26 (6),S.87–981928BibTEX: ¨OsterreichischeZeitschriftf¨urVermessungswesen Hofrat,o.¨o.ProfessoranderTechnischenHochschuleinWien EduardDoleˇzal R¨uckw¨arts-undVorw¨artseinschneidenmitderRechenmaschine

Paper-ID: VGI 192815

R ¨ uckw ¨arts- und Vorw ¨artseinschneiden mit der Rechenmaschine

Eduard Doleˇzal

¹

1

Hofrat, o. ¨o. Professor an der Technischen Hochschule in Wien

Osterreichische Zeitschrift f ¨ur Vermessungswesen ¨ 26 (6), S. 87–98 1928

BibTEX:

@ARTICLE{Dolezal_VGI_192815,

Title = {R{\"u}ckw{\"a}rts- und Vorw{\"a}rtseinschneiden mit der Rechenmaschine},

Author = {Dole{\v z}al, Eduard},

Journal = {{\"O}sterreichische Zeitschrift f{\"u}r Vermessungswesen}, Pages = {87--98},

Number = {6}, Year = {1928}, Volume = {26}

}

OSTERREICHISCHE

ZEITSCHRIFT ^f ÜR UERMESSUftGSQlESEft _ORGAN

des

ö

ST ER R E 1CH1 SC H E N G E

0

M ET E R V ER E 1 N E S.

Redaktion:

Hofrat Prof. Dr. Ing„ techn. et mont. h. c. E. D o l ezal und Vermessungsrat Ing. K. L e g o . Nr. 6. Baden bei Wien, im Dezember

1928.

XX VI. Jahrg.

Rückwärts- und Vorwä.rtseinschneiden mit der Rechen·

maschine.

Von Prof. Dr. E. D o l eza l.

Mit Recht finden leistungsfähige Rechenmaschinen bei trigonometrischen Punktbestimmungen immer mehr und mehr nützliche Verwendung. Das ein­

fache Rückwärtseinschneiden, mit Zugrundelegung der C o 11 i n s sehen oder C a s s i n i sehen Konstruktion, führt zu jenen Verfahren, die heute besonders in Deutschland und Österreich in der Praxis des Maschinenrechnens verwendet werden.

Vor zwei Jahren veröffentlichte der holländische Geometer _j. M. T i e n­

s t r a in der Abhandlung: P u n t v e r e f f e n i n g d o o r M i d d e 1 v a n V o o r w a a r d e n v e r g e 1 i _j k i n g e n in T y d s c h r

i

f t v o o r K a­

d a s t e r e n L a n d m e e t k u n d e, Utrecht _1926, eine überraschend ein­

fache Lösung des Rückwärtseinschneidens, und v a n d e r S t e r r, der Chef der trigonometrischen Abteilung der Landesvermessung des Kaplandes, befaßte sich in der Studie: M a c h i n

e

c a 1 c u 1 a t i o n m e t h o d f o r r e s e e­

t i o n s in Th e S o u _t h A f r i c a n S u r v e _{y j} o u r n a 1, Cape Town _1926, mit dieser interessanten Lösung.

Dieses Verfahren verdient, in Fachkreisen Qeutschlands bekannt

zu

werden; wir bieten es daher nachfolgend mit Einbeziehung eigener Betrach­

tungen und ausgedehnt auch auf das Vorwärtseinschneiden. · 1.

Das Rückwärtseinschneiden.

Sind x1, x2, X3 und Yv y2, )'3 die rechtwinkeligen Koordinaten der drei gegebenen .Punkte Pv P2, P3 und Xo,

y0

jene des vierten, gesuchten Punktes Po,

stellen wir uns ferner unter ·gv g2, g3 und go die Gewichte der rechtwinkeligen Koordinaten dieser Punkte vor, so ergeben sich die rechtwinkeligen Koot0dinaten des

zu

bestimmenden Standpunktes aus:

gl X1 + g2 X2 + g3 Xa '[g X] jg x]

Xo= ��������

gl+g2+ga [g] go

Yo = gi Y1 + g2 Y2 + ga Ya [g Y] [g Y]

gl + g2 + g3 [g]

·)' '

. ' . . .' ' .

1)

88

also in Form eines z u s a

111 111

e n g e s e t z t e n a r i t h m e t i s c h e n M i t t e 1 s.

