rl-b) ^ Wa i Vvvb

Zlwa

r (a^bji

• i\^C3-b) ^ u.icl~t lv\

(

2 1 2 1 in-

1

*"2

In 0,5

jjl^-e

xt

Ine^^

At Ine

t

i

;

o f

J^-ln2 /

A

— In 2

£?

\ -Wi.

Verdoppelungszeit berechnen:

2-/Vo

2 In 2 In 2 In 2

t

Nq

■

e^"^

eXt Ine^^

At Ine

t

]n2

~

(5)

6. Lineares und exponentielles Modell vergleichen

Frage: Welches Modell beschreibt einen Vorgang angemessener?

ble^V pro qWvÜ

ab3o\^Ve 0

Lineares Modell:

Erhöht man das Argument um eine Einheit, dann vergrößert sich (plus) oder vermindert sich

(minus) der Funktionswert um k. i!. oirese^^ Fg Vt U

Allg.; f(x+l)=f(x)±k

Erhöht man das Argument um h Einheiten dann vergrößert sich (plus) oder vermindert sich (minus) der Funktionswert um k+k+ ... +k (h mal) also h-k

Allg.: f(x+h)=f(x)± h-k

Diejnittler^nder^g:^Diff^ ^(—ist stets konstant und entspricht der

Steigung k.

(6)