Kapitel II Pr¨adikatenlogik

Kapitel II

Pr¨adikatenlogik

Grundlagen der Pr¨adikatenlogik

Ziele:

Formulierung von Aussagen ¨uber einen Datenbereich, auf dem Funktionen und Pr¨adikate definiert sind

Beweisef¨ur diese Aussagen Anwendungen:

L¨osung von Anfragen auf Datenmengen in der KI oder in Informationssystemen

Formulierung von Integrit¨atsbedingungen auf Daten:

Schleifeninvarianten eines Programms, Constraints auf XML-Dateien oder Datenbankeintr¨agen

L¨osung von Constraint-Systemen beim Testen oder Planen Logisches Programmieren

Syntax der Pr¨adikatenlogik 1879 im Artikel Begriffsschrift vonGottlob Frege (1848 — 1925).

Semantik erst 1934 durch Alfred Tarski (1901 — 1983).

Grundlagen der Pr¨adikatenlogik (Fort.)

Semantisch: Elemente eines Datenbereich,Funktionenauf diesen Elementen und Beziehungenzwischen diesen Elementen

Syntaktisch:

Termebeschreiben Elemente des Datenbereichs Konstanten bezeichnen einzelne Elemente (z.B. 7 ) Variablen stehen f¨ur Elemente (z.B. x )

Funktionssymboleerlauben es Terme zu konstruieren, die wiederum f¨ur Elemente stehen (z.B. fac(7) )

Formelnformulieren Aussagen ¨uber die Elemente: wahroderfalsch.

Pr¨adikatssymbole dr¨ucken elementare Aussagen aus (z.B.x>7 ) Logische Operatoren/Junktoren und Quantorenverkn¨upfen die elementaren Aussagen (z.B.∀x.x>7∨x <8 )

Funktions- und Pr¨adikatssymbole h¨angen von der Anwendung ab, sind also Parameter in der Definition der Syntax.

Logische Symbole sind fest.

Grundlagen der Pr¨adikatenlogik (Fort.)

Beispiel 4.1 (Beschreibung mathematischer Beziehungen)

Syntax: Konstanten 1, 2, 3, Funktionssymbole +, /, Variablen x,y,z, P¨adikat <, Junktoren →,∧, Quantoren∀,∃

Terme: 1, 1 +2

3, x+3 2

Formeln: x <3, ∀x.∀y.(x<y → ∃z.(x <z∧z <y))

Semantik: DatenbereichQ, Konstante 1 bis Pr¨adikat<mit der “¨ublichen”

Bedeutung

Grundlagen der Pr¨adikatenlogik (Fort.)

Beispiel 4.2 (Beschreibung von Beziehungen zwischen Daten)

Syntax: Variablenx, y, Funktion weiteDerReise(−), P¨adikateistHund(−), istFisch(−), <, Quantor ∀.

Formel:

∀x.∀y.(istHund(x)∧istFisch(y))→weiteDerReise(x)<weiteDerReise(y) Semantik: Datenbereich{Lassie,Nemo} ∪N∪ {⊥}.

Funktion weiteDerReise(x) liefert die Weite der Reise eines Tieres des Datenbereichs und ⊥, falls kein Tier eingegeben wird.

Pr¨adikatx <y liefertwahr, fallsx und y inN undx kleiner alsy,falsch sonst.

Syntax der Pr¨adikatenlogik erster Stufe

Definition 4.3 (Signatur)

Eine Signaturist ein Paar S = (Funk,Pr¨ad) mit

Funkeiner Menge von Funktionssymbolenf,g, . . .∈Funkund Pr¨ad einer Menge vonPr¨adikatssymbolen p,q, . . .∈Pr¨ad.

Jedes Funktions- und jedes Pr¨adikatssymbol hat eineStelligkeit k∈N. Schreibe auchf/_k ∈Funkbzw. p/_k ∈Pr¨ad, fallsf bzw. p Stelligkeitk hat.

0-stellige Funktionen und Pr¨adikate heißen Konstanten.

Voraussetzungen:

Funkund Pr¨ad seien entscheidbar, nicht notwendigerweise endlich.

Neben der Signatur gebe es eine abz¨ahlbare Menge V an Variablen.