Die Richtigkeit dieser Ausdrücke ergibt sich aus den Sätzen der Mechanik über den Gleichgewichtszustand von Kräften, wenn wir unter g1g2, g3 und Eo

uns Kräfte vorstellen. Denken wir uns in den Punkten Pv P2, P3 und Po einer Ebene die Kräfte g1, g2, g3 und go normal zu dieser Ebene wirkend, so kann man

Fig.

I.

den Momentrnsatz zweimal zur Anwendung bringen (Fig. 1); das erstemal, wenn man sich das Koordinatensystem parallel verschoben, durch P

0

gehend, denkt, wodurch man erhält:

( X1 - Xo) gl + (X2 - Xo) E2 + ( Xa - Xo) g3 = Ü }· . . . 2)

(Y1 - Yo) E1 + (Y2 - Yo)E2 + (Ya - Yo)ga . 0

Das zweitemal wird das Moment auf die Koordinatenachsen selbst bezogen:

X1g1+ X2E2+Xa Ea=XoEo } ^{. . . .. .}

^.

^.

^.

³⁾

Y1E1 + Y2E2+ Ya Ea= YoEo

Werden die Gleichungen 2) und 3) in Verbindung gebracht, so folgt die

Relation:

d. h. für den Gleichgewichtszustand ist es notwendig, daß in dem Punkte P0 eine Parallelk aft go wirke, die gleich der Summe der Kräfte ist, die in den drei gegebenen Punkten P11 P2, Pa wirkend gedacht werden.

Unsere Aufgabe ist jetzt die Lösung des Problems: I n d e n P u n k­

t e n P1, P2, Pa w i r k e n n o r m a 1 z u r Z e i c h e n e b e n e d i e P a r a I­

I e 1 k r ä f t e gl> g2, ga; w e 1 c h e W e

r

t e m ü s s e n s i e b e s i t z e n, u m d e r i n P0 w i r k e n d e n P a r a 1 1 e 1 k r a f t g0 d a s G 1 e i c h g e w i c h t h a l t e n z u k ö n n e n?

K

P,,,

Fig.

2.

Vorerst sei vorausgeschickt, daß wir die inneren Winkel im Triangulierungs­

clreiecke P1, P2, Pa mit A, B, C, ferner die im gesuchten Punkte P0 gemessenen Horizontalwinkel mit

o:,

ß, y bezeichnen, wobei y der Seite P1P2,

^o:

und ß den Seiten P2 Pa und Pa P1 gegenüberliegen. Bei dieser Symbolik und der Voraussetzung, daß die genannten Winkel

o:,

ß, y konsequent stets im Sinne des Uhrzeigers gemessen werden, ergibt sich deren Summe entweder mit

o:

+ [j + y

⁼

360°l .

oder

^o:

₊ ß ₊ y = 7200)' Je nachdem der Punkt P0 im Innern des Dreiecks P1 P2 Pa oder außerhalb des­

selben einer Seite gegenüberliegt, oder aber außerhalb dieses Dreieckes in dem in Fig. 1 schraffierten Winkelräumen sich befindet.

Um nun zu Ausdrücken für g11 g2, ga zu gelangen, stellen wir die folgende Betrachtung an. Wir legen (Fig. 2) über P1 P2 Pa einen Kreis K, den soge­

nannten gefährlichen Kreis, verlängern Pa P0 bis zum Schnitte mit diesem Kreise in D und fällen von P1 und P2 Normale auf diese Gerade: n1 = P1 E

und n2

⁼

P2 F. Wenn auch der Schnittpunkt von Pa Po mit P1P2, nämlich S

90

bestimmt wird, so kann man sich vom mechanischen Standpunkte vorstell�n, daß die in P1 und P2 angreifenden Parallelkräfte g1 und g2 dann einen Gleich­

gewichtszustand bedingen, wenn

wird.

g1x P1 S=g2x S P2 oder -1l_= S spp2=l!J_ .. . . _.

^.

5)

gz 1 ni

Diese Gleichung kann man in zweifacher Weise umgestalten; erstens dividieren wir Zähler und Nenner rechter Hand durch D ^Po= D ^F + ^{F P0}

= DE + E ^Po und zweitens wir multiplizieren beide mit t P2 P 0 und erhalten:

1

DE +EP_(J _{111 ni}

_&_ _ l12.iP2Po _ Ji gz -n1tP2 Po- f2

weil, wie aus Fig. 2 leicht abzulesen ist, die Quotienten:

DF FP0

-- ^{= ctg A} -- ^{= ctg (180° -}

^o:

⁾

⁼

^{- ctg}

^o:

)I

. . . 5)

n2 n2

DE E ^Po _ß 'i' ^{. .. 6)}

--= ¹¹¹ ctg B -- ^{n1 = ctg (180° - ) = - ctg ß}

^J

die vermerkten Werte haben und fv /2, /a und f = /1 ₊ /2 + /3 die Dreiecks­

flächen P2 Pa Po, Pa, P1 P0, P1, P2 P0 und P1 P2 Pa darstellen.

Wir erhalten daher nach dem vorstehenden und nach zyklischer Ver­

tauschung für das Verhältnis der noch u1,1bekannten Parallelkräfte:

---11_ =

1

ctg A - ctg

^{o: .}

= _/1_

1 /2

ctg B - ctg ß

1 1

_c_t_g _ B ___ ct_g_ß_ f

1 =-

j -a . . . . . . 7) ctg c - ₁ ^{ctg y}

:__k_ = _gl � _. ^g c - ₁ ^{ctg_r__ = _!} _f ^a_ ₁ ,

ctg A - ctg

^o: _J

oder

g1:g2:ga = ctg A - ctg

^o:

!1

ctg B - ctg ß

/2

und endlich für die gesuchten Parallelkräfte:

ctg C _fs - ctg y )

^·

^{, . 8)}

gl = _ctg A

^-

ctg

^o:

g2 = _{ctg B} 1

-

ctg ß ga= _{ctg C} 1

-

ctg

^y

-

_1_ri_ f

- f

¹

-

_1_ri_ f

- f 2

-

_1_ri_ f

- f 3

1 1

J

^'

^{. . 9)}

Die rechtwinkeligen Koordinaten des vierten Punktes P0 lauten:

1 --X+ 1

. ctg A

^-

ctg o: - 1 ctg B - ^ctg j:l Xo = ----

^---

-

^--

1 1

ctg A

^-

ctg o: + ctg B

^-

ctg ß

1 1

ctg A

^-

ctg o: Y1 + ctg B

^-

ctg ß

Yo=--- _{1 1}

-'t--

ctg A

^-

ctg o: ctg B

^-

ctg ß X2+

+

1 -X

ctg c

^-

^ctg

^y

³

1 ctg C - ctg

^y

>'2 + ---ctgc

^-

l ^ctg

^y

^Ya

+ _ctg c

^-

1 ^ctg

^y.

Werden die Flächen eingeführt, so erhält man:

1

¹ _l

1

1 1

J . /1 X1 + /2 X2 + la X3 [/ _x] l

·:: -/,)'�_l_/,/ Yd.:_/, y, r! ^{YJ .} . . . I'

t

^-

f

II.

Das Vorwärtseinschneiden.

91

Die Punkte Pv P2 mit den Koordinaten Xv y1 und x2, )'2 sind gegeben;

jene von Po, nämlich Xo, Yo sind zu bestimmen auf Grund der in P1 und P2

gemessenen inneren Winkel o:o, ßo des Dreieckes P1 P2 Po.

Die Zurückführung des Vorwärtseinschneidens auf das Rückwärtsein­

schneiden im rechtwinkeligen Koordinatensystem und die Gewinnung der zur Berechnung nötigen Formeln aus den Gleichungen 1) kann auf zweifache Weise

erfolgen.

1. A r t.

Wir denken uns den dritten Punkt beim Rückwärtseinschneiden P3

in der Richtung der x-Achse unendlich fern (Fig. 3), also X3 = eo; dann haben wir für die Winkel nach der Symbolik für das Rückwärtseinschneiden:

A=P112 O:=Pv2-ßo )

B = 180°

-

p11 2 ß = 180°

^-

(Pv 2 + O:o) � ^. . ^{. .} . ¹⁰⁾

und weiter: ^C

= 0 Y = _{180 ° +} ( o: o + ß o) J

ctg

^-�

A � ^ctg

^a

⁼

^---

^{ctg p„ ,}

^{· ··}

^c � ^{g (p„}

^{, --·}

^,

^,

⁾ l _�·

ctg B - ctg ß

^-

ctg Pv 2 + ctg (Pv 2 + O:o) = O J

ctg C

^-

ctg Y

⁰⁰

+ ctg (o:o + ßo)

. . . 11)

N

-Q) X1 Xz X3 Xz - X1 X3 - X2 X1 - X3 Y2 -Y1

1 tg

P11

2 = x„ - X1 y; - y �

tg

P2,

3

= x 3 - Xz Y1 - Y3

tg

fl3, 1 = x

i P 1 - X3 Rückwärts einschneid en mit Zu grundelegung der Formel I.