Es seienV,Funk,Pr¨adpaarweise disjunkt und enthalten nicht

¬ ∧ ∨ → ↔ ∃ ∀ , = ( )

Syntax der Pr¨adikatenlogik erster Stufe (Fort.)

Definition 4.4 (Syntax der Pr¨adikatenlogik erster Stufe) Sei S = (Funk,Pr¨ad) eine Signatur.

Die Menge Term(S) allerTerme ¨uberS ist induktiv definiert als t ::=x |f(t₁, . . . ,t_k), wobeix ∈V und f/_k ∈Funk.

Die Menge FO(S) der pr¨adikatenlogischen Formeln erster Stufe ¨uberS ist induktiv definiert als

A::= (t₁=t₂)|p(t₁, . . . ,t_k)|

(¬A)|(A₁∧A₂)|(A₁∨A₂)|(A₁→A₂)|(A₁↔A₂)| (∃x.A)|(∀x.A)

mit t1,t2, . . . ,t_k ∈Term(S),p/_k ∈Pr¨ad undx ∈V. Nenne (t₁ =t₂) und p(t₁, . . . ,t_k) auch atomare Formeln.

Syntax der Pr¨adikatenlogik erster Stufe (Fort.)

Zur besseren Lesbarkeit:

Außere Klammern weglassen.¨ Priorit¨aten:¬,∧,∨,→,↔,∃,∀

(∀x1, . . . ,x_n.A) steht f¨ur (∀x1.(. . .(∀xn.A). . .) (∃x₁, . . . ,x_n.A) steht f¨ur (∃x₁.(. . .(∃x_n.A). . .)

F¨ur zweistellige Pr¨adikats- und Funktionssymbole wird auch Infix-Notation genutzt. Beispiel t₁<t₂ statt <(t₁,t₂).

Weitere Klammern k¨onnen weggelassen werden, wenn die Formelstruktur unmissverst¨andlich bleibt, z.B.:

∃x.∀y.y <2→y <x

Syntax der Pr¨adikatenlogik erster Stufe (Fort.)

Definition 4.5 (Freie und gebundene Variablen)

In einer Formel (Qx.A) mit Q∈ {∃,∀} ist Ader Geltungsbereichvon Qx.

Ein Vorkommen einer Variablenx ∈V in einer Formel heißt gebunden, falls es im Geltungsbereich eines Quantors Qx vorkommt.

Sonstige Vorkommen einer Variablen heißen frei.

Formeln ohne freie Vorkommen heißen abgeschlossen.

Die Menge V(A)enth¨alt die Variablenin A∈FO(S). ¨Ahnlich enthalten FV(A)und GV(A) die Variablen, diegebunden bzw.frei inA vorkommen.

Lemma 4.6

(a) Ist S entscheidbar, dann sind Term(S) und FO(S) entscheidbar.

(b) Zusammengesetzte Terme und Formeln lassen sich eindeutig zerlegen.

(c) Freie und gebundene Vorkommen lassen sich effektiv bestimmen.

Semantik der Pr¨adikatenlogik erster Stufe

Terme und Formeln sind zun¨achst einmalsyntaktische Objekte ohne Bedeutung: Was bedeutet ein Term? Was bedeutet eine Formel?

Definition 4.7 (Struktur)

Sei S = (Funk,Pr¨ad) eine Signatur. Eine Struktur der SignaturS, auch S-Struktur genannt, ist ein PaarM= (D,I) bestehend aus

einer nicht-leeren MengeD, dem Datenbereich, und

einer InterpretationI der Funktions- und Pr¨adikatssymbole aus S.

Dabei bildetI jedes f/_k ∈Funkauf einek-stellige Funktion I(f) :D^k →D (schreibe auchf^M stattI(f)) und jedes p/_k ∈Pr¨ad auf ein k-stelliges Pr¨adikat ab:

I(p) :D^k →B (schreibe auchp^M stattI(p)).

Beachte:

Strukturen sind passend zu Signaturen gew¨ahlt.

Gleichheit ist ein logisches Symbol, nicht Teil der Signatur. Es wird als Gleichheit auf dem Datenbereich interpretiert.