12•73

-

67•04 -97·60 54·31 -30·56 + 84·87

-4•843 6751

+ 7"886 7801

-0·259 6913

1 Y1 Y2 Y3 1

Y2

- Y1 Y3 - Y2

Y1 -

Y3 1

0

Pv 2

101

P2, 3

262

. p3, 1 345

+

^{+ 3}

^g

⁴⁶ 57•23 ��-�-· ·-·· 205•83 35-19 263"06 241"02 22·04

54 P2,

r

26 p3, 2 82 46 26 B

= P2, 1 - P2, 3

6

3

¹⁸

26 32

1

Pi, 3

1

165 26 32

r=p 3,z- p3,1 +360° 1

97

l P 2 1 P

3 L4�

+ ·c

(

180

46

53 19 00 3

8 1

28

54

00 1 ctg. A + 0·492 5549

1

ctg B

1 +

2·922 2403

1

ctg C

1-

0· 128 6647

1

ctg

x

+ 0·165 6236 ctg ß

+

1·860 4415 ctg r + 0·341 4831

1

1 ctg A

-

c

1 tg

r;,

1

+ 0·326 9313

,

, ctg B

-

ct

�

ß + 1·b6l 7988

1

ctg C

-

c

i

g 1

1-

0·470 1478 '.-

1 g1 =

t A t + 3·058 7466

t B t

g., =

+ 0·941 7980 l

C t c g -c g (;, c g -c g

ß

c g -c V + "

g„ =

t

1-

2·126 9907

\1 [g] 1

1·873 5539

i

gy

1

I g1 X1 1-

38·937 8442

1 g1 y1 1-

175·052 0679" --

g2 X2

-63• 138 1379

g2 Y2

+ 193·850 2823

K 3

+

X3 g3

207•594 2923

Y3

74•848 8027

[g x]

1 _:_

105·518 3102

I [g y] 1

+ 93·p47 0171

X =

( gx ) 1

+ 56·32

y =

1

0 +

( gy ]

49•98

[g]

0

[g]

X1 - Xo Xz - Xo X3 - Xo

tg

P = Y1 - Yo 1

O> l

X1 - Xo

69•05 -123·35 -153•92

1 �- � 1 �- � + 1 �- � 1

101·21 155·85 85•17

+ 1·552 6430

1 P01t 1

237° 12' 57"

II r;,' = Po, 3 - Po,

2 Kontrolle:

r;,'=r;. ß' = ß ·( =r

_80°

35' 41"

tg

Po ,

2

= Y2 - Yo 1 X2--:- Xu

t

Y3 - Yo I 1

g

Po,

3

= X3 - Xu

1 -1 ·263 3755

1 p11, 2

+ 0"553 3394

1

p0, 3 128 208 21 46

57 27

11 : - '"" - '"'" 1

28 15 30

l

r·

= _ .:'.

o' 2_..

Po ,1

+

\

360°251 08 49

Summe ..

]

360 00 00 -

+:>:

A

� !

' ' '

! i

i

Fig. 3.

P.i t

_'

l

: l

i

i

93

12)

Im Zähler der gesuchten Abszisse erscheint die unbestimmte Form:

t

Cx3-t-=�.

Diese läßt sich wie folgt behandeln; wenn man der Ein-

c g -c g y Cf;) ^·

fachheit halber den Punkt

P3

auf der Abszisse von

P1

unendlich fern an­

nimmt

(

Fig. 4), dann wird:

x3 = 0, y3 = y1

und

X - X

ctg

C = -3

--

2

und

Y2 - Y1

X3 X3 (Y2 - Y1)

^X

X3

�c-tg_C_

^{ctg y}

= X3 - x2

t

= X3 - [x2 ₊ (Y2 - Y1)

ctg

Y] ' Y2 - Y1

^{-c g y}

welcher Bruch nach Einführung von

_{X2 + (Y2 - Y1)} Y2 - Y1 =

_ctg

_Y

₌

P} _q

übergeht in:

94

Xa

__

p x_a

^{___ .}

P

ctg C - ctg

y

- _X3 + q

^-

l + _g_·

Geht mart zu den Grenzen Liber, so erhält man:

. X3

11.111 t _c

X

a t

⁼

1

1^'

m p

⁼

^{P =} Y2 - Y1·

^{· · · ·}

13)

C

g

^-C

g

_{y X3 = oo ·}

_{1 +}

_{_}

_q

_{_}

X3

c

P,

.-{).---+---\c---� +v

0

Fig 4

Der Wert des dritten Summanden im Zähler der Abszisse x0 ist damit be­

sfimmt und wir erhalten für· die rechtwinkeligen Koordinaten des Punktes Po:

1 . . 1 .

IJ ) X1 + t + (Y2-Y1)

, ctg Pv2 - ctg (Pi,2- Jo -ctgPv2+ c g(p1,2+Po)

Xo ⁼ ---

- 1 1

^-�---·

+

^----

-

^{- ·- .}

::: ::: :

^_

::: ::::: = ::: ^{y,+ 1 =} ::: ::, : "1 ^'1 �:: ::

^.

:. : 11 :::�-11 ^{i 1.}

Yo"'" _1.

ctg Pv2 - ctg (P112 - ßo) - ctg Pv 2 + ctg (Pv 2 + O:o) J

2. A r t.

Wir erhalten zwei andere Ausdrücke für die Koordinaten _Xo, y0, wenn wir den dritten Punkt P3 in der Richtung der y-Achse ins Unendliche uns ver-

'

legt denken ( Fig. _5), also y3 =

^oo

setzen.· .

95 Wir erhalten dann:

A

⁼

900 _{- Pv} 2 B = 90° + _{Pv 2} C= O

IX =

900 _{- (Fi,} 2 _- ß

^o

₎ 1

ß

⁼

90° + (p1, 2 +

rxo

) J, ^. . . . 14)

Y = 1 80° _{- (}

0:0

+ _i30) daher für d ic Brüche:

ctg A - 1 ctg

o:

1 ctg B - ctg ß

1

tg _Pi, 2 - tg _(Pv 2 _{- [3o)} 1

- tg _{Pv 2} + tg _(Pv 2 _+ao 1

. . . 15) ctg C - ctg

y ₀₀

+ ctg _(ao + ß o )

A

-

--

^-e'i

-1

^-

--- -

^---: --- -- --- --- > !'

p

---< /-r��

^J

. C �7 _l-

^.

^·�

--->-f y

Fig. 5.

Somit ergeben sich für die Koordinaten:

1 1

t ( ^{, )}

^X1

+ t t ( ₎ Xz

X

__ g_�1•_2-=_tg_ Pv

²

_- Po _____ -:-- g ^P1, 2 + g _Pv 2 + _{O'�o .}

• 0

-

1 --- +

^--

�

^�---

tg _P1,

²

_- tg _(P1, 2 _{- i3o)} - tg _Pv 2 + tg (P1, 2 _{+ ao)}

l

1 1

·---,- ^Y1 + ^{- Yz +}

^-

^-

^-

^-

^{---- - oo}

tg Pv 2 - tg _(P1, 2 _{- � o)} -tg_E_i�+tg (p1��o)_

^{00 +}

ctg _(o:o+ßo)

J'o =

^-

1

_

+ _-

^--

_{-- --- 1}

tg P1• 2 - tg _(Pv 2 _{- l�o) -} tg P1• 2 + tg _(P112 + _ao) Im Zähler der Ordinate y0 erscheint die unbestimmte Potm:

---- __

b

^___

-

^('/.)

- - --�

ctg C - ctg

y

-

^CX!

+ ctg (1Xo + i3o)

^CO

16)

Nun kann,, ähnlich wie wir es bei der ersten Art der Transformation getan haben, die unbestimmte Form untersucht werden. Wir erhalten vorerst:

)! - )'

ctg c

⁼

-,3---'!- X3 ^-

^X1

96

und nach Einführung dieses Wertes in die unbestimmte Form:

worin

!im c g - c g t C ^{)'3 t ,} r )'3

^{= =}

^!im

^rx>

1 + r

_s_

₌ r ^{= x2 - Xv} .

^•

¹⁷⁾

) ^' 3 r ^{= x2 - x1}

)

S ⁼

)'2 + (X2 - X1) ctg y bedeuten.