Definition 4.8 (Belegung)

Eine (Variablen-)Belegung in M= (D,I) ist eine Abbildung ψ:V →D . Die Modifikationψ{x/d} vonψ ist die Belegung mit

ψ{x/d}(y) :=

(d, falls y=x ψ(y), sonst.

Die Menge aller Belegungen wird mitD^V bezeichnet.

Definition 4.9 (Semantik von Termen und Formeln)

Sei S eine Signatur,M= (D,I) eine S-Struktur undψ eine Belegung.

Dann ist die Semantik von Termen t ∈Term(S) und Formeln A∈FO(S) durch dieBewertung B_ψ^M:Term(S)∪FO(S)→D∪Bwie folgt definiert:

B^M_ψ (x) = ψ(x)

B_ψ^M(f(t₁, . . . ,t_k)) = I(f)(B^M_ψ (t₁), . . . ,B^M_ψ (t_k)) B_ψ^M(t₁=t₂) = (B_ψ^M(t₁) =B_ψ^M(t₂) ) B^M_ψ (p(t₁, . . . ,t_k)) = I(p)(B_ψ^M(t₁), . . . ,B_ψ^M(t_k))

B_ψ^M(¬A) = 1− B^M_ψ (A)

B^M_ψ (A∨B) = max(B^M_ψ (A),B^M_ψ (B))

. . . f¨ur die anderen aussagenlogischen Operatoren entsprechend B_ψ^M(∃x.A) = 1, gdw. es gibtd ∈D mit B_ψ{x/d}^M (A) = 1 B_ψ^M(∀x.A) = 1, gdw. f¨ur alled ∈D gilt B_ψ{x/d}^M (A) = 1

In der Definition der Semantik von Termen und Formeln ist B^M_ψ (t) der Datenwert vont in Munter Belegungψ und B^M_ψ (A) der Wahrheitswert von A in Munter Belegungψ.

Lemma 4.10 (Koinzidenzlemma)

Sei A∈FO(S), M= (D,I) und ψ, ϕ∈D^V.

Falls ψ(x) =ϕ(x) f¨ur alle x ∈FV(A), dann gilt: B_ψ^M(A) =B^M_ϕ (A)

Insbesondere ist die SemantikB_ψ^M(A)abgeschlossener FormelnA∈FO(S) unabh¨angig von der Belegung ψ∈D^V:

entweder istA unterallen Belegungen wahr oder unterkeiner.

Definition 4.11 (Erf¨ullbarkeit, Tautologie)

SeienS eine Struktur, A∈FO(S), Σ⊆FO(S),M= (D,I) undψ∈D^V. Agilt inMunterψoderMund ψerf¨ullenA, in Zeichen M, ψ|=A, falls B_ψ^M(A) = 1.

Σ gilt in Munterψoder Mund ψ erf¨ullen Σ, in Zeichen M, ψ|= Σ, falls f¨ur alleA∈Σ gilt B_ψ^M(A) = 1.

A gilt inModerMist ein Modell f¨urA, in Zeichen M |=A, falls M, ϕ|=A f¨ur alle Belegungen ϕgilt.

Σ gilt in ModerMist ein Modell f¨ur Σ, in Zeichen M |= Σ, falls M, ϕ|= Σ f¨ur alle Belegungenϕgilt.

A ist eineTautologieoder allgemeing¨ultig, in Zeichen |=A, falls f¨ur alle S-Strukturen Mgilt: M |=A.

A isterf¨ullbar, falls es eineS-Struktur Mund eine Belegungψ∈D^V gibt mitM, ψ|=A.

Σ ist erf¨ullbar, falls es Mund ψ gibt mitM, ψ |= Σ.

Allgemeing¨ultigkeit und Unerf¨ullbarkeit

Lemma 4.12

Formel A∈FO(S) ist allgemeing¨ultig gdw.¬A unerf¨ullbar ist.

Logische Folgerung und ¨ Aquivalenz

Definition 4.13 (Logische Folgerung und ¨Aquivalenz) Seien A,B ∈FO(S) und Σ,Γ⊆FO(S);

A istlogische Folgerung von Σ, in Zeichen Σ|=A, wenn jede S-Struktur Mund Belegungψ, die alle Formeln in Σ erf¨ullen, auch Aerf¨ullen.