Die endgültigen Koordinaten des gesuchten Punktes lauten dann:

1 1

t t ( ., ) X1 + - t _t_

(

^___

) X2 gri,2- g P1,2-IJ0 - gri,2+ g Pv2+ixo

X o

⁼

- - -- -- - ¹ ₊ ¹

-�---

t g PM - tg (P1>2 - [:lo) - tg PJ,2 tg (P1>2 1Xo)

. lil

1 1

____

t_ (__

^1•

) J'1 + t ( --)- J'2 (X2 - X1) tgri,z - g P1>2--1Jo - gri,2+ tg Pi,z j-1Xo

Yu = 1

^-

�

^----

tg P1>2 - tg (Pi, 2 - [:lo) - tg P1,'2 + tg (Pi, 2 1Xo)

Wenn in den Gleichungen 1 1 und III die Brüche umgeformt und entspre­

chend reduziert werden, so gelangen wir

zu

clen folgenden Ausdrücken:

Xo

⁼

ctg i3o - ctg P1, 2) X1+(ctg1Xo + ctg Pi, 2) X2 -(l + ctg 1Xo + ctg ßo ct_g2 Pv 2) ()'2 - )'i) l

l

IV

(dg i3o - dg Pi, 2) J'1 + (ctg 1Xo + �g__p1,_2)l'_g_ 11

)'u = �

^----

ctg Cl,o + ctg i:lo und

1. ^V

+ tg 2 Pv 2) (X2 - X1) J

in, welchen im Zähler von x0 bzw. )'o in den Formeln IV und V drei Summanden auftreten, sonst aber nur zwei erscheinen. Es lassen sich aber aus IV und V

sowie äus 1 1 und. III Ausdrücke für die Koordinaten X0 und )'0 auswählen, die im Zähler und Nenner der Brüche nur zwei Summanden enthalten, nämlich:

u ncl

Xo

⁼

(ctg ßu + tg P1, 2) X1 + (ctgixo + tg Pv 2) X2 ) ctg Cl,o + ctg [3o 1

(ctg i:l„ - ctg Pv 2) J'1 + (ctg IXu + ctg Pv 2) )'2 j(

^{· · · ·}

^VI

y„

⁼ ��--�----��--���-

ctg Cl,o + ctg f:lo.

1 1

l

, _

-tg_ Pi_, - 2 - -t-g-(�P-1,-2---[3-o) Xi + - tg Pv 2 + tg (Pv 2 + 1Xo) Xz I

x„

- 1 1

tg Pv 2 - tg (Pv 2 - ßo) + - tg P1, 2 + tg (Pv 2 + ixo)

·.

1 1 '

' - J'1 + - J'2 I

)

^{1 _}

�tg Pv2_-ctg (Pi,2 --l:lo) -ctg Pv2 +_ctg (P1>2 + �)

^_

0

- ' 1 1

ctg P1,2 - ctg (Pi,2 - l:lo) + - Ctg P1>2 + ctg (Pv2 + Cl,o) J

. . VII.

97 Bei zahlenmaßiger Berechnung der rechtwinkeligen Koordinaten mit c!er Rechenmaschine kann man verschiedene von den aufgestellten Formeln ver­

wenden. Benützt man II, III oder VII, so schließt man sich mehr an das Rück­

wä rtseinschneiden an, verwendet man hingegen die Ausdrücke IV, V oder VI, so gestaltet sich die Rechnung einfacher .

Vo rw ä rts e i n s c h n e i d e n mit Zug rundelegung der Formeln IV, V und VI.

1�����-....-����-:-�����"'1'"""����--ir-����-:-�����-:.

==-��·�� Xz - X1 1+104'76 -- ,.��y�2=-=y�1==1= +�4=51� .�60�. ^�c·-· .1+ ^��:�g

^___

J ^��

_-�---·

J+ �1i:��

^{==- _ _ _ _}

ctg a0 ^ß

^_

^:

^{__ .}

/ �!r�f tf +

^l

'377 ö45ü

^_

t gPJ,2 - Xi_ x, + 4·310 8056 _ J2-=l'!. ) + tg2 p1, 2 + 19'583 0449 1

^_

-�tg ßo

^{--� -}

4'495 7499 ctgp1i2=x2 -Xi+· 0·231 9766 1 + ctg2pM I+ 1·053 8131 N= ctga0+ctgß01- 3'118 1043

___

Y2-Yi

ctg ßo - ctg Pv 2 ,-_-�4�.7�27�= 72�5c 5�- ,.-} ---­

ctg ao + ctg P11 2 +

^l

'609 6222 + l(ontr.

^{N„ . -}

3' 118 1043 (ctgß0-ctgpv2).X1+125'5!5841o8 l (ctgß0-ctgp1,2).y11+1013'057 2344 (ctgC1.0+ctgp1,,).x2 + 125·872 4560 l(ctga0+ctgp1,,).y2

_-(l

+ctg2p1'2) -475'901 9960 1 + 381 ·995 5405

____

Jb - yJ

-Zfür X0 l-224'461 1242 1 Zfüry0 1+1395:052 7749 X0 = f:t. 1

⁺

^{71 ·99} 1 ^{Yo = �· 1-447'40}

ctgß0 + tg p1121- 0·184 9443 '} _t·

ctgC1.0 - tgri,2 _ 2'933 1600 + Kon

^{t. N„ . -}

3'118 1043 (ctg;J;,+tgrv2).x1!+ 4:?1� 1206 (ctgp0+tgp112).y1 + 39·6298646 (ctgC1.o-tgp112).X2 1 _229 373 1120 (ctga0-tgri.12).y2 - 696·097 5312

(l

+ tg2�v 2) +2051·519 7837

=-�====�·= ====���='( X2 - X1)

^_

Z für x0 l-224·460 9914 1 -==z�f·.=n=r ""-'Yo"---=�! +=··-13=9 =5=·052 1171 i��X-o_ =_z � N �

. ��l-+�1-1· -99���,!---�Y-o-=-z�N�-�...;....;l---;;; .40

Vo rw ä r tse iJls c h n e i d e n mit. Zugrundelegung der Formel VI.

X1 1- ^{26•56 y1} 1 ^{-214'28 a0} 1 215° 58' 30"

X2 + 78'20

_ __

Y2 I ·. +237'32 ß0 347 23 35

X2 - X1 1+104·76- - --Y-2 =-y1

^.

- 1 + 451 '60 -

ctg a0 + 1 •377 6456 tgp1,2 =���1+ 4·310 8056 ctgpv2=�:-=fil+ 0•231 9766 ctgß0 - 4•495 7499 ctg ßo + tg P11 2 1- 0· 184 9443 ctg ßo -ctg p11 21- 4•727 7265 i N =ctga0+ctgß0I- 3' 118 1043 ctg e1.0 - tg Pv 2 - 2·933 1600 ctg a0 + ctg p112 +

^t

·609 9222 ...

^---.

��1;:��.e ^N. 1- 3· 118 1043 �i��1;�.e ^N. 1- 3 .118 1043

(ctgßo+tgp1,2).x11 + 4·9121206 (ctgß0-ctgp112).y11+1013'057 2344 (ctga0-tgp1,2)X2 -229'373 1120 (ctg(/.0+ctgp1>2)y2 + 381·995 5405 . . Zfürx0 l-224•460 9914- Z-füry0 f+1395'052 7749

X0

⁼

�- J+ ^7M'9

^,

^{Yo = �} 1- ^447'40

����� ... --��� ... �----�....---���-

98

A n merku n g. Bei Vorbereitung d ieses vor Jahresfrist fertigen Aufsatzes für den Satz lesen wir in „D i e B r a.u n s c h w e i g e r GMC, Monatsschrift, November-Dezember 1 928," den sehr interessanten Aufsatz von H. F. van R i e 1, Lektor an der Landwirtschaft- 1 ichen Hochschule zu Wageningen in Hol land : „D i e L ö s u n g d e s e i n f a c h e n R ü ck­

w ä r t s- u n d V o r w ä r t s e i n s c h n e i d e n s d u r c h s y m m e t r i s c h e F u n k­

t i o n e n d e r K o o r d i n a t e n", der wiederum zeigt, daß es viele Wege gibt, die zum gleichen Ziele führen.

Referate.

Mondkarten.

Ministerialrat i. R. Dr. Karl M ü 1 1 e r h ielt am 26. April d. J. in der Arbeitsgemein­

schaft den von der Vereinigung „ Landkarte" veranstalteten Vortrag über Mondkarten.