Folg(Σ) :={A∈FO(S) | Σ|=A}bezeichnet die Menge der Folgerungen aus Σ.

A undB heißen logisch ¨aquivalent, in Zeichen A|==|B, fallsA|=B und B |=Agelten.

Σ und Γ heißen logisch ¨aquivalent, in ZeichenΣ|==|Γ, falls Σ|=Af¨ur alleA∈Γ und Γ|=B f¨ur alleB ∈Σ.

Lemma 4.14 (Logische ¨Aquivalenzen)

Seien A,B ∈FO(S). Dann gilt:

¬∀x.A |==| ∃x.¬A ¬∃x.A |==| ∀x.¬A (8) (∀x.A)∧(∀x.B) |==| ∀x.(A∧B) (∃x.A)∨(∃x.B) |==| ∃x.(A∨B) (9)

∀x.∀y.A |==| ∀y.∀x.A ∃x.∃y.A |==| ∃y.∃x.A (10) Falls außerdem x ∈/ FV(B), gilt

Qx.A op B |==|Qx.(A op B)mit Q ∈ {∀,∃} und op∈ {∧,∨}. (11)

Bemerkung: ¨Aquivalenzen (8), (9) und (11) ziehenQuantoren nach außen.

Bei der Verwendung logischer ¨Aquivalenzen ist Vorsicht geboten:

(∀x.A)∨(∀x.B) 6|==| ∀x.(A∨B) (∃x.A)∧(∃x.B) 6|==| ∃x.(A∧B)

Lemma 4.15

Logische ¨Aquivalenz ist eineKongruenz: ersetzt man in einer Formel A∈FO(S) eine Teilformel B durch C mit C |==|B, dann erh¨alt man A^′ mit A^′|==|A.

Bemerkung 4.16

(a) Σ|=A gdw. Σ∪ {¬A}nicht erf¨ullbar.

(b) ∅ |=A gdw. |=A, also A ist allgemeing¨ultig.

(c) Σnicht erf¨ullbar gdw. Σ|=A f¨ur alle A∈FO(S).

(d) FallsΓ⊆Σund Γ|=A, dannΣ|=A.

(e) FallsΓ|==|Σ, dann istΓerf¨ullbar gdw. Σerf¨ullbar ist.

(f) FallsΓ|==|Σ, dann Folg(Γ) =Folg(Σ).

(g) A|==|B gdw. A|=B und B |=A gdw. |=A↔B gdw.

B^M_ψ (A) =B_ψ^M(B) f¨ur alleM,ψ.

(h) Falls A|==|B, dann Σ|=A gdw.Σ|=B.

Beispiele

Beispiel 4.17 i) ∀x.A|=A

(Spezialfall von (∀x.A)→A{x/t} allgemeing¨ultig, s.u.) ii) Im Allgemeinen gilt nicht A|=∀y.Amity ∈FV(A).

Sei A≡p(y) und M= ({0,1},I) mit I(p)(a) = 1 gdw.a= 0.

W¨ahle ψ(y) = 0, dann B_ψ^M(A) = 1.

AberB_ψ^M(∀y.A) = 0 mitψ{y/1}.

iii) |=∃x.(p(x)→ ∀x.p(x))

Sei M= (D,I). Es giltB^M_ψ (∃x.(p(x)→ ∀x.p(x))) = 1, da einer der beiden folgenden F¨alle gilt:

es gibtd ∈D mitI(p)(d) = 0 oder f¨ur alled ∈D giltI(p)(d) = 1.

iv) ∀x.(A→B)|=∀x.A→ ∀x.B

Satz 4.18 (Wichtige semantische Eigenschaften/S¨atze) Seien Γ⊆FO(S) und A,B ∈FO(S).

Deduktionstheorem Γ,A|=B gdw. Γ|=A→B

Modus-Ponens-Regel Γ|=A undΓ|=A→B, dann Γ|=B Kontrapositionsregel Γ,A|=¬B gdw. Γ,B |=¬A Generalisierungstheorem

Kommt x ∈V in keiner Formel von Γfrei vor, dann Γ|=A gdw. Γ|=∀x.A

Insbesondere: A|=∀x.A bzw.|=A→ ∀x.A,

falls x nicht frei in A vorkommt.

Beispiel 4.19 (Anwendung der S¨atze) a) |=∃x.∀y.A→ ∀y.∃x.A

gdw. ∃x.∀y.A|=∀y.∃x.A Deduktionstheorem gdw. ∃x.∀y.A|=∃x.A Generalisierungstheorem gdw. ¬∀x.¬∀y.A|=¬∀x.¬A Lemma 4.14

gdw. ∀x.¬A|=∀x.¬∀y.A Kontrapositionsregel gdw. ∀x.¬A|=¬∀y.A Generalisierungstheorem gdw. {∀x.¬A,∀y.A} nicht erf¨ullbar ist b) Variante von Kongruenz

A^′ entstehe ausAdurch erlaubte (beachte Quantoren) Ersetzung einiger Vorkommen vonx durch y. Dann gilt

|=∀x.∀y.(x=y →(A↔A^′))

Beispiel:∀x.∀y.(x =y →(f(x,y) =g(x)↔f(y,y) =g(x))

Substitution

Substitutionen ersetzen Variablen durch Terme.

Sie sind ein syntaktischeGegenst¨uck zum semantischen Konzept der Modifikation von Belegungen.

Definition 4.20 (Substitution)

Eine Substitution der SignaturS ist eine Abbildung θ:V →Term(S).

Im Folgenden gehen wir davon, dass nur f¨ur endlich viele x∈V gilt θ(x)6=x. Dann lassen sich Substitutionen direkt angeben als θ={x₁/t₁, . . . ,x_n/t_n}

und wir definieren:

Dom(θ) ={x1. . . ,x_n} Ran(θ) ={t1, . . . ,t_n}

Substitution (Fort.)

Substitutionen lassen sich auf Terme und Formeln anwenden.

Definition 4.21 (Anwendung von Substitutionen)

Die Anwendung vonθ auf t∈Term(S)liefert einen neuen Term tθ∈Term(S), der induktiv wie folgt definiert ist:

xθ:=θ(x) f(t₁, . . . ,t_n)θ:=f(t₁θ, . . . ,t_nθ).

Die Anwendung vonθ auf Formeln A∈FO(S) liefert eine neue Formel Aθ∈FO(S), die induktive wie folgt definiert ist:

(t₁ =t₂)θ:=t₁θ=t₂θ (¬A)θ:=¬(Aθ) p(t₁, . . . ,t_n)θ:=p(t₁θ, . . . ,t_nθ) (AopB)θ:=Aθ opBθ

(Qx.A)θ:=Qy.(A{x/y}θ), wobei y ∈/V(A)∪Dom(θ)∪V(Ran(θ)).

Substitution (Fort.)

Der Zusammenhang zwischen Substitutionen und der Modifikation von Belegungen ist wie folgt:

Lemma 4.22 (Substitutionslemma)

B_ψ^M(A{x/t}) =B_ϕ^M(A) mitϕ:=ψ{x/B_ψ^M(t)}.

Der Beweis wird mittels Induktion ¨uber den Aufbau von Termen und Formeln gef¨uhrt.

Korollar 4.23

i) Ist A∈FO(S) allgemeing¨ultig, dann auch A{x/t}.

ii) Die Formel (∀x.A)→A{x/t} ist allgemeing¨ultig.

Substitution (Fort.)

Ahnlich zum Substitutionslemma erh¨alt man:¨

Lemma 4.24 (Gebundene Umbenennung erh¨alt logische ¨Aquivalenz) Qx.A|==|Qy.(A{x/y}), wenn y 6∈FV(A).

Bemerkung: Gebundene Umbenennung kann die Vorkommen von gebundenen Variablen in einer Formel eindeutigmachen.

Normalformen

Erzeuge Formeln von einfacherer Gestalt, f¨ur die sich Aussagen eher zeigen und effizientere Algorithmen entwerfen lassen.

Pr¨anexnormalform: Alle Quantoren außen (PNF ist logisch ¨aquivalent).

Skolemform: Pr¨anexnormalform und außerdem nur Allquantoren (SNF ist erf¨ullbarkeits¨aquivalent).