Der Vortragende wies zunächst auf das besondere Interesse hin, das der Mond für die Karto­

graphie bietet. Während sonst Karten verkleinern, handelt es sich bei Mondkarten um Ver­

größerungen, denn der Durchmesser der Mondscheibe in der Sichtweite beträgt ja kaum 2 Mill imeter; auch gibt es auf dem Monde vorläufig keine Bezugs-, keine Normalebene, end­

l ich wechseln infolge Änderung der Entfernung, infolge der Libration, infolge der Änderung der Höhe und infolge der Refraktion, ganz abgesehen von dem Wechsel des irdischen Stand­

punktes, unablässig die Mondbilder. Einige moderne Mondphotographien wurden in schönen Bildern gezeigt und die Aufnahmsinstrumente, die Riesenfernrohre besprochen. Auch von den Mondzeichnungen Gal ileis ( 1 6 1 0) und den schönen Karten des P. van Langrenus ( 1 645) Antwerpen) und des Danziger Ratsherrn Johann Hevelke ( 1 647 Gedani) lagen Lichtbilder vor, aus dem 1 7. Jahrhundert wurden außerdem die Karten des Neaplers Fontana ( 1 630), des Franzosen Claudius Mellan ( 1635), des Jesuitenpaters P. Grimaldi ( 1 651 Bologna) und C.

Scheiner (Amsterdam 1 673), E.Divinis, eines Zeitgenossen Langrens, des Kapuziners Schyr­

laeus de Rheita (Maria Schyrl 1 645 Antwerpen), De Ja Hire's und Dom. Cassini's ( 1 680, neu ausgegeben von Lalande 1 787) und die Zeichnungen der Maria Clara E immart in Nürnberg (um 1 790) mehr m inder eingehend erwähnt. Aus dem 1 8. Jahrhundert lag die erste auf Po­

sitionsbestimmungen gegründete Karte, die des Tobias Mayer ( 1 775) im Lichtbilde, die größere und die Skizzen Mayers in der Ausgabe von Klinkerfues (Göttingen 1 88 1 ) vor, der ähnlichen Karte des großen Mathematikers Lambert ( 1 774) wurde Erwähnung getan, einiges von den Zeichnungen des Oberamtmannes Johann H ier. Schröter (Lilienthal 1 79 1 ttnd 1 802) aus den Selentopographischen Fragmenten konnte im B i l de gezeigt werden. Aus dem 1 9. Jahrhundert lag die kleine Karte des M ünchners Dr. Franz Paula de Gruithuisen vor, ausführlich wurden an der Hand von Bildern die klassischen Mondkarten G. ·W. Lohrmanns (Dresden 1 824 bzw.

Leipzig 1 878), die Mappa Selenographica von Johann Heinrich Mädler und Wilhelm Beer ( 1 834 Berlin), die Charte der Gebirge des Mondes von Julius Schmidt ( 1 878 Berlin) in ihren Vorzügen und Mängeln behandelt. Die Generalkarten Lohrmanns und Maedlers, die Mond­

bilder Nasmyths und Carpenters (London 1 874). E. Neisons Umarbeitung der Mappa Seleno-·

graphica ( 1 876 London), C. M. Gaudiberts Carte generale de la lune (Paris 1 885), T. Gwyn Elgers Map of the Moon (London 1 894), die photographischen Mondatlanten des Liek Ob­

servatory, der Pariser Atlas von Loewy und Puiseux, Dr. Lad. Weineks Photographischer Mondatlas (Prag 1 897), der auf Lichtbil dern beruhende Mondatlas von Johann Nep. Krieger

(1.

Band, Triest 1 898, II. Band bearbeitet von Rudolf König, Wien 1 9 1 2), W. H . Pickerings Photographie Atlas ( 1 903 New-York) wurden gestreift. Ziemlich eingehend wurde auf die Arbeiten Phil. Fauths (Atlas, Leipzig 1 895, Was wir vom Monde wissen, Leipzig 1 906) einge­

gangen, von dessen in Arbeit befindlicher großer Mondkarte sich der Vortragende die Krö­

nung der Mondkartographie erwartet, einige neue Spezialkarten von ihm und seinem Schüler W. Löbering wurden vorgewiesen. Die Messungen am Monde von S. A. Saunder ( 1 900 - 1 9 1 1 London), Hayn ( 1 902, 1 904, 1 907.Leipzig), J. Franz ( 1 9 1 3 Halle), L. K. Graff, und die noch unveröffentli

�

hten einschlägi

g

en umfangreichen Arbeiten R. Königs (Wien 1 9 1 7 bis 1 927) wurden kurz behandelt und dann ct ie großenteils auf diesen Messungen beruhenden Mond-