Lemma 4.25 (Existentieller und universeller Abschluss) Betrachte A∈FO(S) mit FV(A) ={x1, . . . ,xn}. Dann gilt

A ist allgemeing¨ultig gdw. ∀x1. . .∀xn.A ist allgemeing¨ultig A ist erf¨ullbar gdw. ∃x1. . .∃xn.A ist erf¨ullbar.

Formel ∀x₁. . .∀x_n.A ist der universelle Abschlussvon A.

Formel ∃x1. . .∃xn.A ist der existentielle Abschlussvon A.

Normalformen (Fort.)

Eine Formel A∈FO(S) heißt bereinigt, falls

i) keine Variable frei und gebunden vorkommt und ii) jede Variable h¨ochstens einmal gebunden wird.

Durch wiederholte Anwendung gebundener Umbenennung in Lemma 4.24 kann man jede Formel bereinigen.

Lemma 4.26

Zu jeder Formel A∈FO(S)gibt es eine bereinigteFormel B∈FO(S) mit A|==|B.

Normalformen (Fort.)

N¨achster Schritt: Ziehe Quantoren nach außenunter Ausnutzung von Lemma 4.14.

Definition 4.27

Eine Formel der GestaltA≡Q₁y₁. . .Q_ny_n.B mitQ₁, . . . ,Q_n∈ {∀,∃} ist in Pr¨anexnormalform, wenn B quantorenfrei ist.

A∈FO(S) ist in BPF, falls Abereinigt und in Pr¨anexnormalform ist.

Satz 4.28

Zu jeder Formel A∈FO(S)gibt es eine Formel B ∈FO(S) inBPF mit A|==|B.

Hinter dem Beweis verbirgt sich ein rekursiver Algorithmus.

Es dient dem Verst¨andnis, dieses Verfahren selbst herauszuarbeiten.

Normalformen (Fort.)

Weiterer Schritt: Eliminiere Existenzquantoren.

Trick: Ersetze bei Sequenzen von Quantoren der Form f¨ur alley₁. . .y_n gibt es einz die Variable z durch einen “neuen” Termf(y₁, . . . ,y_n):

∀y1. . .∀yn∃z.A geht ¨uber nach ∀y1. . .∀yn.(A{z/f(y₁, . . . ,y_n)}). Dabei ist f/_n ein frisches Funktionssymbol aus der Menge Sko der

Skolemsymbole. Frisch heißt, Skoist disjunkt vonS und f/_n kommt nicht in A vor.

Die Einf¨uhrung von Skolemfunktionen f¨ur existenzquantifizierte Variablen wird Skolemisierung genannt.

Skolemisierung erh¨alt nur Erf¨ullbarkeits¨aquivalenz, logische ¨Aquivalenz muss aufgegeben werden.

Skolemisierung geht zur¨uck auf Thoralf Albert Skolem (1887 – 1963).

Normalformen (Fort.)

Definition 4.29 (Skolemformel)

F¨ur eine Formel A∈FO(S) in BPF lassen sich Skolemformeln

B ∈FO(S⊎Sko) (wieder in BPF) durch folgendes Verfahren konstruieren:

while Ahat Existenzquantoren do Sei A≡ ∀y1. . .∀yn∃z.B mitB in BPF

Sei f/n∈Sko ein Skolemsymbol, das nicht inB vorkommt SetzeA≡ ∀y1. . .∀yn(B{z/f(y₁, . . . ,y_n)})

end while

Beachte: Die Skolemisierung arbeitet von außen nach innen.

Satz 4.30 (Skolem)

F¨ur jede Formel A∈FO(S) in BPF und zugeh¨origer Skolemformel B ∈FO(S⊎Sko) gilt:

A ist erf¨ullbar gdw. B ist erf¨ullbar.

Kompaktheitssatz der Pr¨adikatenlogik erster Stufe

Satz 4.31 (Kompaktheitssatz)

Eine Formelmenge Σ⊆FO(S) ist erf¨ullbar gdw. jede endliche Teilmenge von Σerf¨ullbar ist.

Beweis ben¨otigt Ergebnisse, die wir im Abschnitt “Algorithmische Verfahren f¨ur die Pr¨adikatenlogik” erarbeiten, und wird deshalb dort pr¨asentiert.